北京市第一六一中学2023-2024学年高三上学期12月月考数学试卷（Word版附解析）

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一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．把正确答案涂写在答题卡上相应的位置．
1. 设全集，集合M满足，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量．若∥，则（ ）
A. 2B. 1C. D.
3. 下列函数中，值域为的是（ ）
A. B. C. D.
4. 在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A. B. C. D.
5. 若，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A. 2B. C. 3D.
7. 紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶､掇球壶､石飘壶､潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台．如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：），那么该壶的容积约接近于（ ）
A. B. C. D.
8. “”是“为第一或第三象限角”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9. 在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（ ）
A. B. 与所成的角为
C. D. 与平面所成的角为
10. 黎曼函数由德国著名数学家黎曼（Riemann）发现提出黎曼函数定义在上，其解析式为：当为真约数且时，当或上的无理数时，若函数是定义在R上的偶函数，且，，当时，，则：（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，共25分．把答案填在答题纸中相应的横线上．
11. 函数的定义域是_____________．
12. 复数满足，则__________．
13. 记双曲线：的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______．
14. 如图，为了测量湖两侧的，两点之间的距离，某观测小组的三位同学分别在点，距离点30km处的点，以及距离点10km处的点进行观测.甲同学在点测得，乙同学在点测得，丙同学在点测得，则，两点间的距离为______km.
15. 已知函数给出下列四个结论：
①当时，最小值为0；
②当时，不存最小值；
③零点个数为，则函数的值域为；
④当时，对任意，，．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本大题共6小题，共85分．把答案填在答题纸中相应的位置上．
16. 已知函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作已知，使函数存在.
条件①：；
条件②：函数在区间上是增函数；
条件③：.
注：如果选择条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
（1）求的值；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
17. 如图是2023年11月1日到11月20日，某地区甲流疫情新增数据的走势图．
（1）从这20天中任选1天，求新增确诊和新增疑似的人数都超过100的概率；
（2）从新增确诊的人数超过100的日期中任选两天，用表示新增确诊的人数超过140的天数，求的分布列和数学期望；
（3）记每天新增确诊的人数为，每天新增疑似的人数，根据这20天统计数据，试判断与的大小关系（结论不要求证明）．
18. 如图，在三棱锥中，平面．

（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小；
（3）求点到平面的距离．
19. 已知椭圆过点，焦距为2．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设椭圆E的右焦点为点F，右顶点为点A．过点F的直线l交椭圆E于不同的两点，直线与y轴分别交于点．当时，求直线l的方程．
20. 已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在区间上恒成立，求的取值范围；
（3）试比较与的大小，并说明理由．
21. 设无穷数列前项和为为单调递增的无穷正整数数列，记，，定义．
（1）若，写出的值；
（2）若，求；
（3）设求证：对任意的无穷数列，存在数列，使得为常数列．