08 第54讲　圆锥曲线热点问题 01 第1课时　求值、最值与范围、证明问题 【正文】听课 高考数学二轮复习练习

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常用结论
1.注意转化思想在圆锥曲线热点问题中的应用.
(1)平行四边形条件的转化
(2)圆条件的转化
(3)角条件的转化
2.应用基本不等式求圆锥曲线有关最值的五种典型情况
(1)s=k2+12k2+5(先换元,注意新元的取值范围,再利用基本不等式).
(2)s=(k2+1)2(1+2k2)(k2+2)≥(k2+1)2(1+2k2)+(k2+2)22(基本不等式).
(3)s=n4m2+1-n24m2+1(基本不等式).
(4)s=4k4+13k2+92k2+3=1+k24k4+12k2+9(基本不等式).
(5)s=k(k2+1)3k2+13(k2+9)=k+1k3k+13kk+9k上下同时除以k2,令t=k+1k换元,再利用基本不等式.
3.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线,两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点.
4.切点弦方程:过平面内一点引曲线的两条切线,两切点所在直线的方程叫作曲线的切点弦方程.二次曲线Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0外一点P(x0,y0)的切点弦方程为Ax0x+Bx0y+y0x2+Cy0y+Dx0+x2+Ey0+y2+F=0.
5.若A,B,C,D是圆锥曲线(二次曲线)上顺次的四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC,BD的斜率存在且不等于零,并有kAC+kBD=0(kAC,kBD分别表示AC和BD的斜率).
6.对任意圆锥曲线,过其上任意一点作两条直线,若两条直线的斜率之积为定值,两条直线与圆锥曲线的另外一个交点分别为A,B,则直线AB过定点.
/ 第1课时 求值、最值与范围、证明问题 /
弦长问题
圆锥曲线中的弦长问题是圆锥曲线中的一类重要问题,常用的求解方法有定义法和弦长公式法.
(1)定义法:过圆锥曲线的焦点的弦长问题,利用圆锥曲线的定义可优化解题过程.
(2)弦长公式法:根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程,利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积的代数式,然后整体代入弦长公式进行求解.
例1 [2023·天津红桥区二模] 已知点P55a,22a在椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)设A为椭圆的左顶点,O为坐标原点,若Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|,求直线OQ的斜率的值.


总结反思
1.涉及抛物线的焦点弦问题,常常利用根与系数的关系与抛物线的定义、焦点弦长公式,“设而不求”简化运算.
2.解决直线与圆锥曲线相交弦问题设直线方程时,如果直线斜率存在,那么一般设为y=kx+b的形式;如果直线的斜率可能不存在,那么一般设为x=my+t的形式.
变式题1 已知抛物线C:x2=2py(p>0)过点M(4,4).
(1)求抛物线C的方程;
(2)直线l经过抛物线C的焦点,且与抛物线C相交于A,B两点,若|AB|=6,O为坐标原点,求△OAB的面积.


变式题2 [2023·嘉兴二模] 已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0),P(3,-7)是双曲线C上一点.
(1)求双曲线C的方程;
(2)过点F作斜率大于0的直线l与双曲线C的右支交于A,B两点,若PF平分∠APB,求直线l的方程.


最值(范围)问题
圆锥曲线中的最值问题类型较多,常见的最值问题类型有:求线段长度(弦长)最值、求三角形面积最值、求面积比最值、求线段长度比最值等.解法灵活多变,但总体上主要有两种方法:一是几何法,即通过利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是代数法,即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数,然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.
其中常用的方法有:
(1)利用判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围.
(2)利用已知参数的取值范围,求新参数的取值范围,解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系.
(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式(组),从而求出参数的取值范围.
(4)利用基本不等式求出参数的取值范围.
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.在建立函数的过程中,要根据题目的其他已知条件把要求的量都用已知变量表示出来,同时要注意变量的取值范围.
例2 [2022·浙江卷] 如图,已知椭圆x212+y2=1.设A,B是椭圆上异于P(0,1)的两点,且点Q0,12在线段AB上,直线PA,PB分别交直线y=-12x+3于C,D两点.
(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值;
(2)求|CD|的最小值.

总结反思
求解圆锥曲线最值(范围)的思维导图
变式题 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为223,且经过点6,33.
(1)求椭圆C的方程;
(2)动直线l与圆O:x2+y2=1相切,与椭圆C交于M,N两点,求点O到线段MN的中垂线的最大距离.


例3 [2023·新课标Ⅰ卷] 在直角坐标系xOy中,点P到x轴的距离等于点P到点0,12的距离,记动点P的轨迹为W.
(1)求W的方程;
(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上,证明:矩形ABCD的周长大于33.


变式题 [2023·长春质检] 已知圆C的圆心在抛物线x2=2py(p>0)上运动,且圆C过定点A(0,p),圆C截x轴所得的弦为MN,设|AM|=m,|AN|=n,则mn+nm的取值范围是 .
证明问题
圆锥曲线中的证明问题多涉及几何量的证明,比如线段或角相等以及位置关系等.证明时,常把几何量用坐标表示,建立某个变量的函数,用代数方法证明.
例4 [2022·新高考全国Ⅱ卷] 设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0),渐近线方程为y=±3x.
(1)求C的方程.
(2)经过F的直线与C的渐近线分别交于A,B两点,点P(x1,y1),Q(x2,y2)在C上,且x1>x2>0,y1>0.过P且斜率为-3的直线与过Q且斜率为3的直线交于点M,从下面三个条件①②③中选择两个条件,证明另一个条件成立:
①M在AB上;②PQ∥AB;③|AM|=|BM|.


总结反思
圆锥曲线中的证明问题常见的有:几何性质
代数实现
对边平行
斜率相等,或向量平行
对边相等
长度相等,横(纵)坐标差相等
对角线互相平分
中点重合
几何性质
代数实现
点在圆上
点与直径端点向量数量积为零
点在圆外
点与直径端点向量数量积为正数
点在圆内
点与直径端点向量数量积为负数
几何性质
代数实现
锐角、直角、钝角
角的余弦(向量数量积)的符号
倍角、半角、平分角
角平分线性质、定理
等角(相等或相似)
比例线段或斜率
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(进群送往届全部资料)(1)位置关系方面:如证明直线与曲线相切,直线间的平行、垂直,直线过定点等.
(2)数量关系方面:如存在定值、恒成立、相等等.
在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下,一般采用直接法,通过相关的代数运算进行证明,但有时也会用反证法证明.
变式题1 [2023·湖北宜昌一中模拟] 已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线l:x=1与x轴交于点H,l与双曲线C的一条渐近线交于点T,且HF1+3HF2=0,TF1·TF2=-2.
(1)求双曲线C的方程;
(2)设过点H与x轴不重合的直线交双曲线C于A,B两点,直线AF2,BF2分别交l于点M,N,
求证:|HM|=|HN|.


变式题2 [2023·蚌埠模拟] 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,A,B分别为椭圆C的上、下顶点,且|AB|=22.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l:y=kx+m与椭圆C交于M,N两点(异于点A,B),O为坐标原点,且△OMN的面积为2,过点A作直线AT∥OM,交椭圆C于另一点T,求证:BT∥ON.