10 增分微课5　统计、概率的综合问题 【正文】听课 高考数学二轮复习练习

这是一份10 增分微课5　统计、概率的综合问题 【正文】听课 高考数学二轮复习练习，共5页。

例1 [2024·河北邯郸调研] 暑假期间,儿童溺水现象屡有发生,防溺水工作十分重要.现从某社区随机抽取100位居民,对他们的防溺水认识程度进行了测评,经统计,这100位居民的测评成绩全部在40分至100分之间,将所得数据按照[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成6组,制成如图所示的频率分布直方图.
(1)估计这100位居民成绩的中位数(结果保留一位小数);
(2)在这100位居民中用比例分配的分层随机抽样方法从成绩在[40,50),[50,60),[60,70)内的居民中抽取12人,再从这12人中随机抽取3人,记X为3人中成绩在[50,60)内的人数,求X的分布列和数学期望.


总结反思
高考常将频率分布直方图等统计图表与分布列交汇在一起进行考查,因此在解答此类题时,准确地把题中所涉及事件进行分解,明确所求问题所属的事件类型是关键.
变式题 [2023·烟台三模] 为了了解观众对某电影的评价,某机构随机抽取了10位观众对其评分(满分为10分),得到如下表格:
(1)求这组数据的第75百分位数;
(2)将频率视为概率,现从观众中随机抽取3人对该电影进行评分,记抽取的3人中评分超过9.0的人数为X,求X的分布列、数学期望与方差.


统计案例与分布列的综合问题
例2 [2023·长沙长郡中学二模] 人工智能(AI)是一门极富挑战性的科学,自诞生以来,理论和技术日益成熟.某校成立了A,B两个研究性小组,分别设计和开发不同的AI软件用于识别音乐.记两个研究性小组的AI软件每次能正确识别音乐的概率分别为P1,P2.为测试AI软件的识别能力,计划采取以下两种测试方案.
方案一:将100首音乐随机分配给A,B两个小组识别,每首音乐只被一个AI软件识别一次,并记录结果;
方案二:对同一首歌,A,B两组分别识别2次,如果识别正确的次数之和不小于3,那么称该次测试通过.
(1)若方案一的测试结果如下:正确识别的音乐首数之和占总数的35;在正确识别的音乐中,A组占23;在错误识别的音乐中,B组占12.
(i)请根据以上数据填写下面的2×2列联表,依据小概率值α=0.05的独立性检验,能否认为是否正确识别音乐与软件类型有关联?
单位:首
(ii)利用(i)中的数据,视频率为概率,求方案二在一次测试中通过的概率.
(2)研究性小组为了验证AI软件的有效性,需多次执行方案二,假设P1+P2=43,问该测试至少要进行多少次,才能使通过次数的期望为16?并求此时P1,P2的值.
附:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.


总结反思
高考常将统计案例与分布列交汇在一起进行考查,求解时注意概率模型的应用,明确所求问题所属的事件类型是关键.
变式题 某超市为了解顾客是否购买某种商品与该商品的摆放位置的相关性,做了下面的试验:在第一个月内,将该商品摆放在收银台附近的位置,随机抽查200名顾客,有40名顾客购买该商品;在第二个月内,将该商品摆放在距离收银台较远的柜架上,随机抽查200名顾客,有20名顾客购买该商品.
(1)填写下面的2×2列联表,依据小概率值α=0.01的独立性检验,能否认为顾客是否购买该商品与该商品摆放的位置与收银台的距离远近有关联?
单位:人
(2)为了进一步调查顾客的购买情况,从两个月内购买该商品的顾客中按比例分配的分层随机抽样方法抽取6人,再从这6人中随机抽取3人进行电话回访,记抽到的3人中在第二个月内购买该商品的人数为X,求X的分布列和数学期望.
附:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.


概率与函数的综合问题
例3 [2023·泉州模拟] 在上海举办的第五届中国国际进口博览会中,无导线心脏起搏器引起广大参会者的关注,这种起搏器的体积只有传统起搏器的110,其无线充电器的使用更是避免了传统起搏器囊袋及导线引发的相关并发症.在起搏器研发后期,某企业快速启动无线充电器主控芯片试生产,试产期同步进行产品检测,检测包括智能检测与人工抽检.智能检测在生产线上自动完成,包含安全检测、电池检测、性能检测三项指标,人工抽检仅对智能检测达标(即三项指标均达标)的产品进行抽样检测,且仅设置一个综合指标,四项指标均达标的产品才能视为合格品.已知试产期的产品智能检测三项指标的达标率分别为99100,9899,9798,设人工抽检的综合指标不达标率为p(0(1)求每个芯片智能检测不达标的概率;
(2)人工抽检30个芯片,记恰有1个芯片不达标的概率为φ(p),求φ(p)的极大值点p0;
(3)若芯片的合格率不超过96%,则需对生产工序进行改良,以(2)中确定的p0作为p的值,判断该企业是否需要对生产工序进行改良.

观众序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
评分
7.8
8.9
8.6
7.4
8.5
8.5
9.5
9.9
8.3
9.1
软件类型
是否正确识别音乐
合计
正确识别
错误识别
A组软件
B组软件
合计
100
α
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
商品摆放的位置与收银台的距离远近
顾客是否购买
合计
购买
未购买
商品摆放在收银台附近的位置
商品摆放在距离收银台较远的柜架上
合计
α
0.10
0.05
0.01
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
10.828
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(1)求一天中生产的2件产品中至少有1件的质量等级为一级的概率.
(2)求该公司每天所获利润X(单位:万元)的数学期望.
(3)若该公司要增加日产能,需引入设备及更新技术,但增加n(n∈N*)件日产能,其成本也将相应提高n-ln n万元,假如你是公司决策者,你觉得该公司目前该不该增产?请说明理由(参考数据:ln 2≈0.69,ln 3≈1.1).

质量等级
一级
二级
不合格
利润(万元)
0.8
0.6
-0.3