2024届内蒙古自治区赤峰市红山区校级联考高三上学期期中数学（理）试题含答案

这是一份2024届内蒙古自治区赤峰市红山区校级联考高三上学期期中数学（理）试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由复数的除法运算首先算出，结合共轭复数的概念即可求解.
【详解】由题意，所以.
故选：D.
2．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，求得，结合集合交集的概念与运算，即可求解.
【详解】由集合，
根据集合交集的运算，可得.
故选：C.
3．执行下面的程序框图，输出的（ ）

A．21B．34C．55D．89
【答案】B
【分析】根据程序框图模拟运行，即可解出．
【详解】当时，判断框条件满足，第一次执行循环体，，，；
当时，判断框条件满足，第二次执行循环体，，，；
当时，判断框条件满足，第三次执行循环体，，，；
当时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出．
故选：B.
4．如图所示，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的体积为（ ）
A．10B．20C．30D．40
【答案】A
【分析】由题意首先由三视图还原空间几何体，然后由所得的空间几何体的结构特征求解其体积即可.
【详解】如图所示，在长方体中，，，
点为所在棱上靠近点的三等分点，为所在棱的中点，
则三视图所对应的几何体为长方体去掉长方体之后所得的几何体，
其体积为：.
故选：A.
5．在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设区间内取到的数是，在内取到的数为，得到不等式组，作出对应你的平面区域，分别求得和五边形的面积，结合面积比的几何概型概率计算，即可求解.
【详解】设区间内取到的数是，在内取到的数为，
则满足，作出不等式组对应你的平面区域，如图所示，
可得对应的图形的面积为，
由两数之和大于，即，
设直线交于点，可得，
则的面积为，所以五边形的面积为，
则两数之和大于的概率为.
故选：C.
6．已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据正弦函数和指数函数的性质，得到命题都为假命题，再结合复合命题的真假判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】由正弦函数的性质知：，所以命题为假命题，
由指数函数的性质，可得，所以命题为假命题，
则和都是真命题，
可得，，，为假命题，所以为真命题.
故选：D.
7．五一小长假期间，旅游公司决定从6辆旅游大巴A､B､C､D､E､F中选出4辆分别开往紫蒙湖､美林谷､黄岗梁､乌兰布统四个景区承担载客任务，要求每个景区都要有一辆大巴前往，每辆大巴只开往一个景区，且这6辆大巴中A､B不去乌兰布统，则不同的选择方案共有（ ）
A．360B．240C．216D．168
【答案】B
【分析】优先考虑去乌兰布统，再把剩下的三个景区各安排一辆大巴前往，利用分步计算原理得解.
【详解】这6辆旅游大巴，A､B不去乌兰布统，则不同的选择方案共有种.
故选：B.
8．若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
【详解】[方法一]：直接法
由已知得：,
即：，
即：
所以
故选：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一:设β=0则sinα +csα =0，取，排除A, B；
再取α=0则sinβ +csβ= 2sinβ，取β，排除D；选C.
[方法三]：三角恒等变换

所以
即
故选：C.
9．设为抛物线的焦点，点在上，点，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先利用焦半径公式确定点的坐标，再利用两点间距离公式求.
【详解】由题意可知，，
由，设点，
所以，得，则，
即或，所以.
故选：A
10．函数的部分图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据奇偶性及函数值的正负判断即可.
【详解】因为，定义域为R
所以
所以为奇函数，且，排除AB；
当时，，即，排除D
故选：C.
11．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：
.
设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题在正确理解题意的基础上，将有关式子代入给定公式，建立的方程，解方程、近似计算．题目所处位置应是“解答题”，但由于题干较长，易使考生“望而生畏”，注重了阅读理解、数学式子的变形及运算求解能力的考查．
【详解】由，得
因为，
所以，
即，
解得，
所以
【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形出错．
12．在三棱锥中，是等边三角形，，，且，点是棱的中点，则平面截三棱锥外接球所得截面的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，确定三棱锥外接球球心，利用等体积法结合球的截面小圆性质求出截面圆半径作答.
【详解】在三棱锥中，是等边三角形，，，，
则，，则有，取中点O，连接，有，
因此点O是三棱锥外接球球心，球半径，如图，
因为点是棱的中点，则，等腰底边上的高，
的面积，取中点F，连接，
则，而平面，于是平面，
在中，，由余弦定理得，
有，的面积，
，
显然，令点O到平面的距离为d，
因此，即，解得，令平面截三棱锥外接球所得截面小圆半径为r，
则有，所以平面截三棱锥外接球所得截面面积.
故选：D
【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.
二、填空题
13．若双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程 .
【答案】
【分析】根据题意得到双曲线的渐近线方程为，再由双曲线的离心率为，得到，结合，求出，进而得到渐近线方程.
【详解】由题意知，即，
在双曲线中，
联立消去得到，
所以双曲线的渐近线方程为，
故答案为：.
14．已知向量，若，则 .
【答案】/
【分析】根据平面向量的垂直的坐标表示，列出方程，即可求解.
【详解】由向量，可得，
因为，所以，解得.
故答案为：.
15．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则 ．
【答案】
【分析】由三角形面积公式可得，再结合余弦定理即可得解.
【详解】由题意，，
所以，
所以，解得（负值舍去）.
故答案为：.
16．已知过点与曲线（）相切的直线有且仅有两条，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】设出切点坐标，求出函数的导数，即可求出切线的斜率，从而得到切线方程，将代入切线方程，题中相切的直线有且仅有两条等价于方程有两个不等的正实数根．构造函数通过函数的导数，利用函数的极值转化求解即可.
【详解】∵，
∴．
设切点为，则有，
所以过点P的切线方程为，
又点在切线上，
所以，
整理得，
由题意得方程有两个不等的正实数根．
设，则，
要使的图象与t轴的正半轴有两个不同的交点，则需．
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得．
即实数的取值范围是．
故答案为：
【点睛】本题考查由转化思想将曲线的切线条数转化为方程的根进而转化为函数的零点问题处理，还考查了利用导数求曲线的切线方程，属于难题.
三、解答题
17．在等差数列中，为其前n项和，且.
(1)求数列的通过项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为，由已知条件求出可得答案；
（2）利用裂项相消求和可得答案.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由已知条件得，解得，
；
（2）由（1）得，
.
18．为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）.
(1)设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为，求的分布列和数学期望；
(2)测得40只小鼠体重如下（单位：g）：（已按从小到大排好）
对照组：17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.4
26.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3
实验组：5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.2
14.4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.2 26.0
（i）求40只小鼠体重的中位数m，并完成下面2×2列联表：
（ii）根据2×2列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.
参考数据：
【答案】(1)分布列见解析，
(2)（i），列联表见解析；（ii）能
【分析】（1）由题意可得的可能取值为，然后求出各自对应的概率，从而可求出的分布列和数学期望；
（2）（i）先对这40个数按从小到大的顺序排列，找出第20个和第21个数，这两个数的平均数就是中位数，然后根据已知数据填2×2列联表；（ii）由列联表中的数据，根据卡方公式求出卡方，再根据临界值可得结论.
【详解】（1）依题意，的可能取值为，
则，，，
所以的分布列为：
故.
（2）（i）依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，
由于原数据已经排好，所以我们只需要观察对照组第一排数据与实验组第二排数据即可，
可得第11位数据为，后续依次为，
故第20位为，第21位数据为，
所以，
故列联表为：
（ii）由（i）可得，，
所以能有的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.
19．如图所示，在三棱锥中，平面
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先由线面垂直的性质证得，再利用勾股定理证得，从而利用线面垂直的判定定理即可得证；
（2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.
【详解】（1）因为平面，平面，所以且，
所以为直角三角形，，可得
又因为，所以，可得，
因为且，所以平面.
（2）由（1）知：平面，因为平面，所以
以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示：则，
可得，
设平面的法向量为，则，
取，则，所以，
设平面的法向量为，则，
取则，所以，
所以，即二面角的余弦值.
20．已知椭圆的一个顶点为，焦距为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得，即可求出，从而求出椭圆方程；
（2）首先表示出直线方程，设、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线、的方程，表示出、，根据得到方程，解得即可；
【详解】（1）解：依题意可得，，又，
所以，所以椭圆方程为；
（2）解：依题意过点的直线为，设、，不妨令，
由，消去整理得，
所以，解得，
所以，，
直线的方程为，令，解得，
直线的方程为，令，解得，
所以
，
所以，
即
即
即
整理得，解得
21．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，讨论函数在上的单调性.
【答案】(1)
(2)单调递增
【分析】（1）利用导数的几何意义求切线的斜率，再由点斜式得切线方程；
（2）研究函数在上的单调性，先求解，因不易判断符号，由构造局部函数，再继续求解，分析得出，由此逐步分析出符号，从而得出的单调性.
【详解】（1），
，即切点坐标为，
又，
切线斜率，
则切线方程为，即：；
（2），
，
令，
则，
在上单调递增，
，
在上恒成立，
在上单调递增.
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程，曲线的直角坐标方程；
(2)设，曲线，的交点为A，，求的值.
【答案】(1)，：；
(2)6
【分析】（1）消去参数可得普通方程，由可化极坐标方程为直角坐标方程；
（2）化直角方程为标准的参数方程，代入曲线的直角坐标方程，应用韦达定理求解．
【详解】（1）由消去参数得，即为的普通方程，
，，平方整理得，即为的直角坐标方程；
（2）曲线为直线，其标准参数方程为（为参数），代入的直角坐标方程并化简得，
对应的参数分别为，则，
所以．
23．已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求a的取值范围.
【答案】（1）或；（2）.
【分析】（1）分别在、和三种情况下解不等式求得结果；
（2）利用绝对值三角不等式可得到，由此构造不等式求得结果.
【详解】（1）当时，.
当时，，解得：；
当时，，无解；
当时，，解得：；
综上所述：的解集为或.
（2）（当且仅当时取等号），
，解得：或，
的取值范围为.
【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.
对照组
实验组
0.10
0.05
0.010
2.706
3.841
6.635
合计
对照组
6
14
20
实验组
14
6
20
合计
20
20
40