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06 第26讲 函数y=Asin(ωx+φ)及三角函数模型的应用 【正文】听课高考数学练习
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这是一份06 第26讲 函数y=Asin(ωx+φ)及三角函数模型的应用 【正文】听课高考数学练习，共8页。试卷主要包含了y=Asin的有关概念等内容，欢迎下载使用。
1.用五点法画y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在一个周期内的简图时,要找五个特征点,如下表所示:
2.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的步骤
3.y=Asin(ωx+φ)的有关概念
题组一 常识题
1.[教材改编] 函数y=2sin2x+π4的振幅、频率和初相分别为 .
2.[教材改编] 将函数f(x)=3sin2x+π4的图象向左平移π3个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,则g(x)= .
3.[教材改编] 如图,某地一天6~14时的温度变化曲线为函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,0<φ<π)的图象的一部分,则这段曲线的函数解析式为 .
题组二 常错题
◆索引:搞错图象应平移多少个单位长度;不能正确理解三角函数图象对称性的特征导致出错;不能准确确定函数解析式导致出错.
4.为了得到函数y=2sin5x-π3的图象,可以将函数y=2sin 5x的图象向 平移
个单位长度.
5.若f(x)=2sin(ωx+φ)+m对任意实数x都有fπ8+x=fπ8-x,且fπ8=-3,则实数m= .
6.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则f(2)= .
函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换
例1 (1)(多选题)[2023·重庆巴蜀中学模拟] 要得到函数y=sin x的图象,只需将y=sin2x-π4的图象上的所有点( )
A.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移π4个单位长度
B.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移π8个单位长度
C.向左平移π8个单位长度,再把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)
D.向右平移π4个单位长度,再把横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)
(2)将函数f(x)=sin xcs x+3cs2x的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度,可得函数y=cs2x+π6+32的图象,则φ的最小正值为( )
A.5π6B.2π3
C.π6D.π3
总结反思
由y=sin x的图象变换到y=Asin(ωx+φ)的图象,两种变换中平移的量的区别:先平移再伸缩,平移的量是|φ|个单位长度;先伸缩再平移,平移的量是|φ|ω(ω>0)个单位长度.特别提醒:平移变换和伸缩变换都是针对x而言的,即x本身加减多少值,而不是依赖于ωx加减多少值.
变式题 (1)[2023·辽宁阜新联考] 为了得到函数f(x)=sin2x-π4的图象,只需将函数g(x)=cs 2x的图象( )
A.向左平移3π8个单位长度
B.向右平移3π8个单位长度
C.向左平移π8个单位长度
D.向右平移π8个单位长度
(2)[2023·重庆南开中学质检] 将函数f(x)=sinx+π3+sin x的图象向左平移a(a>0)个单位长度后所得图象关于y轴对称,则实数a的最小值为( )
A.π6B.π4
C.π3D.π2
函数y=Asin(ωx+φ)的图象与解析式
例2 (1)[2023·江苏扬州中学模拟] 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式为( )
A.f(x)=3sinπ4x-3π4
B.f(x)=3sinπ4x+π4
C.f(x)=3sinπ4x-π4
D.f(x)=3sinπ4x+3π4
(2)[2023·新课标Ⅱ卷] 已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y=12与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|=π6,则f(π)= .
总结反思
根据三角函数图象求解析式,关键在于对A,ω,φ的理解,主要从以下三个方面考虑:
(1)根据最大值或最小值求出A的值.
(2)根据最小正周期求出ω的值.
(3)求φ的常用方法如下:①代入法,把图象上的一个已知点的坐标代入(此时要注意该点的位置)或把图象的最高点或最低点的坐标代入;②五点法,确定φ的值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.
变式题 (1)设函数f(x)=csωx+π6在[-π,π]的图象大致如图所示,则f(x)的最小正周期为( )
A.10π9B.7π6C.4π3D.3π2
(2)已知函数f(x)=2cs(ωx+φ)的部分图象如图所示,则满足条件f(x)-f-7π4f(x)-f4π3>0的最小正整数x为 .
函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的综合问题
例3 [2023·山东济宁二模] 已知函数f(x)=cs4x-sin4x+sin2x-π6.
(1)求函数f(x)在0,π2上的单调递增区间;
(2)将函数f(x)的图象向左平移φ0<φ<π4个单位长度后得到函数g(x)的图象,若函数g(x)的图象关于点π3,0中心对称,且在-π4,α上的取值范围为-12,1,求α的取值范围.
总结反思
三角函数的图象与性质综合问题的求解思路:
(1)将函数整理成y=Asin(ωx+φ)+B(ω>0)或y=Acs(ωx+φ)+B(ω>0)的形式;
(2)把ωx+φ看成一个整体;
(3)借助正弦函数y=sin x或余弦函数y=cs x的图象与性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题.
变式题 (1)(多选题)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的部分图象如图所示,将函数f(x)的图象向左平移π6个单位长度,得到y=g(x)的图象,则下列说法正确的是( )
A.函数g(x)为奇函数
B.函数g(x)在π3,2π3上单调递减
C.函数F(x)=xg(x)为偶函数
D.函数g(x)的图象的对称轴为直线x=kπ+π4(k∈Z)
(2)[2023·湖北十一校联考] 已知ω>0,函数f(x)=3sinωx+π4-2在区间π2,π上单调递减,则ω的取值范围是( )
A.0,12B. (0,2]
C.12,34D.12,54
三角函数模型的简单应用
例4 [2023·广东珠海一中模拟] 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转,可以从高处俯瞰四周的景色(如图①).某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米,最低点距离地面的高度为10米,摩天轮上均匀设置了36个座舱(如图②),开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动,游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱,摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱,摩天轮转一周需要30分钟,当游客甲坐上摩天轮的座舱时开始计时(游客坐上座舱后,摩天轮随即开始转动).
(1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米,已知H关于t的函数关系式为H(t)=Asin(ωt+φ)+B(其中A>0,ω>0,|φ|≤π),t∈[0,30],求H(t)的解析式.
(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间,距离地面的高度恰好为30米?
总结反思
三角函数模型的实际应用问题的类型及解题关键:
(1)已知函数解析式(模型),利用三角函数的有关性质解决问题,其关键是准确理解自变量的意义及函数的对应关系.(2)当函数解析式未知时,需把实际问题抽象转化成数学问题,建立三角函数模型,再利用三角函数的有关知识解决问题,其关键是利用三角函数解析式中的相关参数表示实际问题中的有关量,如周期、振幅、初相等,然后建立模型.x
ωx+φ
y=Asin(ωx+φ)
0
A
0
-A
0
y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T=
f=1T=
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变式题 (1)音乐,是用声音来展现美,给人以听觉上的享受,熔铸人们的美学趣味.著名数学家傅立叶研究了乐声的本质,他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述,它们是一些形如y=Asin ωx的简单正弦型函数的和,其中频率最低的一项是基本音,其余的为泛音.由乐声的数学表达式可知,所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍,称为基本音的谐波.下列函数中不能与函数y=0.06sin 180 000t(基本音)构成乐声的数学表达式的是( )
A.y=0.02sin 360 000t
B.y=0.03sin 180 000t
C.y=0.02sin 181 800t
D.y=0.05sin 540 000t
(2)(多选题)如图,弹簧下端悬挂着的小球做上下运动(忽略小球的大小),它在t(s)时刻相对于平衡位置的高度h(cm)可以由h=2sinπ2t+π4确定,则下列说法正确的是( )
A.小球运动的最高点与最低点的距离为2 cm
B.小球经过4 s往复运动一次
C.当t∈(3,5)时,小球自下往上运动
D.当t=132时,小球到达最低点
1.用五点法画y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在一个周期内的简图时,要找五个特征点,如下表所示:
2.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的步骤
3.y=Asin(ωx+φ)的有关概念
题组一 常识题
1.[教材改编] 函数y=2sin2x+π4的振幅、频率和初相分别为 .
2.[教材改编] 将函数f(x)=3sin2x+π4的图象向左平移π3个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,则g(x)= .
3.[教材改编] 如图,某地一天6~14时的温度变化曲线为函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,0<φ<π)的图象的一部分,则这段曲线的函数解析式为 .
题组二 常错题
◆索引:搞错图象应平移多少个单位长度;不能正确理解三角函数图象对称性的特征导致出错;不能准确确定函数解析式导致出错.
4.为了得到函数y=2sin5x-π3的图象,可以将函数y=2sin 5x的图象向 平移
个单位长度.
5.若f(x)=2sin(ωx+φ)+m对任意实数x都有fπ8+x=fπ8-x,且fπ8=-3,则实数m= .
6.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则f(2)= .
函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换
例1 (1)(多选题)[2023·重庆巴蜀中学模拟] 要得到函数y=sin x的图象,只需将y=sin2x-π4的图象上的所有点( )
A.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移π4个单位长度
B.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移π8个单位长度
C.向左平移π8个单位长度,再把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)
D.向右平移π4个单位长度,再把横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)
(2)将函数f(x)=sin xcs x+3cs2x的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度,可得函数y=cs2x+π6+32的图象,则φ的最小正值为( )
A.5π6B.2π3
C.π6D.π3
总结反思
由y=sin x的图象变换到y=Asin(ωx+φ)的图象,两种变换中平移的量的区别:先平移再伸缩,平移的量是|φ|个单位长度;先伸缩再平移,平移的量是|φ|ω(ω>0)个单位长度.特别提醒:平移变换和伸缩变换都是针对x而言的,即x本身加减多少值,而不是依赖于ωx加减多少值.
变式题 (1)[2023·辽宁阜新联考] 为了得到函数f(x)=sin2x-π4的图象,只需将函数g(x)=cs 2x的图象( )
A.向左平移3π8个单位长度
B.向右平移3π8个单位长度
C.向左平移π8个单位长度
D.向右平移π8个单位长度
(2)[2023·重庆南开中学质检] 将函数f(x)=sinx+π3+sin x的图象向左平移a(a>0)个单位长度后所得图象关于y轴对称,则实数a的最小值为( )
A.π6B.π4
C.π3D.π2
函数y=Asin(ωx+φ)的图象与解析式
例2 (1)[2023·江苏扬州中学模拟] 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式为( )
A.f(x)=3sinπ4x-3π4
B.f(x)=3sinπ4x+π4
C.f(x)=3sinπ4x-π4
D.f(x)=3sinπ4x+3π4
(2)[2023·新课标Ⅱ卷] 已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y=12与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|=π6,则f(π)= .
总结反思
根据三角函数图象求解析式,关键在于对A,ω,φ的理解,主要从以下三个方面考虑:
(1)根据最大值或最小值求出A的值.
(2)根据最小正周期求出ω的值.
(3)求φ的常用方法如下:①代入法,把图象上的一个已知点的坐标代入(此时要注意该点的位置)或把图象的最高点或最低点的坐标代入;②五点法,确定φ的值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.
变式题 (1)设函数f(x)=csωx+π6在[-π,π]的图象大致如图所示,则f(x)的最小正周期为( )
A.10π9B.7π6C.4π3D.3π2
(2)已知函数f(x)=2cs(ωx+φ)的部分图象如图所示,则满足条件f(x)-f-7π4f(x)-f4π3>0的最小正整数x为 .
函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的综合问题
例3 [2023·山东济宁二模] 已知函数f(x)=cs4x-sin4x+sin2x-π6.
(1)求函数f(x)在0,π2上的单调递增区间;
(2)将函数f(x)的图象向左平移φ0<φ<π4个单位长度后得到函数g(x)的图象,若函数g(x)的图象关于点π3,0中心对称,且在-π4,α上的取值范围为-12,1,求α的取值范围.
总结反思
三角函数的图象与性质综合问题的求解思路:
(1)将函数整理成y=Asin(ωx+φ)+B(ω>0)或y=Acs(ωx+φ)+B(ω>0)的形式;
(2)把ωx+φ看成一个整体;
(3)借助正弦函数y=sin x或余弦函数y=cs x的图象与性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题.
变式题 (1)(多选题)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的部分图象如图所示,将函数f(x)的图象向左平移π6个单位长度,得到y=g(x)的图象,则下列说法正确的是( )
A.函数g(x)为奇函数
B.函数g(x)在π3,2π3上单调递减
C.函数F(x)=xg(x)为偶函数
D.函数g(x)的图象的对称轴为直线x=kπ+π4(k∈Z)
(2)[2023·湖北十一校联考] 已知ω>0,函数f(x)=3sinωx+π4-2在区间π2,π上单调递减,则ω的取值范围是( )
A.0,12B. (0,2]
C.12,34D.12,54
三角函数模型的简单应用
例4 [2023·广东珠海一中模拟] 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转,可以从高处俯瞰四周的景色(如图①).某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米,最低点距离地面的高度为10米,摩天轮上均匀设置了36个座舱(如图②),开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动,游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱,摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱,摩天轮转一周需要30分钟,当游客甲坐上摩天轮的座舱时开始计时(游客坐上座舱后,摩天轮随即开始转动).
(1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米,已知H关于t的函数关系式为H(t)=Asin(ωt+φ)+B(其中A>0,ω>0,|φ|≤π),t∈[0,30],求H(t)的解析式.
(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间,距离地面的高度恰好为30米?
总结反思
三角函数模型的实际应用问题的类型及解题关键:
(1)已知函数解析式(模型),利用三角函数的有关性质解决问题,其关键是准确理解自变量的意义及函数的对应关系.(2)当函数解析式未知时,需把实际问题抽象转化成数学问题,建立三角函数模型,再利用三角函数的有关知识解决问题,其关键是利用三角函数解析式中的相关参数表示实际问题中的有关量,如周期、振幅、初相等,然后建立模型.x
ωx+φ
y=Asin(ωx+φ)
0
A
0
-A
0
y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T=
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A.y=0.02sin 360 000t
B.y=0.03sin 180 000t
C.y=0.02sin 181 800t
D.y=0.05sin 540 000t
(2)(多选题)如图,弹簧下端悬挂着的小球做上下运动(忽略小球的大小),它在t(s)时刻相对于平衡位置的高度h(cm)可以由h=2sinπ2t+π4确定,则下列说法正确的是( )
A.小球运动的最高点与最低点的距离为2 cm
B.小球经过4 s往复运动一次
C.当t∈(3,5)时,小球自下往上运动
D.当t=132时,小球到达最低点
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