2024年福建省重点中学数学九年级第一学期开学综合测试模拟试题【含答案】

这是一份2024年福建省重点中学数学九年级第一学期开学综合测试模拟试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）随着“中国诗词大会”节目的热播，《唐诗宋词精选》一书也随之热销．如果一次性购买10本以上，超过10本的那部分书的价格将打折，并依此得到付款金额y（单位：元）与一次性购买该书的数量x（单位：本）之间的函数关系如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．一次性购买数量不超过10本时，销售价格为20元/本
B．a＝520
C．一次性购买10本以上时，超过10本的那部分书的价格打八折
D．一次性购买20本比分两次购买且每次购买10本少花80元
2、（4分）顺次连结菱形各边中点所得到四边形一定是( ​)
A．平行四边形B．正方形​C．矩形​D．菱形
3、（4分）一个多边形为八边形，则它的内角和与外角和的总度数为（ ）
A．1080° B．1260° C．1440° D．540°
4、（4分）不等式组的解集在数轴上表示为
A．B．
C．D．
5、（4分）如图，在菱形中，是菱形的高，若对角线、的长分别是6、8，则的长是
A．B．C．D．5
6、（4分）已知实数，在数轴上的位置如图所示，化简：的结果是( )
A．B．
C．D．
7、（4分）在“美丽乡村”评选活动中，某乡镇5个村的得分如下：90，88，96，92，96，这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．90，96B．92，96C．92，98D．91，92
8、（4分）如图，将点P(-2，3)向右平移n个单位后落在直线y=2x-1上的点P'处，则n等于( )
A．4B．5C．6D．7
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）小天家、小亮家、学校依次在同一条笔直的公路旁（各自到公路的距离忽略不计），每天早上7点整小天都会从家出发以每分钟60米的速度走到距他家600米的小亮家，然后两人以小天同样的速度准时在7：30到校早读．某日早上7点过，小亮在家等小天的时候突然想起今天轮到自己值日扫地了，所以就以每分钟60米的速度先向学校走去，后面打算再和小天解释，小天来到小亮家一看小亮不在家，立刻想到小亮今天是值日生（停留及思考时间忽略不计），于是他就以每分钟100米的速度去追小亮，两人之间的距离y（米）及小亮出发的时间x（分）之间的函数关系如下图所示．请问当小天追上小亮时离学校还有_____米．
10、（4分）计算：的结果是_____．
11、（4分）如图，在平面直角坐标系中，OA=AB，点A的坐标为（2，4），将△OAB绕点B旋转180°，得到△BCD，再将△BCD绕点D旋转180°，得到△DEF，如此进行下去，…，得到折线OA-AC-CE…，点P（2017，b）是此折线上一点，则b的值为_______________.
12、（4分）关于的方程有两个整数根，则整数____________．
13、（4分）《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短，横之不出四尺，纵之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？这段话翻译后是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）求不等式组的解集，并把解集在数轴上表示出来．
15、（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣1，1），C（﹣1，3）．
（1）将△ABC先向下平移6个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点A的对应点A1的坐标；
（1）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A1B1C1，画出△A1B1C1．
16、（8分）先化简代数式，再从－2，2，0三个数中选一个恰当的数作为a的值代入求值．
17、（10分）先化简：，再从中选取一个合适的代入求值．
18、（10分）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以2的速度移动．
（1）如果点，分别从点，同时出发，那么几秒后，的面积等于6？
（2）如果点，分别从点，同时出发，那么几秒后，的长度等于7？
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长是_______cm．
20、（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，且A（4，0）、B（6，2）、M（4，3）．在平面内有一条过点M的直线将平行四边形OABC的面积分成相等的两部分，请写出该直线的函数表达式_____．
21、（4分）如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在AB上，连接B′C，若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为____．
22、（4分）下表记录了某校4名同学游泳选拨赛成绩的平均数与方差：
根据表中数据要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择__________．
23、（4分）已知：AB＝2m，CD＝28cm，则AB：CD＝_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，矩形的两条边、分别在轴和轴上，已知点 坐标为(4，–3).把矩形沿直线折叠，使点落在点处，直线与、、的交点分别为、、.
(1)线段 ；
(2)求点坐标及折痕的长;
(3)若点在轴上，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形?若存在，则请求出点的坐标;若不存在，请说明理由;
25、（10分）已知，在正方形中，点、在上，且．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若正方形的边长为，求菱形的面积．
26、（12分）如图，矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B（﹣3，5），点D在线段AO上，且AD＝2OD，点E在线段AB上，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
A、根据单价＝总价÷数量，即可求出一次性购买数量不超过10本时，销售单价，A选项正确；C、根据单价＝总价÷数量结合前10本花费200元即可求出超过10本的那部分书的单价，用其÷前十本的单价即可得出C正确；B、根据总价＝200+超过10本的那部分书的数量×16即可求出a值，B正确；D，求出一次性购买20本书的总价，将其与400相减即可得出D错误．此题得解．
【详解】
解：A、∵200÷10＝20（元/本），
∴一次性购买数量不超过10本时，销售价格为20元/本，A选项正确；
C、∵（840﹣200）÷（50﹣10）＝16（元/本），16÷20＝0.8，
∴一次性购买10本以上时，超过10本的那部分书的价格打八折，C选项正确；
B、∵200+16×（30﹣10）＝520（元），
∴a＝520，B选项正确；
D、∵200×2﹣200﹣16×（20﹣10）＝40（元），
∴一次性购买20本比分两次购买且每次购买10本少花40元，D选项错误．
故选D．
考查了一次函数的应用，根据一次函数图象结合数量关系逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
2、C
【解析】
根据三角形的中位线定理首先可以证明：顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形．再根据对角线互相垂直，即可证明平行四边形的一个角是直角，则有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【详解】
如图，四边形ABCD是菱形，且E. F. G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
则EH∥FG∥BD，EF=FG=BD；EF∥HG∥AC，EF=HG=AC，AC⊥BD.
故四边形EFGH是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴EH⊥EF，∠HEF=90°，
∴边形EFGH是矩形.
故选：C.
本题考查平行四边形的判定和三角形中位线定理，解题的关键是掌握平行四边形的判定和三角形中位线定理.
3、C
【解析】
直接利用多边形的内角和与外角和定义分析得出答案．
【详解】
八边形的内角和为：（8﹣2）×180°＝1080°，八边形的外角和为：360°，故八边形的内角和与外角和的总度数为：1440°．
故选C．
本题考查了多边形的内角和与外角和，正确把握相关定义是解题的关键．
4、A
【解析】
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出选项.
【详解】
，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为，
在数轴上表示为：.
故选：.
本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键.
5、B
【解析】
由菱形的性质可得AC⊥BD，BO=DO=4，CO=AO=3，由勾股定理可求CB=5，由菱形的面积公式可求AE的长．
【详解】
解：四边形是菱形
，，
故选：．
本题菱形的性质，熟练运用菱形的面积公式是本题的关键．
6、B
【解析】
直接利用数轴结合二次根式的性质化简得出答案．
【详解】
解：由数轴可得：-1＜a＜0，0＜b＜1，
故应选B
本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题关键是根据字母数字范围正确化简二次根式．
7、B
【解析】
众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
【详解】
众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中96出现了2次，次数最多，故众数是96；
将这组数据从小到大的顺序排列为：88，90，1，96，96，处于中间位置的那个数是1，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是1．
故选：B．
本题考查了中位数和众数的概念，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
8、A
【解析】
由平移的性质得出P'的坐标，把P'点坐标代入直线y=2x-1上即可求出n的值；
【详解】
由题意得P'(-2+n,3)，
则3=2(-2+n)-1，
解得n=4.
故答案为A.
本题主要考查了一次函数的图象，平移的性质，掌握一次函数的图象，平移的性质是解题的关键.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1
【解析】
根据题意和函数图象中的数据可以求得当小天追上小亮时离学校还有多少千米，本题得以解决．
【详解】
解：设小天从到小亮家到追上小亮用的时间为a分钟，由题意可得，
400+60a＝100a，
解得，a＝10，
即小天从到小亮家到追上小亮用的时间为10分钟，
∵小天7：00从家出发，到学校7：30，
∴小天从家到学校用的时间为：30分钟，
∴当小天追上小亮时离学校还有：60×30﹣600﹣100×10＝1（米），
故答案为1．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
10、1
【解析】
根据算术平方根的定义，直接得出表示21的算术平方根，即可得出答案．
【详解】
解：∵表示21的算术平方根，且

故答案是：1．
此题主要考查了算术平方根的定义，必须注意算术平方根表示的是一个正数的平方等于某个数.
11、2
【解析】
分析：根据规律发现点O到点D为一个周期，根据其坐标规律即可解答.
详解：∵点A的坐标为（2，4）且OA=AB，
∴O（0,0），B（4,0），C（6，-4），D（8,0），
2017÷8=252……1，
∴b==2.
点睛：本题主要考查了点的坐标，发现其坐标规律是解题的关键.
12、
【解析】
先计算判别式得到∆=，根据方程有两个整数根确定∆必为完全平方数，由此得到整数k的值.
【详解】
由题意得∆=，
∵方程有两个整数根，
∴∆必为完全平方数，
而k是整数，
∴k-8=0，
∴k=8，
故答案为：8.
此题考查一元二次方程的根的判别式，完全平方公式，正确理解题意是解题的关键.
13、x1＝（x﹣4）1+（x﹣1）1
【解析】
根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长．
【详解】
解：根据题意可列方程为x1＝（x﹣4）1+（x﹣1）1，
故答案为：x1＝（x﹣4）1+（x﹣1）1．
本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键，难度一般．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、，答案见解析．
【解析】
分别求出不等式的解集即可得到不等式组的解集，依据数轴的特点将解集表示在数轴上.
【详解】
解：，
解不等式①得：x＞﹣3，
解不等式②得：x≤2，
∴不等式组的解集为：﹣3＜x≤2，
∴不等式组的解集在数轴上表示如图
此题考查了求不等式组的解集，并利用数轴表示不等式组的解集，正确计算是解答此题的关键.
15、（1）A1（1，﹣1）；（1）详见解析
【解析】
（1）根据图形平移的性质画出△A1B1C1，并写出点A的对应点A1的坐标即可；
（1）根据图形旋转的性质画出旋转后的△A1B1C1即可．
【详解】
（1）如图，△A1B1C1即为所求，A1（1，﹣1）；
（1）如图，△A1B1C1即为所求．
本题考查的是作图-旋转变换，熟知图形旋转不变性是解答此题的关键．
16、，2
【解析】
试题分析：首先将括号里面的进行通分，然后将除法改成乘法进行分式的化简，选择a的值时，不能使原分式没有意义，即a不能取2和－2.
试题解析：原式=·=
当a=0时，原式==2.
考点：分式的化简求值.
17、，
【解析】
根据分式的运算法则先化简，再选择合适的值带入即可求出答案．
【详解】
解：原式，
由分式有意义的条件可知：，且，
∴当时，原式．
本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型，需要注意选择的值要使分式有意义．
18、（1）出发1秒后，的面积等于6；（2）出发0秒或秒后，的长度等于7．
【解析】
（1）设秒后，的面积等于6，根据路程=速度×时间，即可用x表示出AP、BQ和BP的长，然后根据三角形的面积公式列一元二次方程，并解方程即可；
（2）设秒后，的长度等于7，根据路程=速度×时间，即可用y表示出AP、BQ和BP的长，利用勾股定理列一元二次方程，并解方程即可．
【详解】
解： （1）设秒后，的面积等于6，
∵点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以2的速度移动
∴，
∴
则有
∴（此时2×6=12＞BC，故舍去）
答：出发1秒后，的面积等于6
（2）设秒后，的长度等于7
∵点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以2的速度移动
∴，
∴
解得
答：出发0秒或秒后，的长度等于7．
此题考查的是一元二次方程的应用，掌握几何问题中的等量关系和行程问题公式是解决此题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、20cm
【解析】
根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，OA=AC，OB=BD，再利用勾股定理列式求出AB，然后根据菱形的四条边都相等列式计算即可得解．
【详解】
解：如图，∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=AC=×6=3cm，
OB=BD=×8=4cm，
根据勾股定理得，AB=，
所以，这个菱形的周长=4×5=20cm．
故答案为：20
本题考查了菱形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分，需熟记．
20、
【解析】
如图所示：连接OB、AC相交于点E（3，1），过点E、M作直线EM，则直线EM即为所求的直线
设直线EM的解析式为y=kx+b,把E、M两点坐标代入y=kx+b中，得

解得
所以直线的函数表达式：y=2x-5.
故答案是：y=2x-5.
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质以及利用待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是求出其中心对称点的坐标，过点E和点M作直线EM,再用待定系数法求直线的解析式即可.
21、3
【解析】
根据勾股定理求出AB，根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB′＝90°，根据勾股定理计算．
【详解】
∵∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，
∴AB＝3，∠CAB＝45°，
∵△ABC和△A′B′C′全等，
∴∠C′AB′＝∠CAB＝45°，AB′＝AB＝3，
∴∠CAB′＝90°，
∴B′C＝＝3，
故答案为3．
本题考查的是勾股定理的应用、等腰直角三角形的性质，解题关键在于利用勾股定理计算
22、队员1
【解析】
根据方差的意义结合平均数可作出判断．
【详解】
因为队员1和1的方差最小，队员1平均数最小，所以成绩好，
所以队员1成绩好又发挥稳定．
故答案为：队员1．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
23、50：7
【解析】
先将2m转换为200cm，再代入计算即可．
【详解】
∵AB=2m=200cm，CD=28cm，
∴AB:CD=200:28=50:7.
故答案为50:7.
本题考查比例线段，学生们掌握此定理即可.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）；（2）；拆痕DE的长为； （3）点Q坐标为
【解析】
（1）根据B点的坐标即可求得AC的长度.
（2）首先根据已知条件证明，再根据相似比例计算DF、CD的长度
即可计算出D点的坐标，再证明，根据EF=DF，即可计算的DE的长度.
（3）根据等腰三角形的性质，分类讨论第一种情况当时；第二种情况当时；第三种情况当时，分别计算即可.
【详解】
解：（1）
（2），由折叠可得：
,.

∵四边形OABC是矩形，
∴拆痕DE的长为
（3）由（2）可知，，
若以P、D、E、Q为顶点的四边形是菱形，则必为等腰三角形。
当时，可知，
此时PE为对角线，可得
当时，可知，此时DP为对角线，可得；
当时，P与C重合，Q与A重合，
综上所述，满足条件的点Q坐标为
本题主要考查菱形的基本性质，难点在于第三问中的等腰三角形的分类讨论，根据等腰三角形的腰进行分类，再根据腰相等进行计算.
25、（1）见解析；（2）－4.
【解析】
【分析】（1）由对角线互相垂直平分的四边形是菱形，AO=CO，EO=FO，AC⊥EF即可证得；
（2）先求出AC、BD的长，再根据已知求出EF的长，然后利用菱形的面积公式进行计算即可得.
【详解】（1）如图，连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
又∵BE＝DF，
∴BE－BO＝DF－DO，即OE＝OF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AC⊥EF，∴□AFCE是菱形；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD，AB＝AD＝2， ∠BAD=90°
∴AC＝BD＝，
∵AB=BE=DF，
∴BF＝DE＝－2，
∴EF＝4－，
∴S菱形＝EF·AC＝(4－)·＝－4.
【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质、菱形的判定与性质定理、准确添加辅助线是解题的关键.
26、（﹣3，2）
【解析】
先作点D关于直线AB的对称点D′，连接CD′交AB于点E′．根据矩形的性质及题意得到直线CD′的解析式，即可得到答案.
【详解】
如图，作点D关于直线AB的对称点D′，连接CD′交AB于点E′．此时△DCE′的周长最小．
∵四边形AOCB是矩形， B（﹣3，5），
∴OA＝3，OC＝5，
∵AD＝2OD，
∴AD＝2，OD＝1，
∴AD′＝AD＝2，
∴D′（﹣5，0），∵C（0，5），
∴直线CD′的解析式为y＝x+5，
∴E′（﹣3，2）．
本题考查矩形的性质和求一元一次方程，解题的关键是掌握矩形的性质和求一元一次方程.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
队员1
队员2
队员3
队员4
平均数（秒）
51
50
51
50
方差（秒）
3.5
3.5
14.5
15.5