08 第54讲　圆锥曲线热点问题 01 第1课时　求值、最值与范围、证明问题 【答案】听课 高考数学二轮复习练习

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● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] (1)根据椭圆C过点P55a,22a,代入方程即可化简求出离心率;(2)设直线OQ的斜率为k,点Q的坐标为(x0,y0),将点Q的坐标代入直线OQ与椭圆的方程,消去y0得到x02,再由|AQ|=|AO|得出x0,即可建立关于k的方程,求解即可.
解:(1)∵点P55a,22a在椭圆C上,
∴a25a2+a22b2=1,整理得b2a2=58,∴椭圆C的离心率e=ca=c2a2=a2-b2a2=1-b2a2=1-58=64.
(2)由题意可知,点A的坐标为(-a,0),|AO|=a.
易知直线OQ的斜率存在,设直线OQ的斜率为k,则其方程为y=kx,设点Q的坐标为(x0,y0),则y0=kx0,x02a2+y02b2=1,消去y0,整理得x02=a2b2k2a2+b2①.
由|AQ|=|AO|,得(x0+a)2+k2x02=a2,整理得(1+k2)x02+2ax0=0,又x0≠0,∴x0=-2a1+k2②,把②代入①得4a2(1+k2)2=a2b2k2a2+b2,整理得(1+k2)2=4k2·a2b2+4,由(1)知a2b2=85,则(1+k2)2=325k2+4,即5k4-22k2-15=0,可得k2=5,故直线OQ的斜率k=±5.
变式题1 解:(1)由抛物线C:x2=2py(p>0)过点M(4,4),得42=2p×4,解得p=2,故抛物线C的方程为x2=4y.
(2)易知抛物线C的焦点坐标为(0,1),设直线l的方程为y=kx+1,由y=kx+1,x2=4y,得x2-4kx-4=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-4,所以|AB|=1+k2|x1-x2|=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=
k2+116k2+16=4(k2+1)=6,解得k=±22,故直线l的方程为y=±22x+1,则坐标原点O到直线l的距离d=24+2=63,故△OAB的面积为63×6×12=6.
变式题2 解:(1)由题意知9a2-7b2=1,a2+b2=4,
可得a4-20a2+36=0,则a2=2或a2=18.
当a2=2时,b2=2;当a2=18时,b2=-14,舍去.
故双曲线C的方程为x22-y22=1.
(2)设直线l的方程为x=ty+2(t>0),由x=ty+2,x22-y22=1,得(t2-1)y2+4ty+2=0,则t2-1≠0,Δ=16t2-8(t2-1)=8t2+8>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-4tt2-1,y1y2=2t2-1.
由直线l与双曲线C的右支交于A,B两点,结合直线l的斜率大于0,可得t>0,y1y2=2t2-1