高中数学高考课后限时集训26 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用 作业

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用

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一、选择题

1．函数y＝sin(2x－)在区间[－，π]上的简图是(　　)

A　　　　　　　　B

C　　　　　　　　D

A　[令x＝0，得y＝sin(－)＝－，排除B、D.

由f(－)＝0，f()＝0，排除C，故选A.]

2．函数f(x)＝tan ωx(ω＞0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f()的值是(　　)

A．－　　　 B.

C．1   D.

D　[由题意可知该函数的周期为，

∴＝，ω＝2，f(x)＝tan 2x.

∴f()＝tan ＝.]

3．(2019·潍坊模拟)函数y＝sin 2x－cos 2x的图象向右平移φ(0＜φ＜)个单位长度后，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)为偶函数，则φ的值为(　　)

A.   B.

C.   D.

B　[由题意知y＝sin 2x－cos 2x＝2sin(2x－)，其图象向右平移φ个单位长度后，得到函数g(x)＝2sin(2x－2φ－)的图象，因为g(x)为偶函数，所以2φ＋＝＋kπ，k∈Z，所以φ＝＋，k∈Z，又因为φ∈(0，)，所以φ＝.]

4.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，－＜φ＜)的部分图象如图所示，则φ的值为(　　)

A．－   B.

C．－   D.

B　[由题意，得＝－(－)＝，所以T＝π，由T＝，得ω＝2，由图可知A＝1，所以f(x)＝sin(2x＋φ)．又因为f()＝sin(＋φ)＝0，－＜φ＜，所以φ＝.]

5．(2019·武汉调研)函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图所示，给出以下结论：

①f(x)的最小正周期为2；

②f(x)图象的一条对称轴为直线x＝－；

③f(x)在(2k－，2k＋)，k∈Z上是减函数；

④f(x)的最大值为A.

则正确结论的个数为(　　)

A．1   B．2

C．3   D．4

B　[由题图可知，函数f(x)的最小正周期T＝2×(－)＝2，故①正确；因为函数f(x)的图象过点(，0)和(，0)，所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝(＋)＋＝＋k(k∈Z)，故直线x＝－不是函数f(x)图象的对称轴，故②不正确；由图可知，当－＋kT≤x≤＋＋kT(k∈Z)，即2k－≤x≤2k＋(k∈Z)时，f(x)是减函数，故③正确；若A＞0，则最大值是A，若A＜0，则最大值是－A，故④不正确．综上知正确结论的个数为2.]

二、填空题

6．将函数f(x)＝2sin(2x＋)的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为f(x)＝________．

2sin(2x－)　[函数y＝2sin(2x＋)的周期为π，将函数y＝2sin(2x＋)的图象向右平移个周期即个单位长度，所得函数为y＝2sin[2(x－)＋]＝2sin(2x－)．]

7.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的部分图象如图所示，则y＝f(x＋)取得最小值时x的集合为________．

　[根据所给图象，周期T＝4×(－)＝π，故π＝，∴ω＝2，因此f(x)＝sin(2x＋φ)，另外图象经过点(，0)，代入有2×＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，

再由|φ|＜，得φ＝－，∴f(x)＝sin(2x－)，

∴f(x＋)＝sin(2x＋)，

当2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)，即x＝－＋kπ(k∈Z)时，y＝f(x＋)取得最小值．]

8．已知f(x)＝sin(ω＞0)，f＝f，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝________．

　[依题意，x＝＝时，y有最小值，

∴sin＝－1，∴ω＋＝2kπ＋(k∈Z)．

∴ω＝8k＋(k∈Z)，因为f(x)在区间上有最小值，无最大值，所以－≤，即ω≤12，令k＝0，得ω＝.]

三、解答题

9．设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω＞0，－＜φ＜0)的最小正周期为π，且f()＝.

(1)求ω和φ的值；

(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象．

[解]　(1)因为T＝＝π，所以ω＝2，

又因为f()＝cos(2×＋φ)＝cos(＋φ)

＝－sin φ＝且－＜φ＜0，所以φ＝－.

(2)由(1)知f(x)＝cos(2x－)．

列表：

描点，连线，可得函数f(x)在[0，π]上的图象如图所示．

10.(2019·北京市东城区二模)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的部分图象如图所示．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若对于任意的x∈[0，m]，f(x)≥1恒成立，求m的最大值．

[解]　(1)由图象可知，A＝2.

因为|π－|＝(T为最小正周期)，所以T＝π.

由π＝，解得ω＝2.

又函数f(x)的图象经过点(，2)，所以2sin(2×＋φ)＝2，解得φ＝＋2kπ(k∈Z)．

又|φ|＜，所以φ＝.

所以f(x)＝2sin(2x＋)．

(2)法一：因为x∈[0，m]，所以2x＋∈[，2m＋]．

当2x＋∈[，]，即x∈[0，)时，f(x)单调递增；

所以此时f(x)≥f(0)＝1，符合题意；

当2x＋∈[，]，即x∈[，]时，f(x)单调递减，

所以f(x)≥f()＝1，符合题意；

当2x＋∈(，]时，即x∈(，]时，f(x)单调递减，

所以f(x)＜f()＝1，不符合题意．

综上，若对于任意的x∈[0，m]，f(x)≥1恒成立，则必有0＜m≤，所以m的最大值是.

法二：画出函数f(x)＝2sin(2x＋)的图象，如图所示，由图可知，函数f(x)在[－，]上单调递增，在[，]上单调递减，且f(0)＝f()＝1，所以0＜m≤.所以m的最大值为.

1．将函数f(x)＝tan(ωx＋)(0＜ω＜10)的图象向右平移个单位长度后与函数f(x)的图象重合，则ω＝(　　)

A．9   B．6

C．4   D．8

B　[函数f(x)＝tan(ωx＋)的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数解析式为y＝tan[ω(x－)＋]＝tan(ωx－＋)，∵平移后的图象与函数f(x)的图象重合，∴－＋＝＋kπ，k∈Z，

解得ω＝－6k，k∈Z.又∵0＜ω＜10，∴ω＝6.]

2.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ).则下列叙述错误的是(　　)

A．R＝6，ω＝，φ＝－

B．当t∈[35，55]时，点P到x轴的距离的最大值为6

C．当t∈[10，25]时，函数y＝f(t)递减

D．当t＝20时，|PA|＝6

C　[由题意，R＝＝6，T＝60＝，所以ω＝，

t＝0时，点A(3，－3)代入可得－3＝6sin φ，因为|φ|＜，所以φ＝－，故A正确；

f(t)＝6sin，当t∈[35，55]时，t－∈，

所以点P到x轴的距离的最大值为6，B正确；

当t∈[10，25]时，t－∈，函数y＝f(t)先增后减，C不正确；

当t＝20时，t－＝，P的纵坐标为6，|PA|＝＝6，D正确．故选C.]

3．(2019·长春模拟)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________．

　[f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin(ωx＋)，

因为f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x＝ω对称，所以f(ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋＝2kπ＋，k∈Z，所以ω2＝＋2kπ，k∈Z.又ω－(－ω)≤，则ω2≤，即ω2＝，

所以ω＝.]

4．已知函数f(x)＝2sin(2ωx＋)(ω＞0)．

(1)若点(，0)是函数f(x)图象的一个对称中心，且ω∈(0，1)，求函数f(x)在[0，]上的值域；

(2)若函数f(x)在[，]上单调递增，求实数ω的取值范围．

[解]　(1)由点(，0)是函数f(x)图象的一个对称中心，

得ω·＋＝kπ，k∈Z，∴ω＝(k－)，k∈Z.

∵ω∈(0，1)，∴ω＝，

∴f(x)＝2sin(2ωx＋)＝2sin(x＋)．

∵x∈[0，]，∴x＋∈[，]，

∴sin(x＋)∈[－，1]．

故函数f(x)在[0，]上的值域为[－1，2]．

(2)令－＋2kπ≤2ωx＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－≤x≤＋，k∈Z.∵函数f(x)在[，]上单调递增，

∴∃k0∈Z，使[，]⊆[－，＋]，

∴即又－≤·，

∴0＜ω≤，∴即－＜k0≤，∴k0＝0.

∴0＜ω≤，即实数ω的取值范围为(0，]．

已知函数f(x)＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx＋b＋1.

(1)若函数f(x)的图象关于直线x＝对称，且ω∈[0，3]，求函数f(x)的单调递增区间；

(2)在(1)的条件下，当x∈[0，]时，函数f(x)有且只有一个零点，求实数b的取值范围．

[解]　(1)函数f(x)＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx＋b＋1

＝sin 2ωx＋＋b＋1＝sin(2ωx＋)＋＋b.

因为函数f(x)的图象关于直线x＝对称，所以2ω·＋＝kπ＋，k∈Z，且ω∈[0，3]，所以ω＝1.

由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．

(2)由(1)知f(x)＝sin(2x＋)＋＋b.

因为x∈[0，]，所以2x＋∈[，]．

当2x＋∈[，]，即x∈[0，]时，函数f(x)单调递增；当2x＋∈[，]，即x∈[，]时，函数f(x)单调递减．

又f(0)＝f()，所以当f()＞0≥f()或f()＝0时，函数f(x)有且只有一个零点，即sin ≤－b－＜sin 或1＋＋b＝0，所以b∈(－2，]∪.