2024年安徽省名校联盟中考模拟卷（四）数学试题

这是一份2024年安徽省名校联盟中考模拟卷（四）数学试题，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．的相反数是（ ）
A．2B．C．D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．喜迎新春，小明想制作一个如右图所示的象征美好寓意的精美摆件，他从不同方向观察摆件，画出了如下视图，其中主视图是（ ）

A． B．
C． D．
4．“善于学习，就是善于进步”．“学习强国”平台上线的某天，全国大约有124600000人在平台上学习，将这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
5．函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）

A．当时，
B．
C．若的图象与坐标轴围成的三角形面积为2，则
D．若点和点在直线上，则
6．如图，为的直径，C，D是上在直径异侧的两点，C是弧的中点，连接，，交于点P，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
7．在一个不透明的盒子中装有1个白球和2个黄球，每个球除颜色外，其他都相同．从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球记下颜色，则两次摸到的球的颜色不同的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在中，，是边上的高，垂足为D，点F在上，连接，E为的中点，连接，若，则的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
9．如图，在四边形中，，，，动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则随变化的函数图象大致为（ ）

A． B． C． D．
10．在边长为正方形中，与相较于点，是同平面内的一动点，，是中点，连接，则的最小值为（ ）

A．B．C．D．
二、填空题
11．计算： ．
12．因式分解： ．
13．如图，是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，点在轴负半轴上，且，连接，若的面积为，则的值为 ．

14．如图，在边长为的菱形中，，将菱形沿折叠，使点的对应点落在对角线BD上．若，则的长为 ，的长为 cm．
三、解答题
15．解方程：．
16．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点A的坐标为−2,3，点B的坐标为，点C的坐标为−1,1，请解答下列问题：
(1)将向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，画出平移后的；
(2)以原点O为位似中心，画出的位似图形，使与的相似比为．
17．观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：________________________；
(2)猜想第n个等式：________________________（用含n的等式表示），并证明．
18．为丰富同学们的课余生活，某校特举办了形式多样的趣味运动会，现准备购买跳绳和水杯两种奖品，奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买1根跳绳、2个水杯共需花费36元；购买3根跳绳、1个水杯共需花费33元，求购买1根跳绳、1个水杯各需多少元？
19．已知船甲从处向正北方向的岛航行，同时，船乙在岛正东方向海里的处向正东方向航行，此时船甲观察到船乙在北偏东方向，小时后船甲在处观察到船乙在北偏东方向的处，若船甲的航行速度为海里时，求船乙的速度．（精确到 海里，参考数据：，，）
20．如图，是的直径，弦于点，过点作交的延长线于点，点是延长线上一点，．．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求半径的长．
21．为增强学生体质，某校对学生进行体育综合素质测评，学校分别从七、八年级随机抽取了名学生的测评成绩（百分制，单位：分），并对数据（测评成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
．七年级名学生测评成绩的频数分布直方图（数据分成组：，，， ）如图所示：
． 七、八年级 名学生测评成绩的平均数、中位数和众数如表所示：
． 七年级 名学生传统文化知识测试成绩在 这一组的是， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ．
根据以上信息，回答下列问题．
(1)表中的值为 ，补全频数分布直方图．
(2)八年级菲菲同学的测试成绩是 分． 他认为高于本年级测试成绩的平均数，所以自己的成绩高于本年级一半学生的成绩． 你认为他的说法正确吗 请说明理由．
(3)若该校七年级共有 名学生，测试的成绩分及以上为合格，请你估算该校七年级学生测评成绩的合格人数．
22．如图1，在四边形中，，点为线段上一点，使得，，此时，连接，，且．

(1)求的长度；
(2)如图2，点为线段上一动点（点不与，重合），连接，以为斜边向右侧作等腰直角三角形．
①当时，试求的长度；
②如图3，点为的中点，连接，试问是否存在最小值，如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．
23．综合与探究
如图，抛物线的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点，作直线．
(1)求抛物线表达式及所在直线的函数表达式；
(2)若点P是第一象限内抛物线上的一个动点，连接，求面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)若点M是抛物线上的点，且，请直接写出点M的坐标．
年级
平均数
中位数
众数
七年级
八年级
参考答案：
1．A
【分析】本题考查相反数的定义，只有符号不同的两个数叫做互为相反数．根据相反数的定义解答即可．
【详解】解：的相反数是2．
故选：A．
2．C
【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是根据合并同类项，积的乘方及幂的乘方，同底数幂的除法，完全平方公式分别对各选项逐一分析即可作出判断．
【详解】解：A．，故此选项不符合题意；
B．，故此选项不符合题意；
C．，故此选项符合题意；
D．，故此选项不符合题意．
故选：C．
3．A
【分析】本题考查三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的平面图形．从正面看到的图是主视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线．
找到从正面看，得到的图形即可．
【详解】解：主视图是

故选：A．
4．B
【分析】本题考查科学记数法−表示较大的数，根据科学记数法的方法，可以将题目中的数据用科学记数法表示出来，本题得以解决，解答本题的关键是明确科学记数法的表示方法．
【详解】解：，
故选：B．
5．C
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数的性质结合图象即可得出结论．
【详解】解：观察一次函数图象发现，图象过点，即当时，，故A是错误的；
观察一次函数图象发现，图象经过第一、二、三象限，所以，故B是错误的；
若的图象与坐标轴围成的三角形面积为2，即，则，故C是正确的；
∵，
∴随的增大而增大，
∵，
∴，
故D是错误的，
故选：C．
6．A
【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，三角形的外角的性质的应用，先求解，再利用三角形的外角的性质可得答案．
【详解】解：如图，连接，

∵为直径，C是弧的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选A
7．D
【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与摸出的两个球中，颜色不同的情况，再利用概率公式即可求得答案；
【详解】解：用树状图列出所有可能的结果：
由树状图可知可知，共有6种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中“两次摸到不同颜色的球”有4种情况，
所以概率为：，
故选：D
8．B
【分析】本题考查了三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据 “三线合一”得到D为的中点，根据三角形中位线定理计算得到，再利用计算求解即可解题．
【详解】解：，是边上的高，垂足为D，
D为的中点，
E为的中点，
为的中位线，
，
，
，
故选：B．
9．D
【分析】分当时，点在上和当时，点在上，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：过作于，当时，点在上，

∵，
∴
∴，
∴，
∴，
当时，点在上，过点作于点，

∵，
∴
∴，
∴，
∵，，
∴
∴
∵，
∴四边形是矩形，
∴
，
综上所述，当时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当时，函数图象是直线的一部分，
故选：D．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象，一次函数的图象，矩形的性质，勾股定理，30度直角三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．
10．C
【分析】本题考查了正方形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，最短线段问题，由是同平面内的一动点，，可得点为正方形外接圆上一点，延长至，使，由是中点，可得为的中位线，即，由三角形两边之和大于第三边可知，当点三点共线时，最小，利用勾股定理即可求出最小值，进而求解，画出图形，正确找到取最小值时点的位置是解题的关键．
【详解】解：∵是同平面内的一动点，，
∴点为正方形外接圆上一点，
延长至，使，
∵是中点，
∴为的中位线，
∴，
由三角形两边之和大于第三边可知，当点三点共线时，最小，
过点作于，
∵为正方形，边长为，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值，
故选：．

11．
【分析】根据二次根式的化简和零指数幂的知识进行计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的二次根式化简和零指数幂的知识，解题关键是学会二次根式化简和零指数幂．
12．
【分析】本题主要考查提公因式法，公式法因式分解，掌握提公因式法，乘法公式进行因式分解是解题的关键．
先提取公因式，再运用乘法公式进行因式分解即可求解．
【详解】解：
，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义．熟练掌握反比例函数值的几何意义是关键．
根据反比例函数值的几何意义，求出三角形面积即可知道值．
【详解】解：，的面积为，
∴，
∴，
故答案为：．
14． /
【分析】由折叠的性质可知，，，则，因为四边形是菱形，则，，则推出为等边三角形，则，，推出，又因为，则，则，因为，推出，则，设，，，则，求出；又因为，即，解得，又因为，即，则；推出-2．
【详解】解：由折叠的性质可知，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，，
∴，
即；
又∵，
即，
解得，
∵，
即，
∴；
∴），
故答案为：，．
【点睛】本题考查翻折变换，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，相似三角形的判定及性质，解题的关键是掌握相关知识．
15．，
【分析】本题考查解一元二次方程，利用公式法求解即可．解题的关键是掌握解一元二次方程的一般方法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，根据情况灵活选用解法求解即可．
【详解】解：，
∵
∴，
∴，
∴，．
16．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图—平移变换、位似变换，熟练掌握平移规律，位似变换的性质是解题的关键．
（1）根据“横坐标：左减右加，纵坐标：上加下减”的平移规律，得到平移后的点坐标，描点，连接即可；
（2）根据位似的性质，将横坐标，纵坐标都按照位似比进行变化，得到变换后的点坐标，描点，连接即可．
【详解】（1）解：点A的坐标为−2,3，点B的坐标为，点C的坐标为−1,1，点，，，为点，，分别向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度所得，
，，，
，，，
如图所示，连接，，组成的即为所求．
（2）解：，，，与的相似比为，原点O为位似中心，
，，，即，，，
如图所示，连接，，，组成的即为所求．
17．(1)
(2)，证明见解析
【分析】本题主要考查数字规律问题，理解题目中代数式中各式的数量关系，掌握整式的运算，分式的运算法则是解题的关键．
（1）根据材料提示中的数量关系即可求解；
（2）根据材料提示，分式的运算法则即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得，第6个等式为：，
故答案为：；
（2）解：第n个等式为：，理由如下，
证明：左边右边，
∴等式成立，
故答案为：．
18．购买1根跳绳需6元，1个水杯需15元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设购买一根跳绳元，购买一个水杯需元，根据题意列出二元一次方程组可得出答案．熟悉相关性质，找准各个数量之间的关系是解题的关键．
【详解】解：设购买一根跳绳元，购买一个水杯需元，
根据题意，得：，
解得：，
答：购买一根跳绳6元，购买一个水杯需15元；
19．海里时
【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解直角三角形求出海里，再解直角三角形求出海里，即可得海里，进而可得船乙的速度，掌握解直角三角形是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，海里，，，
在中，，
海里，
海里，
海里，
在中，，
海里，
海里，
∴船乙的速度为海里时．
答：船乙的速度约为海里时．
20．(1)见详解
(2)5
【分析】（1）连接，则，由于点，得，由，，得，则，即可证明是的切线；
（2）由垂径定理得，而，所以，由，则，根据勾股定理得，即可求得，则半径的长是5．
【详解】（1）证明：连接，则，
，
于点，
，
交的延长线于点，点是延长线上一点，
，
，
，
，
是的半径，且，
是的切线．
（2）解：，
，，
，
，
，
，
，，
，
解得，
半径的长是5．
【点睛】此题重点考查切线的性质、垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的“三线合一”、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
21．(1)，见解析
(2)不正确，见解析
(3)人
【分析】本题考查了频数分布直方图，平均数，中位数，众数，样本估计总体；
（1）根据中位数的定义，结合已知数据，即可求解，根据第三组的频数补全频数直方图；
（2）根据中位数的意义，即可求解．
（3）根据样本估计总体，用七年级测试的成绩分及以上的占比乘以，即可求解．
【详解】（1）解：七年级的中位数为第 40 和第个数据的平均数，
∴；
第三组的频数为（人）， 补全频数分布直方图如下
故答案为：．
（2）解：菲菲的说法不正确，
理由：77 分虽然高于本年级测试成绩的平均数，但低于中位数，所以他的成绩低于本年级一半学生的成绩；
（3）解： （人），
答：估算该校七年级学生的总人数有 990 人．
22．(1)
(2)①；②
【分析】（1）取的中点，连接，证明，得出则，进而根据，即可求解；
（2）①如图所示，过点作于点，过点作于点，证明得出，即可得出，证明，进而证明在上，根据已知条件证明在上，然后解直角三角形，即可求解；
②如图所示，过点作于点，连接，由①可得在上运动，当时，取得最小值，即重合时，的长即为的最小值，由①可得，求得，根据，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，取的中点，连接，

∵，，
∴，，
又∵
∴
∵，
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
（2）①如图所示，过点作于点，过点作于点，

由（1）可得
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵都是等腰直角三角形，
∴
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
∴
在中，
∴
∴
∵
∴
又∵
∴
∴在上，
∵，
∴
∵
∴在上，
∵，
∴，则
∵
∴
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
②如图所示，过点作于点，连接，

由①可得在上运动，
∴当时，取得最小值，即重合时，的长即为的最小值，
设交于点，即与①中点重合，由①可得
∵
∴，
∴
设
则，
在中，．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解直角三角形，证明点在上是解题的关键．
23．(1)抛物线解析式为，直线的解析式为，
(2)面积的最大值为4，此时点P的坐标为
(3)或
【分析】（1）设出直线解析式，分别把B4,0，代入抛物线解析式中和直线解析式中，利用待定系数法求解即可；
（2）过点P作轴交于D，设，则，可得；再由，得到，利用二次函数的性质即可求出答案；
（3）如图所示，取点，连接，利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，得到，则点M即为为抛物线的交点，同理可得直线解析式为，联立，解得或，则点M的坐标为；求出直线与y轴的交点坐标为；取，则直线解析式为，由对称性可得，则射线与抛物线的交点即为点M，同理可得点M的坐标为．
【详解】（1）解：把B4,0，代入中得：，
∴，
∴抛物线解析式为；
设直线的解析式为，
把B4,0，代入中得：，
∴，
∴直线的解析式为；
（2）解：如图所示，过点P作轴交于D，
设，则，
∴；
∵，
∴
，
∵，
∴当时，最大，最大值为4，
∴此时点P的坐标为
（3）解：如图所示，取点，连接，
∵B4,0，，
∴，，
，
∴，，
∴是直角三角形，且，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴点M即为为抛物线的交点，
同理可得直线解析式为，
联立，解得或，
∴点M的坐标为；
在中，当时，，
∴直线与y轴的交点坐标为；
取，则直线解析式为，
由对称性可得，
∴射线与抛物线的交点即为点M，
联立，解得或，
∴点M的坐标为；
综上所述，点M的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，解（2）的关键在于利用线段的长表示出对应三角形的面积，解（3）的关键在于取出H点证明等腰直角三角形得到45度的角．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
A
B
C
A
D
B
D
C