2024届内蒙古自治区赤峰市红山区校级联考高三上学期期中数学（文）试题含答案

这是一份2024届内蒙古自治区赤峰市红山区校级联考高三上学期期中数学（文）试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．集合，则
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】解析过程略
2．已知复数，则（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】根据复数的四则运算法则及模的计算公式，即可得到本题答案.
【详解】由题，得，所以.
故选：D
【点睛】本题主要考查复数的四则运算及模的计算，考查学生的运算求解能力，属基础题.
3．向量在正方形网格中的位置如图所示.若向量与共线,则实数
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由图像，根据向量的线性运算法则，可直接用表示出，进而可得出.
【详解】由题中所给图像可得：，又 ，所以.
故选D
【点睛】本题主要考查向量的线性运算，熟记向量的线性运算法则，即可得出结果，属于基础题型.
4．下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为
A．，xR
B．，xR且x≠0
C．,xR
D．，xR
【答案】B
【详解】首先判断奇偶性：A,B为偶函数，C为奇函数，D既不是奇函数也不是偶函数,所以排除C、D，
对于先减后增，排除A，故选B.
【解析】函数的奇偶性、单调性.
5．已知双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用点到直线距离公式可求得，利用求得，进而可得离心率.
【详解】取双曲线的一个焦点，一条渐近线：

本题正确选项：
【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，关键是利用点到直线距离公式构造方程求得，属于基础题.
6．已知函数，则下列说法正确的是
A．的最小正周期为B．的最大值为2
C．的图像关于轴对称D．在区间上单调递减
【答案】C
【分析】利用余弦型函数的图像与性质逐一判断即可.
【详解】∵f（x）＝sin4x﹣cs4x＝sin2x﹣cs2x＝﹣cs2x，
∴函数的最小正周期T＝π，
∵f（﹣x）＝﹣cs（﹣2x）＝﹣cs2x＝f（x），
∴f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，
∵f（x）＝cs2x在[，]上单调递减，故f（x）＝﹣cs2x在[，]上单调递增．
故选C．
【点睛】本题考查余弦函数的单调性、对称性以及最值，三角函数的周期公式，以及平方关系、二倍角的余弦公式的应用，熟练掌握函数的性质与公式是解题的关键．
7．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，该作中有题为“李白沽酒”“李白街上走，提壶去买酒．遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒．借问此壶中，原有多少酒？”，如图为该问题的程序框图，若输出的值为0，则开始输入的值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先执行程序，依次求出每次的输出结果，当输出结果为0时，求出此时的值，因此输入框里的输入的值是此时的值，从中选出正确的答案.
【详解】模拟程序的运行，可得
当时，，满足条件，执行循环体；
当时，，满足条件，执行循环体；
当时，，不满足条件，退出循环体，输出，
所以，.
所以本题答案为B.
【点睛】本题考查了通过输出结果写出输入框中输入的值，正确按程序框图写出每次循环后的结果，是解题的关键.
8．设则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】根据对数函数的单调性先比较与的大小，与的大小，再将分别与比大小，即可得出结论.
【详解】解：
，
.
故选：A.
【点睛】本题考查比较对数式的大小，利用对数函数的单调性是解题的关键，要注意与第三数比大小，属于基础题.
9．已知数列是等差数列，若，则
A．18B．17C．15D．14
【答案】B
【解析】利用等差数列通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a7．
【详解】∵数列{an}是等差数列，a2＝2，S6＝39，
∴，
解得a1＝﹣1，d＝3，
∴a7＝﹣1+6×3＝17．
故选：B．
【点睛】本题考查数列的某项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10．若实数x，y满足不等式组，则的最大值为（ ）
A．4B．C．-6D．6
【答案】A
【解析】先作可行域，再根据目标函数所表示的直线，结合图象确定最优解，代入得结果.
【详解】作可行域如图，则直线过点时取最大值4,
故选：A
【点睛】本题考查线性规划求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.
11．已知等比数列的各项都为正数，则，，成等差数列，则的值是
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设等比数列的公比为，且，由题意和等差中项的性质列出方程，由等比数列的通项公式化简后求出，由等比数列的通项公式化简所求的式子，化简后即可求值．
【详解】解：设等比数列的公比为，且，
，，成等差数列，
，则，
化简得，，解得，
因为
所以，
，
故选：．
【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式，以及等差中项的性质的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．
12．已知函数，其中是自然对数的底数．若，则实数的取值范围是．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】令，．判断其奇偶性单调性即可得出．
【详解】令，．
则，在上为奇函数．
，
函数在上单调递增．
，化为：，
即，化为：，
，
即，
解得．
实数的取值范围是．
故选．
【点睛】本题考查了构造法、利用导数研究函数的单调性奇偶性、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
二、填空题
13．已知，，则 .
【答案】
【分析】由的值及的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出与的值，代入原式计算即可.
【详解】，，
，，
则，
故答案为：.
14．函数在点处的切线方程为 .
【答案】
【分析】先求出的导数，再求出切点处的函数值和导数值，最后结合直线的点斜式方程求得切线方程.
【详解】由已知得，
所以，，
故切线方程为，
即，
故答案为：.
15．已知直线和圆交于，两点，为坐标原点，若，则实数 .
【答案】
【分析】联立，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积求出.
【详解】联立可得，
，解得，
设，，则，，
所以，
所以，
解得，
故答案为：.
16．已知抛物线的焦点为F，，是抛物线C上的两个动点，若，则的最大值为 .
【答案】
【分析】根据抛物线的定义，结合余弦定理、基本不等式和余弦函数的单调性进行求解即可.
【详解】抛物线的准线方程为：，
所以由已知，得，
因为
，
因为，所以，
因此的最大值为.
故答案为：
【点睛】本题考查了抛物线定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了基本不等式的应用，考查了余弦函数的单调性应用，考查了数学运算能力.
三、解答题
17．2022年北京冬奥运动会即第24届冬季奥林匹克运动会将在2022年2月4日至2月20日在北京和张家口举行，某研究机构为了了解大学生对冰壶运动的兴趣，随机从某大学生中抽取了100人进行调查，经统计男生与女生的人数比为，男生中有20人表示对冰壶运动有兴趣，女生中有15人对冰壶运动没有兴趣.
（1）完成列联表，并判断能否有把握认为“对冰壶运动是否有兴趣与性别有关”？
（2）用分层抽样的方法从样本中对冰壶运动有兴趣的学生中抽取6人，求抽取的男生和女生分别为多少人？若从这6人中选取两人作为冰壶运动的宣传员，求选取的2人中恰好有1位男生和1位女生的概率.
附：，其中
【答案】（1）填表见解析，有把握认为“对冰壶运动是否有兴趣与性别有关”（2）抽取的男生数、女生数分别为：2,4，选取的2人中恰好有1位男生和1位女生的概率为
【分析】（1）先得2×2列联表，在根据表中数据计算，结合临界值表可得到结论；
（2）对冰壶运动有兴趣的学生共有60人，从中抽取6人，抽取的男生数，女生数分别为：，．再用列举法得到从6中选取2人的基本事件和恰好有1位男生和1位女生的基本事件，用古典概型概率公式可得．
【详解】（1）根据题意得如下列联表：
所以
所以有把握认为“对冰壶运动是否有兴趣与性别有关”，
（2）对冰壶运动有兴趣的学生共60人，从中抽取6人，抽取的男生数、女生数分别为：
，.
记2名男生为，；女生为，，，，则从中选取2人的基本事件
为：，，，，，，，，，，，，，，共15个，
其中含有1男1女的基本事件为：，，，，，，，共8个
记“对冰壶运动有兴趣的学生中抽取6人做宣传员，恰好一男一女”的事件为，则，
所以选取的2人中恰好有1位男生和1位女生的概率为.
【点睛】本题考查了独立性检验，属中档题．
18．已知在的三个内角分别为、、，，.
（1）求的大小；
（2）若，求长.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由题得，再解方程即得解；（2）求出，再利用正弦定理得解.
【详解】（1）由题得，
所以，所以，
解得，，∴.
（2）
由正弦定理得.
【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系，考查和角的正弦公式的应用，考查正弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
19．四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝BC＝1，PA＝CD＝2，PA⊥平面ABCD，E在棱PB上．
（Ⅰ）求证：AC⊥PD；
（Ⅱ）若VP﹣ACE，求证：PD∥平面AEC．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析
【分析】（I）过作，判断出四边形为则方程，由此证得，结合证得平面，从而证得.
（II）利用题目所给体积求得到平面的距离，连接交于，连接，通过证明，证得，由此证得平面.
【详解】（Ⅰ）过A作AF⊥DC于F，∵AB∥CD，AB⊥BC，AB＝BC＝1，∴四边形ABCF为正方形，则CF＝DF＝AF＝1，
∴∠DAC＝90°，得AC⊥DA，又PA⊥底面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PA，
又PA，AD⊂平面PAD，PA∩AD＝A，∴AC⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴AC⊥PD；
（Ⅱ）设E到平面ABCD的距离为h，则VP﹣ACE，得h．
又PA＝2，则PB：EB＝PA：h＝3：1．∵BC＝1，CD＝2，∴DB，连接DB交AC于O，连接OE，
∵△AOB∽△COD，∴DO：OB＝2：1，得DB：OB＝3：1，
∴PB：EB＝DB：OB，则PD∥OE．又OE⊂平面AEC，PD⊄平面AEC，∴PD∥平面AEC．
【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查线面平行的证明考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
20．已知椭圆的焦距为，且长轴长与短轴长之比为.
（1）求椭圆方程；
（2）若不与坐标轴平行的直线与椭圆相切于点，为坐标原点，求直线与直线的斜率之积.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）待定系数法求椭圆方程；
（2）可设的方程为(存在且)，与椭圆联立消去可得解出切点坐标，求出直线的斜率，即可求出直线与直线的斜率之积.
【详解】（1）设椭圆的焦距为，则，且，又解得：，
所以所求椭圆的方程为.
（2）由题意：可设的方程为(存在且)
与椭圆联立消去可得
由直线与椭圆相切，可设切点为
由判别式，整理得：.
解得，因此，直线的斜率为，
而直线的斜率为，
即直线与直线的斜率之积为.
【点睛】（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程；
（2）直线与二次曲线的位置关系通常可以用解析法判断：把直线方程与二次曲线方程联立，根据方程组解得情况判断直线与二次曲线的位置关系.
21．已知函数.
（1）求的单调区间与极值；
（2）当函数有两个极值点时，求实数a的取值范围.
【答案】（1）减区间，增区间 ，极小值为，无极大值；（2）.
【解析】（1）求出函数的导函数，根据导函数即可求出单调区间以及极值；
（2）求出的导函数，使导函数有两个根，采用分离参数法，结合（1）中的值域即可求出参数的取值范围．
【详解】解：（1）由，
则，
令，则，
令，即，解得，
所以函数的单调递增区间为；
令，即，解得，
所以函数的单调递减区间为；
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得极小值，极小值，无极大值.
综上所述，单调递增区间为；单调递减区间为；极小值为2，无极大值；
（2）由，
则，
若有两个极值点，则有两个根
即有两解，即，
即与有两个交点，
由（1）可知在上单调递减；在上单调递增，
，所以；
考虑函数，，
由洛必达法则：，
，，
所以若与有两个交点，则．
【点睛】本题主要考查导数在函数单调性中的应用以及由函数的极值点个数求参数的取值范围，考查了转化、化归思想，属于中档题．
22．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，直线l的参数方程为：（t为参数），直线l与曲线C分别交于两点.
(1)写出曲线C和直线l的普通方程；
(2)若点，求的值.
【答案】(1);
(2)
【分析】（1）利用极坐标和直角坐标方程得转化公式即可得出曲线C的普通方程，消去直线l参数方程中的t即可得直线l的普通方程；（2）联立直线l的参数方程和曲线C的普通方程得出关于参数的一元二次方程，利用参数的几何意义和韦达定理即可求得的值.
【详解】（1）将等号两边同时乘以可得，
所以；即；
所以曲线C的普通方程为；
将消去参数t可得，，整理得；
即直线l的普通方程为
（2）注意到在直线l上，直线倾斜角为，， ，
解得
所以直线参数方程为为参数），
联立C的直角坐标方程与l的参数方程得
整理得，
设方程的解为，则，，异号.
不妨设，，
有.
23．已知函数.
（1）若，解关于的不等式；
（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）利用零点分段法将表示为分段函数的形式，由此求得不等式的解集.
（2）对分成三种情况，求得的最小值，由此求得的取值范围.
【详解】（1）当时，，
由此可知，的解集为
（2）当时，
的最小值为和中的最小值，其中，.所以恒成立.
当时，，且，不恒成立，不符合题意.
当时，，
若，则，故不恒成立，不符合题意；
若，则，故不恒成立，不符合题意.
综上，.
【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查根据绝对值不等式恒成立求参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
有兴趣
没有兴趣
合计
男
20
女
15
合计
100
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
2.072
2.076
3.841
5.024
6.635
有兴趣
没有兴趣
合计
男
20
25
45
女
40
15
55
合计
60
40
100