内蒙古自治区赤峰市部分学校2024-2025学年高三上学期9月联考数学试题
展开1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容:集合与常用逻辑用语,一元二次函数、方程和不等式,函数的概念与性质,指数函数与对数函数,一元函数的导数及其应用。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.命题“,”的否定为
A.,B.,C.,D.,
2.满足的集合的个数为
A.8B.7C.6D.4
3.已知,,,则
A.B.C.D.
4.已知函数,则
A.有最小值1,无最大值B.有最大值1,无最小值C.有最小值0,无最大值D.有最大值0,无最小值
5.已知,则“”是“”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6.每年3月21日是世界睡眠日.充足的睡眠、均衡的饮食和适当的运动是国际社会公认的三项健康标准.对于青少年来说,每天进行中等强度的体育运动有助于提高睡眠质量.运动强度等级与运动后的心率的关系如下表:
已知青少年羽毛球运动后的心率与运动时间(单位:分钟)满足关系式,其中为正常心率.某同学正常心率为70,若该同学要达到中等强度的羽毛球运动,则运动时间至少约为(参考数据:)
A.35分钟B.41分钟C.52分钟D.62分钟
7.已知函数恰有一个零点,则
A.-2B.-1C.0D.1
8.已知,且是函数的极大值点,则的取值范围为
A.B.C.D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列结论错误的有
A.若,则B.若,,则
C.若,则D.若,则
10.已知幂函数的图象经过点,则函数的大致图象可能为
A.B.C.D.
11.对任意,,函数,都满足,则
A.是增函数B.是奇函数
C.的最小值是D.为增函数
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.曲线在处的切线方程为________.
13.已知二次函数满足,则函数的单调递增区间为________.
14.已知,,且,若的最小值为3,则________.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
已知集合,.
(1)若,求,;
(2)若,求的取值范围.
16.(15分)
已知正实数,满足.
(1)求的最小值;
(2)证明:.
17.(15分)
已知函数,且.
(1)求的值;
(2)求不等式的解集.
18.(17分)
已知,函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若恒成立,求的取值范围.
19.(17分)
在平面直角坐标系中,定义:若曲线和上分别存在点,关于原点对称,则称点和点为和的一对“关联点”.
(1)若上任意一点的“关联点”为点,求点所在的曲线方程.
(2)若上任意一点的“关联点”为点,求的取值范围.
(3)若和有且仅有两对“关联点”,求实数的取值范围.
高三数学试卷参考答案
1.C 全称量词命题的否定为存在量词命题.
2.A 由题可知,则满足条件的集合有8个.
3.B 因为,,,所以.
4.C 因为,所以.当时,,单调递减,当时,,单调递增,故的最小值为,无最大值.
5.A 若,则,即.取,,,满足,,不满足.故“”是“”的充分不必要条件.
6.B 由题可知,,则,所以,从而,故运动时间至少约为41分钟.
7.B 为偶函数,其图象关于轴对称.由恰有一个零点,可得,解得,此时,当时,,,则在上无零点,从而恰有一个零点.
8.D .令,易知在上单调递增,.当时,则存在,使得,符合是函数的极大值点;当时,则存在,使得,不符合是函数的极大值点;当时,,不符合是函数的极大值点.综上,的取值范围为.
9.ABD 对于A,当时,,所以A错误;
对于B,若,,,,则,,此时,所以B错误;
对于C,,当且仅当时,等号成立,所以C正确;
对于D,,则,所以D错误.
10.BD 设,因为的图象过点,所以,解得,所以,,故A,C错误,B,D正确.
11.ACD 由题意得恒成立,所以存在常数,使得且.
令,得解得经检验,符合条件.
由,得是增函数且不是奇函数,A正确,B错误.因为,所以在上单调递减,在上单调递增,所以的最小值为,C正确.,D正确.
12. 由,得.当时,,,故曲线在处的切线方程为.
13. 设,则,所以,,,则,故.
由,得.因为在上单调递增,在上单调递减,所以根据复合函数的单调性可知,的单调递增区间为.
14.8 因为,所以.,当且仅当时,等号成立.故,解得.
15.解:(1)由,得,则.…………1分
因为,所以由,得,则.…………2分
故,,.…………6分
(2)因为,所以.…………7分
若,即,则,符合;…………9分
若,即,则,…………10分
由,可得解得.…………12分
综上所述,的取值范围为.…………13分
16.(1)解:因为,所以…………3分
,…………5分
当且仅当,时,等号成立,…………6分
故的最小值为.…………7分
(2)证明:由,可得,…………9分
则,…………11分
当且仅当时,等号成立,…………12分
则,…………14分
从而.…………15分
17.解:(1)因为,所以,…………3分
则.…………5分
又,…………6分
所以,…………7分
从而.…………8分
(2)由(1)可知,…………9分
显然在上单调递增.…………10分
因为,所以由,可得,…………12分
则,解得或,…………14分
故不等式的解集为.…………15分
18.解:(1)的定义域为,.…………1分
当时,,则在上单调递增;…………3分
当时,令,解得,令,解得,
所以在上单调递增,在上单调递减.…………6分
(2)由,可得,即.…………9分
令,易知单调递增.…………10分
由,可得,则,即.…………分
令,则.
当时,,单调递减,当时,,单调递增,
所以,…………15分
则,解得,故的取值范围为.…………17分
19.解:(1)设点,则点的“关联点”为,
将点的坐标代入,得,…………2分
即,所以点所在的曲线方程为.…………4分
(2)设,则根据对称性得.…………5分
因为曲线关于轴对称,当时,设,,,…………7分
所以,…………9分
所以的最小值为,最大值为,所以的取值范围为.10分
(3)和有且仅有两对“关联点”等价于曲线和有且仅有两个交点,
即,化简可得.…………11分
令,则.
(i)若,则,由,得.
当时,,当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以的最小值为.
①当时,,即,则没有零点,不满足题意.
②当时,,只有一个零点,不满足题意.
③当时,,即,
当时,,,
因为,所以,故,
又,所以在上有一个零点.
设,则,单调递增,所以,
则当时,,
又,所以,因此在上有一个零点.
故当时,有两个不同的零点,满足题意.…………14分
(ii)若,则由,得,.
①当时,,当时,;当时,;当时,.所以在和上单调递减,在上单调递增.
又,所以至多有一个零点,不满足题意.
②当时,,则,所以单调递减,至多有一个零点,不满足题意.
③当时,,当时,;当时,;当时,.所以在和上单调递减,在上单调递增,
又,所以至多有一个零点,不满足题意.
综上,实数的取值范围为.…………17分运动强度等级
运动不足
中等强度
运动过量
运动后的心率
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