北京市第一六一中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学试卷（Word版附解析）

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班级__________ 姓名__________ 学号__________
考生须知：
1．本试卷共3页，满分150分，考试时长120分钟．
2．试题答案一律书写在答题纸上，在试卷上作答无效．
3．在答题纸上，选择题用2B铅笔作答，非选择题用黑色字迹签字笔作答．
4．考试结束后，将答题纸、试卷和草稿纸一并交回．
一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．把正确答案涂写在答题卡上相应的位置．
1. 已知复数，则（ ）．
A. B. C. 1D.
2. 已知全集，集合，，则集合可能是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列函数中，其图像上任意一点的坐标都满足条件的函数是（ ）．
A. B.
C. D.
4. 已知，且，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 某同学用“五点法”画函数（，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
根据这些数据，要得到函数的图象，需要将函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位
7. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，命题P： ，，则（ ）
A. P是假命题，
B. P是假命题，
C. P真命题，
D. P真命题，
9. 已知，则“存在使得”是“”的（ ）．
A 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
10. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是（ ）．

①消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米；
②以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少；
③甲车以80千米/小时速度行驶1小时，消耗10升汽油；
④某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油．
A. ②④B. ①③C. ①②D. ③④
二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题纸中相应的横线上．
11. 在的展开式中，的系数为______．
12. 已知角，终边关于原点O对称，则______．
13. 设函数，则满足的的取值范围是___________.
14. 若方程有根，则实数a的取值范围是______．
15. 已知函数由下表给出：
其中等于在，，，，中所出现的次数，则__________；__________．
三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，并写在答题纸相应位置．
16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，，，点E在线段AB上，且.
（1）求证：平面PBD；
（2）求二面角的余弦值.
17. 已知函数，其中．再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使存在，并完成下列两个问题．
（1）求的值；
（2）当时，若曲线与直线恰有一个公共点，求的取值范围．
条件①：；
条件②：是的一个零点；
条件③：．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18. 为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间 (单位：小时)，并将样本数据分成，，，，，，，， 九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
（1）求a的值；
（2）为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列；
（3）以调查结果的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取20名学生，用“”表示这20名学生中恰有名学生日平均阅读时间在 (单位：小时)内的概率，其中. 当最大时，写出的值.（只需写出结论）
19. 设函数，曲线在点处的切线方程为．
（1）求a，b的值；
（2）求的单调区间．
20. 已知函数．
（1）若，求函数的极值；
（2）若函数在区间的最大值为1，求实数a的取值范围；
（3）若对任意，，当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
21. 已知数列，记集合．
（1）对于数列：1，2，3，4，写出集合T；
（2）若，是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的i，j；若不存在，说明理由；
（3）若，把集合T中的元素从小到大排列，得到的新数列为B：，，…，，…．若，求m的最大值．
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