10 增分微课5　统计、概率的综合问题 【答案】听课 高考数学二轮复习练习

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解:(1)因为10×(0.004+0.008+0.012)=0.24,0.24+10×0.028=0.52,
所以中位数在区间[70,80)内,设中位数的估计值为x,
则10×(0.004+0.008+0.012)+0.028(x-70)=0.5,解得x≈79.3,所以估计这100位居民成绩的中位数约为79.3.
(2)从成绩在[40,50)内的居民中抽取12×+0.008+0.012=2(人),从成绩在[50,60)内的居民中抽取12×+0.008+0.012=4(人),从成绩在[60,70)内的居民中抽取12×+0.008+0.012=6(人),则X的所有可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)=C83C123=1455,P(X=1)=C41C82C123=2855,
P(X=2)=C42C81C123=1255,P(X=3)=C43C123=155,
所以X的分布列为
所以E(X)=0×1455+1×2855+2×1255+3×155=1.
变式题 解:(1)将这组数据从小到大进行排列,得7.4,7.8,8.3,8.5,8.5,8.6,8.9,9.1,9.5,9.9,因为75%×10=7.5,所以这组数据的第75百分位数为第8个数据,即为9.1.
(2)样本数据中评分超过9.0的有3个,将频率视为概率,所以评分超过9.0的概率为0.3,依题意,X的所有可能取值为0,1,2,3,且X~B(3,0.3),则P(X=0)=C30×0.73=0.343,P(X=1)=C31×0.3×0.72=0.441,P(X=2)=C32×0.32×0.7=0.189,P(X=3)=C33×0.33=0.027,所以X的分布列为
所以E(X)=3×0.3=0.9,D(X)=3×0.3×0.7=0.63.
例2 [思路点拨] (1)(i)根据条件填写2×2列联表并计算χ2,即可判断;(ii)根据列联表求出P1,P2 ,由方案二在一次测试中通过的情况求出其概率.(2)根据方案二在每次测试中通过的情况,求出其概率及它的最大值,再由n次测试中通过的次数服从二项分布,即可求解.
解:(1)(i)依题意得2×2列联表如下:
单位:首
零假设为H0:是否正确识别音乐与软件类型无关联.
根据列联表中的数据,经计算得到χ2=100×(40×20-20×20)260×40×60×40=259≈2.778<3.841=x0.05,
根据小概率值α=0.05的独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,因此可以认为H0成立,即认为是否正确识别音乐与软件类型无关联.
(ii)由(i)得P1=23,P2=12,故方案二在一次测试中通过的概率为C21×23×1-23×C22×122+C22×232×C21×12×1-12+C22×232×C22×122=49 .
(2)方案二每次测试通过的概率P=C21·P1(1-P1)·C22·P22+C22P12·C21·P2(1-P2)+C22P12·C22P22 =P1P283-3P1P2=-3(P1P2)2+83P1P2=-3P1P2-492+1627,
所以当P1P2=49时,P取得最大值1627,
又P1+P2=43,所以此时P1=P2=23.
设n次测试中通过的次数为X,则X~B(n,P),则E(X)=nP=16,因为P≤1627,所以n=16P≥16×2716=27,
所以该测试至少要进行27次,此时P1=P2=23.
变式题 解:(1)补充完整的2×2列联表如下:
单位:人
零假设为H0:顾客是否购买该商品与该商品摆放的位置与收银台的距离远近无关联.根据列联表中的数据,经计算得到χ2=400×(40×180-20×160)260×340×200×200=40051≈7.843>6.635=x0.01,根据小概率值α=0.01的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为顾客是否购买该商品与该商品摆放的位置与收银台的距离远近有关联.
(2)由题意,抽取的6人中在第一个月内购买该商品的有4020+40×6=4(人),在第二个月内购买该商品的有2020+40×6=2(人),则随机变量X的所有可能取值为0,1,2,
P(X=0)=C43C63=15,P(X=1)=C42C21C63=35,P(X=2)=C41C22C63=15,所以X的分布列为
所以E(X)=0×15+1×35+2×15=1.
例3 [思路点拨] (1)先求出每个芯片智能检测达标的概率,再根据对立事件求出每个芯片智能检测不达标的概率;(2)由题意可知φ(p)=C301·p·(1-p)29(0解:(1)每个芯片智能检测达标的概率为99100×9899×9798=97100,
∴每个芯片智能检测不达标的概率为1-97100=3100.
(2)由题意可知,φ(p)=C301·p·(1-p)29=30p(1-p)29(0当p∈0,130时,φ'(p)>0,φ(p)单调递增;当p∈130,1时,φ'(p)<0,φ(p)单调递减.∴当p=130时,φ(p)取得极大值,即φ(p)的极大值点p0=130.
(3)由(2)知p=p0=130,
∴人工抽检的综合指标达标的概率P1=1-130=2930,
∴每个芯片是合格品的概率P合格=99100×9899×9798×2930=28133000≈0.938,0.938×100%=93.8%,
∵93.8%<96%,∴该企业需要对生产工序进行改良.
变式题 解:(1)一天中生产的2件产品中至少有1件的质量等级为一级的概率P=0.52+C21×0.5×(1-0.5)=0.75.
(2)设1件产品的质量等级为一级、二级、不合格分别为事件A,B,C,则P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(C)=0.1,
X的所有可能取值为-0.6,0.3,1.2,0.5,1.4,1.6,
P(X=-0.6)=[P(C)]2=0.01,P(X=0.3)=C21P(B)P(C)=2×0.4×0.1=0.08,
P(X=0.5)=C21P(A)P(C)=2×0.5×0.1=0.1,P(X=1.2)=[P(B)]2=0.16,
P(X=1.4)=C21P(A)P(B)=2×0.5×0.4=0.4,P(X=1.6)=[P(A)]2=0.25,
所以X的分布列为X
0
1
2
3
P
1455
2855
1255
155
X
0
1
2
3
P
0.343
0.441
0.189
0.027
软件类型
是否正确识别音乐
合计
正确识别
错误识别
A组软件
40
20
60
B组软件
20
20
40
合计
60
40
100
商品摆放的位置与收银台的距离远近
顾客是否购买
合计
购买
未购买
商品摆放在收银台附近的位置
40
160
200
商品摆放在距离收银台较远的柜架上
20
180
200
合计
60
340
400
X
0
1
2
P
15
35
15
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所以E(X)=-0.6×0.01+0.3×0.08+0.5×0.1+1.2×0.16+1.4×0.4+1.6×0.25=1.22.
(3)由(2)可知,每件产品的平均利润为1.22÷2=0.61(万元),则每天增产n件产品,每天的利润平均增加0.61n万元,
每天的成本也相应提高n-ln n万元,所以每天的毛利润平均增加0.61n-n+ln n=ln n-0.39n(万元).
设f(x)=ln x-0.39x(x>0),则f'(x)=1x-0.39.
当00,f(x)单调递增;当x>10039时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
所以当x=10039时,f(x)取得最大值,
又2<10039<3,f(2)=ln 2-0.39×2≈0.69-0.78=-0.09,f(3)=ln 3-3×0.39≈1.1-1.17=-0.07,
所以当n=3时,ln n-0.39n取得最大值,且为负值,所以该公司目前不该增产.
X
-0.6
0.3
0.5
1.2
1.4
1.6
P
0.01
0.08
0.1
0.16
0.4
0.25