08 第54讲　圆锥曲线热点问题 01 第1课时　求值、最值与范围、证明问题 【答案】作业 高考数学二轮复习练习

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1.解:(1)因为点Fp2,0到直线l1:3x+4y-11=0的距离为85,所以3p2-1132+42=85,又00恒成立.
因为OA·OB=x1x2+y1y2=x1x2-13x1x2=23x1x2=23·3t2-91+3k2=3·t2-3t2=31-3t2,t2≥32且t2≠3,所以31-3t2∈[-3,0)∪(0,3).当直线l的斜率不存在时,x2=x1,y2=-y1,则k1k2=y1y2x1x2=-y12x12=-13,又x129+y123=1,所以x12=92,y12=32,则OA·OB=x12-y12=3.
综上,OA·OB的取值范围为[-3,0)∪(0,3].
3.解:(1)设A(x,y),因为|AE|=2|AF|,
所以(x-2)2+(y-0)2=2×x-222+(y-0)2,
整理得x2+y2=1,故曲线C的方程为x2+y2=1.
(2)由y=kx+m,x24-y29=1,得(4k2-9)x2+8kmx+4m2+36=0,
则有4k2-9≠0,(8km)2-4(4k2-9)(4m2+36)>0,可得m2+9>4k2且k≠±32.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-8km4k2-9,x1x2=4m2+364k2-9,因为∠MON=π2,
所以OM⊥ON,即x1x2+y1y2=0,所以x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0,整理得(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,把x1+x2=-8km4k2-9,x1x2=4m2+364k2-9代入,得(k2+1)·4m2+364k2-9+km·-8km4k2-9+m2=0,化简得m2=36(k2+1)5,又因为m2+9>4k2且k≠±32,
所以36(k2+1)5+9>4k2且k≠±32,解得k≠±32.
圆x2+y2=1的圆心为(0,0),半径为1,
圆心(0,0)到直线l:y=kx+m的距离d=|m|k2+1=65k2+1k2+1=655>1,所以点A到直线l距离的最大值为655+1,最小值为655-1,
故点A到直线l距离的取值范围为655-1,655+1.
4.解:(1)因为双曲线C的右焦点F(3,0)到双曲线C的一条渐近线的距离为2,双曲线C的渐近线方程为bx±ay=0,
所以3bb2+a2=3bc=2,又c=3,所以b=2,又a2+b2=c2,所以a2=5,故双曲线C的方程为x25-y24=1.
(2)设直线AB的方程为x=my+3,则点M的纵坐标yM=-43m,由x=my+3,x25-y24=1,得(4m2-5)y2+24my+16=0,则4m2-5≠0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-24m4m2-5,y1y2=164m2-5.
(i)|AF|·|BM||AM|·|BF|=|y1|·|y2-yM||yM-y1|·|y2|=|y1y2-y1yM||y2yM-y2y1|.
因为(y1y2-y1yM)-(y2yM-y2y1)=2y1y2-yM(y1+y2)=324m2-5--24m4m2-5·-43m=0,所以y1y2-y1yM=y2yM-y2y1,则|y1y2-y1yM|=|y2yM-y2y1|,
所以|AF|·|BM||AM|·|BF|=1.
(ii)证明:过点M且平行于OA的直线的方程为y+43m=y1my1+3x-53,直线OB的方程为y=y2my2+3x,
由y+43m=y1my1+3x-53,y=y2my2+3x,
得y+43m=y1my1+3my2+3y2y-53,即y2(my1+3)y+43m(my1+3)y2=y1(my2+3)y-53y1y2,则3(y2-y1)y=-3y1y2-4my2,所以点P的纵坐标yP=-3y1y2-4my23(y2-y1).
由y1+y2=-24m4m2-5,y1y2=164m2-5,得y1y2y1+y2=2-3m,则y1y2=-23m(y1+y2),所以yP=-3y1y2-4my23(y2-y1)=2m(y1+y2)-4my23(y2-y1)=2m(y1-y2)3(y2-y1)=-23m ,
又因为点Q的纵坐标yQ=0,所以yP=yM+yQ2,
所以P为线段MQ的中点,所以|MP|=|PQ|.
5.解:(1)因为双曲线C的离心率为2,所以a2+b2a2=2,即a2=b2,所以双曲线C的方程可化为x2-y2=a2,
由y=2x+43,x2-y2=a2,得x2-(2x+43)2=a2,即3x2+163x+a2+48=0.因为直线l1与双曲线C仅有一个公共点,所以Δ=(163)2-4×3(a2+48)=0,可得a2=16,
故双曲线C的方程为x216-y216=1.
(2)证明:设直线l2的方程为y=2x+m(m≠43,m≠8),
由y=2x+m,x216-y216=1,得3x2+4mx+m2+16=0,由Δ>0,得m2>48,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-43m,x1x2=m2+163.过点A引MN的垂线交C于另一点H,
由(1)知A(-4,0),则直线AH的方程为y=-12(x+4),即y=-12x-2.由y=-12x-2,x2-y2=16,得3x2-8x-80=0,解得x=-4或x=203,所以H203,-163,所以kANkMH=y2y1+163(x2+4)x1-203=3(2x1+m)(2x2+m)+16(2x2+m)(3x1-20)(x2+4)=
12x1x2+6m(x1+x2)+32x2+3m2+16m3x1x2+12(x1+x2)-32x2-80=
4(m2+16)-8m2+3m2+16m+32x2m2+16-16m-32x2-80=
-m2+16m+32x2+64m2-16m-32x2-64=-1,所以MH⊥AN,所以H为△AMN的垂心,又点H在双曲线C上,所以△AMN的垂心在双曲线C上.
6.解:(1)设P(x,y),则以PF为直径的圆的圆心为x+12,y2,根据圆与y轴相切,可得x+12=12|PF|=12(x-1)2+y2,化简得y2=4x,故曲线C的方程为y2=4x.
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(进群送往届全部资料)(2)由题意可知,直线l的斜率存在且不为0,设直线l的方程为y=k(x-1),由y=k(x-1),y2=4x,得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2(k2+2)k2,x1x2=1,设直线l的倾斜角为θ,则|AM|=|AF||tan θ|,|BN|=|BF||tan θ|,所以|AM|+|BN|=|AF||tan θ|+|BF||tan θ|=|AB||tan θ|=|AB||k|,且|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=2(k2+2)k2+2=4k2+4k2.由题意可知四边形MANB为梯形,所以梯形MANB的面积S=S△AMB+S△ANB=12|AB|(|AM|+|BN|)=|AB|2|k|2=8(k2+1)2|k|3=8(k4+2k2+1)|k|3 .设t=|k|>0,设S(t)=8(t4+2t2+1)t3=8t+2t+1t3,则S'(t)=81-2t2-3t4=8×t4-2t2-3t4=8(t2+1)(t-3)(t+3)t4,
则当t>3时,S'(t)>0,S(t)单调递增,当0