06 第26讲　函数y=Asin(ωx+φ)及三角函数模型的应用 【答案】听课高考数学练习

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【知识聚焦】
1.-φω π2-φω π-φω 3π2-φω 2π-φω 0 π2 π 3π2 2π
2.|φ| φω 3.2πω ω2π ωx+φ φ
【对点演练】
1.2,1π,π4 [解析] 由振幅、频率和初相的定义可知,函数y=2sin2x+π4的振幅为2,频率为1π,初相为π4.
2.3sin2x+1112π [解析] g(x)=fx+π3=3sin2x+π3+π4=3sin2x+1112π.
3.y=10sinπ8x+3π4+20,x∈[6,14] [解析] 从题图中可以看出,6~14时的温度变化曲线是函数y=Asin(ωx+φ)+b在半个周期内的图象,所以A=12×(30-10)=10,b=12×(30+10)=20,又12×2πω=14-6,所以ω=π8.又π8×10+φ=2kπ,k∈Z,0<φ<π,所以φ=3π4,所以所求解析式为y=10sinπ8x+3π4+20,x∈[6,14].
4.右 π15 [解析] y=2sin5x-π3=2sin 5x-π15,故将函数y=2sin 5x的图象向右平移π15个单位长度即可得到y=2sin5x-π3的图象.
5.-1或-5 [解析] 由fπ8+x=fπ8-x得,直线x=π8为函数f(x)的图象的一条对称轴,故当x=π8时,函数f(x)取得最大值或最小值,则-2+m=-3或2+m=-3,解得m=-1或m=-5.
6.-23 [解析] 由题图可得A=23,又T=2×[6-(-2)]=16,所以ω=π8,所以π8×6+φ=2kπ(k∈Z),得φ=2kπ-3π4(k∈Z),又|φ|<π,所以φ=-3π4,所以f(x)=23sinπ8x-34π,所以f(2)=23sinπ4-3π4=-23.
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] (1)根据三角函数的图象变换规则,逐项判断,即可求解.(2)化简f(x)的解析式,然后根据三角函数图象变换的知识求得正确答案.
(1)AC (2) A [解析] (1)将y=sin2x-π4的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sinx-π4的图象,又y=sinx+π4-π4=sin x,所以将y=sinx-π4的图象向左平移π4个单位长度可得y=sin x的图象,故A正确,B错误;对于C,将y=sin2x-π4的图象上所有点向左平移π8个单位长度可得y=sin2x+π8-π4=sin 2x的图象,将y=sin 2x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得y=sin x的图象,故C正确;对于D,将y=sin2x-π4的图象上所有点向右平移π4个单位长度,可得y=sin2x-3π4的图象,将y=sin2x-3π4的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)得到y=sin4x-3π4的图象,故D错误.故选AC.
(2)f(x)=sin xcs x+3cs2x=12sin 2x+32(1+cs 2x)=sin2x+π3+32,故将f(x)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度得到y=sin2x+π3-2φ+32的图象.由y=cs2x+π6+32=sin2x+2π3+32,令π3-2φ=2π3+2kπ,k∈Z,解得φ=-π6-kπ,k∈Z,当k=-1时,φ取得最小正值,最小正值为5π6.故选A.
变式题 (1)B (2)C [解析] (1)因为f(x)=sin2x-π4=sin2x-3π4+π2=cs2x-3π4=
cs 2x-38π,所以为了得到f(x)的图象,只需将g(x)的图象向右平移3π8个单位长度.故选B.
(2)f(x)=sin xcs π3+cs xsinπ3+sin x=32sin x+32cs x=3sinx+π6,将函数f(x)的图象向左平移a(a>0)个单位长度后所得图象对应的函数记为g(x),则g(x)=3sinx+a+π6.由题得函数g(x)的图象关于y轴对称,则g(0)=±3,∴sina+π6=±1,∴a+π6=π2+kπ(k∈Z),∴a=π3+kπ(k∈Z),又a>0,∴实数a的最小值为π3.故选C.
例2 [思路点拨] (1)由最大值、最小正周期以及f(-1)=0分别得到A, ω,φ的值,进而得到函数f(x)的解析式.(2)设Ax1,12,Bx2,12,依题可得x2-x1=π6,结合sin x=12的解可得ω(x2-x1)=2π3,从而得到ω的值,再根据f23π=0以及f(0)<0,可得φ的一个值,进而可得f(x),从而求得f(π).
(1)A (2)-32 [解析] (1)由题图可知T2=3-(-1)=4,A=3,所以T=8,即2πω=8,解得ω=π4,所以f(x)=3sinπ4x+φ.由题图得f(-1)=3sin-π4+φ=0,所以-π4+φ=π+2kπ,k∈Z,解得φ=5π4+2kπ,k∈Z,又|φ|<π,所以φ=-3π4,所以f(x)=3sinπ4x-3π4,故选A.
(2)依题意设Ax1,12,Bx2,12,则x2-x1=π6,因为ωx2+φ-(ωx1+φ)=2π3,即π6ω=2π3,所以ω=4,又2π3ω+φ=2kπ,k∈Z,所以φ=-8π3+2kπ,k∈Z,不妨取φ=-2π3,则f(x)=sin4x-2π3,故f(π)=sin4π-2π3=sin-2π3=-32.
变式题 (1)C (2)2 [解析] (1)∵点-4π9,0在函数f(x)的图象上,∴csω×-4π9+π6=0,∴-4π9ω+π6=-π2+2kπ(k∈Z),∴ω=32-92k(k∈Z),∴f(x)的最小正周期T=2π|ω|=2π32-92k(k∈Z).由题图可知10π9(2)由题图知34T=13π12-π3(T为函数f(x)的最小正周期),∴T=π,则|ω|=2,不妨取ω=2.由fπ3=0及图象得2×π3+φ=π2+2kπ,k∈Z,解得φ=-π6+2kπ,k∈Z,不妨取φ=-π6,则f(x)=2cs2x-π6,∴f4π3=fπ3=0,f-7π4=fπ4=2cs2×π4-π6=2csπ3=1,∴f(x)-f-7π4f(x)-f4π3=(f(x)-1)(f(x)-0)>0,则f(x)>1或f(x)<0.当x∈0,π3时,令f(x)>1,可得0例3 [思路点拨] (1)先化简f(x),再根据正弦函数的单调性即可得出答案;(2)根据三角函数图象的平移变换和对称性求出φ,g(x),再由三角函数的性质求解即可.
解:(1)f(x)=cs4x-sin4x+sin2x-π6=12cs 2x+32sin 2x=sin2x+π6.
因为x∈0,π2,所以2x+π6∈π6,7π6,所以当2x+π6∈π6,π2,即x∈0,π6时,函数f(x)单调递增,所以函数f(x)在0,π2上的单调递增区间为0,π6.
(2)由题意可知g(x)=sin2x+2φ+π6,因为函数g(x)的图象关于点π3,0中心对称,所以2×π3+2φ+π6=kπ,k∈Z,解得φ=-5π12+k2π,k∈Z.因为0<φ<π4,所以令k=1,得φ=π12,所以g(x)=sin2x+π3.当x∈-π4,α时,2x+π3∈-π6,2α+π3.因为g(x)在-π4,α上的取值范围为-12,1,所以π2≤2α+π3≤7π6,解得π12≤α≤5π12,所以α的取值范围为π12,5π12.
变式题 (1)ABC (2)D [解析] (1)由函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象可知,函数f(x)的最小正周期T=43×5π12--π3=π,且f(x)的图象过点5π12,3,函数f(x)的最大值为3,所以A=3.由T=2πω=π,解得ω=2,又f5π12=3sin2×5π12+φ=3,所以5π6+φ=2kπ+π2(k∈Z),解得φ=-π3+2kπ(k∈Z),不妨取k=0,则函数f(x)的解析式为f(x)=3sin2x-π3.将函数f(x)的图象向左平移π6个单位长度,得到g(x)=3sin2x+π6-π3=3sin 2x的图象,所以g(x)=3sin 2x.显然g(x)为奇函数,故A正确;当x∈π3,2π3时,2x∈2π3,4π3,因为y=sin x在2π3,4π3上单调递减,所以g(x)=3sin 2x在π3,2π3上单调递减,故B正确;F(x)=xg(x)=3xsin 2x,则F(-x)=3(-x)sin(-2x)=3xsin 2x=F(x),所以F(x)=xg(x)为偶函数,故C正确;令2x=π2+kπ(k∈Z),解得x=π4+kπ2(k∈Z),故g(x)的图象的对称轴为直线x=π4+kπ2(k∈Z),故D错误.故选ABC.
(2)由2kπ+π2≤ωx+π4≤2kπ+3π2,k∈Z,得2kπω+π4ω≤x≤2kπω+5π4ω,k∈Z,即函数f(x)的单调递减区间为2kπω+π4ω,2kπω+5π4ω,k∈Z,又函数f(x)在区间π2,π上单调递减,所以5π4ω+2kπω≥π,π4ω+2kπω≤π2,k∈Z,所以12+4k≤ω≤54+2k,k∈Z,则54+2k≥12+4k,54+2k>0,k∈Z,所以k=0,则12≤ω≤54,所以ω的取值范围是12,54.故选D.
例4 [思路点拨] (1)根据已知条件求函数解析式;(2)令H(t)=30,结合余弦函数分析运算.
解:(1)由题意知A+B=90,-A+B=10,解得A=40,B=50,ω=2π30=π15,
故H(t)=40sinπ15t+φ+50,t∈[0,30].
因为H(0)=40sin φ+50=10,所以sin φ=-1,
又|φ|≤π,所以φ=-π2,因此H(t)=40sinπ15t-π2+50=50-40csπ15t,t∈[0,30],
即H(t)=50-40csπ15t,t∈[0,30].
(2)令H(t)=50-40csπ15t=30,可得csπ15t=12,
因为t∈[0,30],所以π15t∈[0,2π],所以π15t=π3或5π3,解得t=5或t=25,故游客甲坐上摩天轮5分钟或25分钟时,距离地面的高度恰好为30米.
变式题 (1)C (2)BD [解析] (1)由f=1T=ω2π可知,若f1=ω12π=nf2=nω22π(n∈N*),则必有ω1=nω2(n∈N*).易得360 000=2×180 000,180 000=1×180 000,540 000=3×180 000,故A,B,D中的函数都能
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(进群送往届全部资料)与函数y=0.06sin 180 000t构成乐声的数学表达式.C选项中,181 800不是180 000的整数倍,故选C.
(2)小球运动的最高点与最低点的距离为2-(-2)=4(cm),所以选项A错误;因为2ππ2=4,所以小球经过4 s往复运动一次,所以选项B正确;当t∈(3,5)时,π2t+π4∈7π4,11π4,所以小球自下往上运动到最高点,再往下运动,所以选项C错误;当t=132时,h=2sinπ2×132+π4=-2,所以选项D正确.故选BD.