重庆市育才中学教育集团2024—2025学年上学期九年级定时练习数学试卷（9月份）

这是一份重庆市育才中学教育集团2024—2025学年上学期九年级定时练习数学试卷（9月份），共38页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）下面这四个图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）要使分式有意义，则x的取值应满足（ ）
A．x≠﹣1且x≠2B．x≠0C．x≠﹣1D．x≠2
3．（4分）一元二次方程x2+3x＝12的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法判断
4．（4分）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，若有一人感染了“甲流”，若得不到有效控制，则每轮传染平均一个人传染x人，经过两轮传染后共有256人感染了“甲流”．则关于x的方程为（ ）
A．x+x（x+1）＝256B．x2+x＝256
C．1+x+x（x+1）＝256D．（x+1）+（x+1）2＝256
5．（4分）根据下列表格的对应值，估计方程x2+4x﹣3＝0的一个解的范围是（ ）
A．0.4＜x＜0.5B．0.5＜x＜0.6C．0.6＜x＜0.7D．0.7＜x＜0.8
6．（4分）下列命题中，错误的命题是（ ）
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
7．（4分）2024年3月24日，长安汽车重庆马拉松在美丽的海棠烟雨公园鸣枪起跑．甲、乙两人参加了40千米的比赛，甲每小时比乙多跑了2千米，最终甲比乙早1小时到达．设乙的速度为每小时x千米，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．（4分）函数y＝mx2+nx（m≠0）与y＝mx+n的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
9．（4分）已知四边形ABCD和DEFG都是正方形，点F在线段AB上，连接AE、BD，BD交FG于点H．若∠AEF＝α，则∠BHF＝（ ）
A．2αB．45°+αC．22.5°+αD．90°﹣α
10．（4分）将有序实数对（m，n）进行操作后可得到一个新的有序实数对（m﹣n，﹣m﹣n），将得到的新的有序实数对按上述规则继续操作下去，每得到一个新的有序实数对称为一次操作．例如：（2，1）经过一次操作后得到（1，﹣3），（2，1）经过二次操作后得到（4，2），…，下列说法：
①若（m，5）经过三次操作后得到有序实数对（x，5），则x＝﹣25；
②在平面直角坐标系中，将（m，2）所对应的点标记为点P，将（m，2）经过二次操作、五次操作所得的有序实数对分别标记为点M，点N，若直线MN垂直于x轴，则△PMN的面积为56；
③若x+y＝3，xy＝﹣2且x＜y，则（x2，y2）经过三次操作后的结果为．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11．（4分）计算：＝ ．
12．（4分）某商品原价200元，连续两次降价后，售价为128元，则平均每次降价率为 ．
13．（4分）已知一个多边形的每一个外角都等于72°，则这个多边形的边数是 ．
14．（4分）已知四边形ABCD是菱形，若A（0，0），C（3，1），则直线BD与x轴的交点的坐标为 ．
15．（4分）如图所示，抛物线形拱桥的顶点距水面2m时，测得拱桥内水面宽为12m．当水面升高1m后，拱桥内水面的宽度为 m．
16．（4分）若二次函数y＝（a+1）x2﹣4x﹣2的图象与x轴有两个公共点，且关于y的不等式组至少有两个整数解，则符合条件的所有整数a的和为 ．
17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，，点P是BC边上一点，连接AP，以A为中心，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到AQ，连接CQ、DQ，且∠BCQ＝∠DCQ，则CQ的长度为 ．
18．（4分）一个各数位上的数字均不为0的四位自然数abcd，若百位数字与十位数字的乘积等于千位数字与个位数字组成的两位数，即b•c＝ad，则称这个数为“功能数”，例如：四位数1342，∵3×4＝12，∴1342是“功能数”．若349d是一个“功能数”，则这个数为 ；对于一个“功能数”P，将P的千位数字和十位数字交换位置，百位数字和个位数字交换位置得到的新数记为P'，若4P+P'除以13的余数为P的十位数字的2倍，则满足条件的P的值为 ．
三、解答题：（本大题共8小题，19题8分，20-26题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（8分）计算：
（1）x（x﹣2y）+（x+y）2；
（2）（1+）÷．
20．（10分）为了解学生的安全知识掌握情况，某校举办了安全知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用x表示，共分成四组：A.60＜x≤70；B.70＜x≤80；C.80＜x≤90；D.90＜x≤100），下面给出了部分信息：七年级20名学生的竞赛成绩为：
66，67，68，68，75，83，84，86，86，86，
86，87，87，89，95，95，96，98，98，100．
八年级20名学生的竞赛成绩在C组的数据是：81，82，84，87，88，89．七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七年级有400名学生、八年级有500名学生参加了此次安全知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀（x＞90）的学生人数是多少？
21．（10分）在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空：
（1）如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点．用尺规过点O作AC的垂线，分别交AB，CD于点E，F，连接AF，CE．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）已知：矩形ABCD，点E，F分别在AB，CD上，EF经过对角线AC的中点O，且EF⊥AC．求证：四边形AECF是菱形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD．
∴① ，∠OCF＝∠OAE．
∵点O是AC的中点，
∴② ．
∴△CFO≌△AEO（AAS）．
∴③ ．
又∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形．
进一步思考，如果四边形ABCD是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④ ．
22．（10分）某水果店商家购进了一批哈密瓜和脆桃．商家用1600元购买哈密瓜，800元购买脆桃，每斤哈密瓜比每斤脆桃的进价贵6元，且购进脆桃的数量是哈密瓜的2倍．
（1）求商家购买每斤哈密瓜和每斤脆桃的进价；
（2）商家在销售过程中发现，当哈密瓜的售价为每斤14元，脆桃的售价为每斤5元时，平均每天可售出20斤哈密瓜，40斤脆桃，据调查，哈密瓜的售价每降低0.5元平均每天可多售出5斤，且降价幅度不低于10%．商家在保证脆桃的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使哈密瓜和脆桃平均每天的总获利为270元，则每斤哈密瓜的售价为多少元？
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AC的中点，动点P以每秒1个单位长度的速度从点D出发沿折线D→A→B方向运动，到达点B时停止运动，设点P的运动时间为x秒，△BCP的面积记为y．
（1）请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，若直线与该函数图象有且仅有两个交点，则b的取值范围是 ．
24．（10分）如图，四边形ABCD是休闲公园的人行步道．AC，BD是两条自行车道且相交于点O，点B是休闲公园入口．经测量，点A在点D的西偏南45°方向，点C在点D的东偏南30°方向，点C在点A的北偏东75°方向，米．
（1）求自行车道AC的长度（精确到个位数）；
（2）测得∠AOB＝45°，小刚从A点出发步行沿步道AB去B处取快餐，小刚步行的速度为60米每分钟，送餐员等待的时间不超过5分钟，请计算说明小刚能否在送餐员规定的时间内取到快餐吗？（参考数据：，，）
25．（11分）如图，抛物线y＝ax2+5ax+b经过点D（﹣1，﹣5），且交x轴于A（﹣6，0），B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，过点D作DM⊥x轴，垂足为M，点P在直线AD下方抛物线上运动，过点P作PE⊥AD，PF⊥DM，求PE+PF的最大值，以及此时点P的坐标．
（3）将原抛物线沿射线CA方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上存在点G，使得∠CAG＝45°，请写出所有符合条件的点G的横坐标，并写出其中一个的求解过程．
26．（10分）已知△ABC为等边三角形，D是边AB上一点，连接CD，点E为CD上一点，连接BE．
（1）如图1，延长BE交AC于点F，若∠CBF＝45°，，求CF的长；
（2）如图2，将△BEC绕点C顺时针旋转60°到△AGC，延长BC至点H，使得CH＝BD，连接AH交CG于点N，求证CE＝DE+2GN；
（3）如图3，AB＝4，点H是BC上一点，且BD＝2CH，连接DH，点K是AC上一点，CK＝AD，连接DK，BK，将△BKD沿BK翻折到△BKQ，连接CQ，当△ADK的周长最小时，直接写出△CKQ的面积．
2024-2025学年重庆市育才中学教育集团九年级（上）定时练习数学试卷（9月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．（4分）下面这四个图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，符合题意；
D、是轴对称图形，不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
2．（4分）要使分式有意义，则x的取值应满足（ ）
A．x≠﹣1且x≠2B．x≠0C．x≠﹣1D．x≠2
【分析】根据分式的分母不能等于0求解即可．
【解答】解：由分式的分母不能等于0得：x﹣2≠0，
解得：x≠2，
故选：D．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不能等于0是解题关键．
3．（4分）一元二次方程x2+3x＝12的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法判断
【分析】先把方程化为一般式，再计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：方程化为一般式为x2+3x﹣12＝0，
∵Δ＝32﹣4×（﹣12）＝57＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
4．（4分）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，若有一人感染了“甲流”，若得不到有效控制，则每轮传染平均一个人传染x人，经过两轮传染后共有256人感染了“甲流”．则关于x的方程为（ ）
A．x+x（x+1）＝256B．x2+x＝256
C．1+x+x（x+1）＝256D．（x+1）+（x+1）2＝256
【分析】由“每轮传染平均一个人传染x人”，可得出在第一轮及第二轮传染中的感染人数，结合“经过两轮传染后共有256人感染”，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵每轮传染平均一个人传染x人，
∴第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有x（1+x）人被感染．
根据题意得：1+x+x（1+x）＝256．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．（4分）根据下列表格的对应值，估计方程x2+4x﹣3＝0的一个解的范围是（ ）
A．0.4＜x＜0.5B．0.5＜x＜0.6C．0.6＜x＜0.7D．0.7＜x＜0.8
【分析】由于x＝0.6时，x2+4x﹣3＜0；x＝0.7时，x2+4x﹣3＞0，所以x取0.6～0.7之间的某一个数时，x2+4x﹣3＝0，从而得到方程x2+4x﹣3＝0的一个解的范围．
【解答】解：∵x＝0.6时，x2+4x﹣3＝﹣0.24＜0；x＝0.7时，x2+4x﹣3＝0.29＞0，
∴当x取0.6～0.7之间的某一个数时，x2+4x﹣3＝0，
∴方程x2+4x﹣3＝0的一个解的范围是0.6＜x＜0.7．
故选：C．
【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似解：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．
6．（4分）下列命题中，错误的命题是（ ）
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．
【解答】解：A、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，本选项说法是真命题，不符合题意；
B、两条对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，本选项说法为假命题，符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，本选项说法为真命题，不符合题意；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，本选项说法为真命题，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查命题与定理，平行四边形的性质，菱形的判定，矩形的判定，解答本题的关键要明确：正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7．（4分）2024年3月24日，长安汽车重庆马拉松在美丽的海棠烟雨公园鸣枪起跑．甲、乙两人参加了40千米的比赛，甲每小时比乙多跑了2千米，最终甲比乙早1小时到达．设乙的速度为每小时x千米，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】关键描述语是“甲比乙早1小时到达”，等量关系为：乙所用的时间＝甲所用的时间+1，把相关数值代入即可．
【解答】解：设乙的速度为每小时x千米，则甲的速度为每小时（x+2）千米，则：
＝+1．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据减少的时间得到相应的等量关系是解决本题的关键．
8．（4分）函数y＝mx2+nx（m≠0）与y＝mx+n的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用一次函数的性质判定m、n的符号，进一步判定二次函数的开口方向和对称轴的位置进行判断．
【解答】解：∵函数y＝mx2+nx与x轴的交点坐标为（0，0）和（﹣，0），函数y＝mx+n与x轴的交点坐标为（﹣，0），
∴抛物线和直线的有一个交点在x轴上，故选项A、C、D不合题意；
若函数y＝mx+n经过一三四象限，m＞0，n＜0，
∴二次函数y＝mx2+nx的图象开口向上，
∵对称轴x＝﹣＞0，
∴在y轴的右侧，故选项B符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的图象，二次函数的图象，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
9．（4分）已知四边形ABCD和DEFG都是正方形，点F在线段AB上，连接AE、BD，BD交FG于点H．若∠AEF＝α，则∠BHF＝（ ）
A．2αB．45°+αC．22.5°+αD．90°﹣α
【分析】过点E作EM⊥AB于点M，作EN⊥AD，交DA的延长线于N，设EF与AD交于T，先证明四边形AMEN为矩形，再证明△DME和△FNE全等得EM＝EN，则矩形AMEN为正方形，由此得∠EAF＝135°，则∠1＝∠2＝45°﹣α，进而得∠EDH＝∠1+∠ADB＝90°﹣α，则∠HDG＝∠EDG﹣∠EDH＝α，由此可得∠BHF的度数．
【解答】解：过点E作EM⊥AB于点M，作EN⊥AD，交DA的延长线于N，设EF与AD交于T，如图所示：
则∠N＝∠EMB＝∠EMA＝90°，
∵四边形ABCD和DEFG都是正方形，
∴∠BEF＝∠BAD＝∠EFG＝∠ADC＝∠EDG＝90°，DE＝EF，
∴∠N＝∠EMA＝∠MAN＝90°，
∴四边形AMEN为矩形，
∴∠1+∠DTE＝90°，∠2+∠FTA＝90°，
∵∠DTE＝∠FTA，
∴∠1＝∠2，
在△DME和△FNE中，
，
∴△DME≌△FNE（AAS），
∴EM＝EN，
∴矩形AMEN为正方形，
∴AE平分∠DAN，
∴∠EAD＝45°，
∴∠EAF＝∠BAD+∠EAD＝90°+45°＝135°，
∴∠2＝180°﹣∠EAF﹣AEF＝180°﹣135°﹣α＝45°﹣α，
∴∠1＝∠2＝45°﹣α，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB＝45°，
∴∠EDH＝∠1+∠ADB＝45°﹣α+45°＝90°﹣α，
∴∠HDG＝∠EDG﹣∠EDH＝90°﹣（90°﹣α）＝α，
∴∠BHF＝∠DHG＝90°﹣∠HDG＝90°﹣α．
故选：D．
【点评】此题主要考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地作出辅助线，构造正方形和全等三角形是解决问题的难点．
10．（4分）将有序实数对（m，n）进行操作后可得到一个新的有序实数对（m﹣n，﹣m﹣n），将得到的新的有序实数对按上述规则继续操作下去，每得到一个新的有序实数对称为一次操作．例如：（2，1）经过一次操作后得到（1，﹣3），（2，1）经过二次操作后得到（4，2），…，下列说法：
①若（m，5）经过三次操作后得到有序实数对（x，5），则x＝﹣25；
②在平面直角坐标系中，将（m，2）所对应的点标记为点P，将（m，2）经过二次操作、五次操作所得的有序实数对分别标记为点M，点N，若直线MN垂直于x轴，则△PMN的面积为56；
③若x+y＝3，xy＝﹣2且x＜y，则（x2，y2）经过三次操作后的结果为．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】根据题干中所提供的操作方法，逐项进行计算判断即可．
【解答】解：①（m，5）经过一次操作后得到（m﹣5，﹣m﹣5），经过二次操作后得到（2m，10），经过三次操作后得到（2m﹣10，﹣2m﹣10），
根据题意可得﹣2m﹣10＝5，
解得，
∴x＝2m﹣10＝﹣25，故①正确；
②将（m，2）经过二次操作、五次操作所得的有序实数对分别标记为点M（2m，4），点N（4m﹣8，﹣4m﹣8），
当直线MN垂直于x轴时，可得2m＝4m﹣8，
解得m＝4，
∴M（8，4），N（8，﹣24），P（4，2），
∴△PMN的面积为，故②正确；
③（x2，y2）经过三次操作后的结果为（2x2﹣2y2，﹣2x2﹣2y2），
若x+y＝3，xy＝﹣2且x＜y，
则可得2x2+2y2＝2[（x+y）2﹣2xy]＝26，
∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝17，
∴，
∵x＜y，
∴，
∴，
∴（x2，y2）经过三次操作后的结果为（﹣6，﹣26），故③正确；
故选：D．
【点评】本题考查平移坐标变化，三角形面积计算以及点的坐标规律型，理解题干中所提供的操作方法以及点的坐标的变化规律是正确解答的关键．
二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11．（4分）计算：＝ 3+π ．
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：
＝1+4+π﹣2
＝3+π．
故答案为：3+π．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
12．（4分）某商品原价200元，连续两次降价后，售价为128元，则平均每次降价率为 20% ．
【分析】设平均每次降价率为x，可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣x）＝128，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：设平均每次降价率为x，
则第一次降价后的价格为200×（1﹣x），两次连续降价后售价后的价格为：200×（1﹣x）×（1﹣x），
则列出的方程是200×（1﹣x）2＝128，
解得：x＝20%．即平均每次的降价率为20%．
故答案为：20%．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，要掌握求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
13．（4分）已知一个多边形的每一个外角都等于72°，则这个多边形的边数是 5 ．
【分析】用多边形的外角和360°除以72°即可．
【解答】解：边数n＝360°÷72°＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了多边形的外角和等于360°，是基础题，比较简单．
14．（4分）已知四边形ABCD是菱形，若A（0，0），C（3，1），则直线BD与x轴的交点的坐标为 （） ．
【分析】先求出AC的解析式，再根据菱形的性质求出BD的解析式解答即可．
【解答】解：设AC的解析式为y＝kx，
把C（3，1）代入得，1＝3k，
解得k＝，
∴y＝x，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵A（0，0），C（3，1），
∴AC的中的坐标为（），
设BD的解析式为y＝﹣3x+b，
把（）代入得，，
解得b＝5，
∴y＝﹣3x+5，
令y＝0时，0＝﹣3x+5，
解得x＝，
∴直线BD与x轴的交点的坐标为（）．
故答案为：（）．
【点评】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征和菱形的性质，函数过某个点，即点代入函数解析式，等式成立．
15．（4分）如图所示，抛物线形拱桥的顶点距水面2m时，测得拱桥内水面宽为12m．当水面升高1m后，拱桥内水面的宽度为 m．
【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y＝1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，
可得：A（﹣6，0），B（6，0），C（0，2），
设顶点式y＝ax2+2，代入A点坐标（﹣6，0），
得：，
所以抛物线解析式为，
当水面升高1m后，令y＝1，
则，
解得：，
∴拱桥内水面的宽度为，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
16．（4分）若二次函数y＝（a+1）x2﹣4x﹣2的图象与x轴有两个公共点，且关于y的不等式组至少有两个整数解，则符合条件的所有整数a的和为 1 ．
【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组至少有两个整数解确定出a的取值范围，再根据二次函数y＝（a+1）x2﹣4x﹣2的图象与x轴有两个公共点，由判别式Δ＞0求出a的取值范围，然后由a为整数，确定出a的值，进而求和，即可得出结论．
【解答】解：不等式组，
解①得y＜5，
解②得y≥2a﹣1，
∴不等式组的解集为：2a﹣1≤y＜5，
∵不等式组至少有两个整数解，
∴2a﹣1≤3，
解得a≤2，
∵二次函数y＝（a+1）x2﹣4x﹣2的图象与x轴有两个公共点，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4（a+1）×（﹣2）＝16+8（a+1）＞0，
解得a＞﹣3，
∴﹣3＜a≤2，
∵a为整数，
∴a＝﹣2，﹣1，0，1，2，
∵a≠﹣1，
∴符合条件的所有整数a的和为﹣2+0+1+2＝1，
故答案为：1．
【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，以及解一元一次不等式组，根据题意得到关于a的不等式是解本题的关键．
17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，，点P是BC边上一点，连接AP，以A为中心，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到AQ，连接CQ、DQ，且∠BCQ＝∠DCQ，则CQ的长度为 4﹣4 ．
【分析】如图，连结AC，BD交于点O，连结OQ，可得△ABP≌△AOD，∠ABP＝∠AOQ＝90°，OQ垂直平分AC，AQ＝QC．∠QAC＝∠QCA＝15°，∠PQC＝90°，用勾股定理可求CQ．
【解答】解：如图，连结AC，BD交于点O，连结OQ．
在矩形ABCD中，OA＝OC＝OB＝OD，
∵AB＝4．BC＝4，
∴AC2＝AB2+BC2＝64．
∴AC＝8（﹣8不合题意舍去）．
∴AO＝OB＝AB＝4，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵线段AP绕点A逆时针旋转60°得到AQ，
∴AP＝AQ，∠PAQ＝60°，
∵∠BAC＝∠PAQ，
∴∠BAP＝∠CAQ，
∵又AB＝AO，AP＝AQ，
∴△ABP≌△AOQ（SAS）．
∴∠ABP＝∠AOQ＝90°，
∵O为AC的中点，
∴OQ垂直平分AC，
∴AQ＝CQ．
∵∠BCQ＝∠DCQ，
而∠BCQ+∠DCQ＝90°，
∴∠QCB＝45°，
而PQ＝CQ，
∴∠PQC＝90°，
设PB＝x，则CP＝4﹣x，
在Rt△ABP中，AP＝＝，
而CP＝PQ＝AP＝×＝4﹣x，
∴x＝8﹣4（负值舍去），
∴CP＝8﹣8，
∴CQ＝CP＝4﹣4．
故答案为：4﹣4．
【点评】此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了矩形的性质及等腰直角三角形的性质，有一定的综合性，对于学生的能力要求比较高．
18．（4分）一个各数位上的数字均不为0的四位自然数abcd，若百位数字与十位数字的乘积等于千位数字与个位数字组成的两位数，即b•c＝ad，则称这个数为“功能数”，例如：四位数1342，∵3×4＝12，∴1342是“功能数”．若349d是一个“功能数”，则这个数为 3496 ；对于一个“功能数”P，将P的千位数字和十位数字交换位置，百位数字和个位数字交换位置得到的新数记为P'，若4P+P'除以13的余数为P的十位数字的2倍，则满足条件的P的值为 5964 ．
【分析】①根据题目所给新运算的运算顺序和运算法则进行计算即可．
②根据题意对于功能数P＝abcd，得到P'＝cdab，从而得到4P+P'＝（4004a+390b+1040c+104d）+（6a+11b），4004a+390b+1040c+104d能被13整除，
要使4P+P'除以13的余数为P的十位数字的2倍，则6a+11b﹣2c能被13整除，即可求解．
【解答】解：①349d是一个“功能数”，
∴4×9＝10×3+d＝36，
∴d＝6，
∴这个“功能数”为3496．
故答案为3496．
②对于一个“功能数”P，将P的千位数字和十位数字交换位置，百位数字和个位数字交换位置得到的新数记为P'，
∴P'＝cdab，
∴4P+P'＝（1000a+100b+10c+d）×4+1000c+100d+10a+b
＝4000a+400b+40c+4d+1000c+100d+10a+b
＝4010a+401b+1040c+104d
＝（4004a+390b+1040c+104d）+（6a+11b），
∵4004a+390b+1040c+104d能被13整除，
∴要使4P+P'除以13的余数为P的十位数字的2倍，则6a+11b﹣2c能被13整除，
∵一个各数位上的数字均不为0的四位自然数abcd，若百位数字与十位数字的乘积等于千位数字与个位数字组成的两位数，即b•c＝ad，
∴b•c＞10，2＜b＜9，2＜c＜6．
∴当b＝2，c＝6时，P＝1262，则a＝1，6a+11b﹣2c＝16，不能被13整除，
当b＝3，c＝4时，P＝1342，则a＝1，6a+11b﹣2c＝31，不能被13整除，
当b＝3，c＝5时，P＝1355，则a＝1，6a+11b﹣2c＝29，不能被13整除，
当b＝3，c＝6时，P＝1368，则a＝1，6a+11b﹣2c＝27，不能被13整除，
当b＝4，c＝3时，P＝1432，则a＝1，6a+11b﹣2c＝44，不能被13整除，
当b＝4，c＝4时，P＝1446，则a＝1，6a+11b﹣2c＝42，不能被13整除，
当b＝4，c＝5时，P＝1450，不合题意．
当b＝4，c＝6时，P＝2464，则a＝2，6a+11b﹣2c＝44，不能被13整除，
当b＝5，c＝3时，P＝1535，则a＝1，6a+11b﹣2c＝55，不能被13整除，
当b＝5，c＝4时，P＝2540，不合题意．
当b＝5，c＝5时，P＝2555，则a＝2，6a+11b﹣2c＝57，不能被13整除，
当b＝5，c＝6时，P＝3560，不合题意．
当b＝6，c＝2时，P＝1622，则a＝1，6a+11b﹣2c＝68，不能被13整除，
当b＝6，c＝3时，P＝1638，则a＝1，6a+11b﹣2c＝66，不能被13整除，
当b＝6，c＝4时，P＝2644，则a＝2，6a+11b﹣2c＝70，不能被13整除，
当b＝6，c＝5时，P＝3650，不合题意．
当b＝6，c＝6时，P＝3666，则a＝3，6a+11b﹣2c＝72，不能被13整除，
当b＝7，c＝2时，P＝1724，则a＝1，6a+11b﹣2c＝79，不能被13整除，
当b＝7，c＝3时，P＝2731，则a＝2，6a+11b﹣2c＝83，不能被13整除，
当b＝7，c＝4时，P＝2748，则a＝2，6a+11b﹣2c＝81，不能被13整除，
当b＝7，c＝5时，P＝3755，则a＝3，6a+11b﹣2c＝85，不能被13整除，
当b＝7，c＝6时，P＝4762，则a＝4，6a+11b﹣2c＝89，不能被13整除，
当b＝8，c＝2时，P＝1826，则a＝1，6a+11b﹣2c＝90，不能被13整除，
当b＝8，c＝3时，P＝2834，则a＝2，6a+11b﹣2c＝94，不能被13整除，
当b＝8，c＝4时，P＝3842，则a＝3，6a+11b﹣2c＝98，不能被13整除，
当b＝8，c＝5时，P＝4850，不合题意．
当b＝8，c＝6时，P＝4868，则a＝4，6a+11b﹣2c＝100，不能被13整除，
当b＝9，c＝2时，P＝1928，则a＝1，6a+11b﹣2c＝101，不能被13整除，
当b＝9，c＝3时，P＝2937，则a＝2，6a+11b﹣2c＝105，不能被13整除，
当b＝9，c＝4时，P＝3946，则a＝3，6a+11b﹣2c＝109，不能被13整除，
当b＝9，c＝5时，P＝4955，则a＝4，6a+11b﹣2c＝113，不能被13整除，
当b＝9，c＝6时，P＝5964，则a＝5，6a+11b﹣2c＝117，不能被13整除，
∴P＝5964符合题意．
故答案为5964．
【点评】本题考查了新定义下有理数的混合运算，解题关键在于正确理解题意，明白题中所给新定义的运算顺序和运算法则．
三、解答题：（本大题共8小题，19题8分，20-26题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（8分）计算：
（1）x（x﹣2y）+（x+y）2；
（2）（1+）÷．
【分析】（1）先展开，再合并同类项即可；
（2）先通分算括号内的，把除化为乘，再分解因式约分．
【解答】解：（1）原式＝x2﹣2xy+x2+2xy+y2
＝2x2+y2；
（2）原式＝÷
＝•
＝．
【点评】本题考查整式的混合运算和分式的符合运算，解题的关键是掌握整式和分式相关运算的法则．
20．（10分）为了解学生的安全知识掌握情况，某校举办了安全知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用x表示，共分成四组：A.60＜x≤70；B.70＜x≤80；C.80＜x≤90；D.90＜x≤100），下面给出了部分信息：七年级20名学生的竞赛成绩为：
66，67，68，68，75，83，84，86，86，86，
86，87，87，89，95，95，96，98，98，100．
八年级20名学生的竞赛成绩在C组的数据是：81，82，84，87，88，89．七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a＝ 86 ，b＝ 87.5 ，m＝ 40 ；
（2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七年级有400名学生、八年级有500名学生参加了此次安全知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀（x＞90）的学生人数是多少？
【分析】（1）分别根据众数和中位数的定义可得a、b的值；用“1”分别减去其它部分占比可得m的值；
（2）根据平均数和中位数的意义解答即可；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
【解答】解：（1）在七年级20名学生的竞赛成绩中86出现的次数最多，故众数a＝86；
把八年级20名学生的竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是87，88，故中位数b＝＝87.5，
m%＝1﹣10%﹣20%﹣＝40%，即m＝40．
故答案为：86，87.5，40；
（2）八年级学生安全知识竞赛成绩较好，理由如下：
因为两个年级成绩的平均数相同，但八年级的中位数高于七年级，所以得到八年级学生安全知识竞赛成绩较好（答案不唯一）；
（3）400×+500×40%
＝120+200
＝320（人），
答：估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀（x＞90）的学生人数大约是320人．
【点评】本题考查了扇形统计图、频数分布表、中位数、众数以及用样本估计总体，掌握相关统计量的意义以及计算方法是解答本题的关键．
21．（10分）在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空：
（1）如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点．用尺规过点O作AC的垂线，分别交AB，CD于点E，F，连接AF，CE．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）已知：矩形ABCD，点E，F分别在AB，CD上，EF经过对角线AC的中点O，且EF⊥AC．求证：四边形AECF是菱形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD．
∴① ∠OFC＝∠OEA ，∠OCF＝∠OAE．
∵点O是AC的中点，
∴② OC＝OA ．
∴△CFO≌△AEO（AAS）．
∴③ OF＝OE ．
又∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形．
进一步思考，如果四边形ABCD是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④ 四边形AECF是菱形 ．
【分析】（1）根据要求作出图形；
（2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形证明即可．
【解答】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD．
∴①∠OFC＝∠OEA，∠OCF＝∠OAE．
∵点O是AC的中点，
∴②OC＝OA．
∴△CFO≌△AEO（AAS）．
∴③OF＝OE．
又∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形．
进一步思考，如果四边形ABCD是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④四边形AECF是菱形．
故答案为：∠OFC＝∠OEA，OC＝OA，OF＝OE，四边形AECF是菱形．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定与性质，矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
22．（10分）某水果店商家购进了一批哈密瓜和脆桃．商家用1600元购买哈密瓜，800元购买脆桃，每斤哈密瓜比每斤脆桃的进价贵6元，且购进脆桃的数量是哈密瓜的2倍．
（1）求商家购买每斤哈密瓜和每斤脆桃的进价；
（2）商家在销售过程中发现，当哈密瓜的售价为每斤14元，脆桃的售价为每斤5元时，平均每天可售出20斤哈密瓜，40斤脆桃，据调查，哈密瓜的售价每降低0.5元平均每天可多售出5斤，且降价幅度不低于10%．商家在保证脆桃的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使哈密瓜和脆桃平均每天的总获利为270元，则每斤哈密瓜的售价为多少元？
【分析】（1）设每斤脆桃的进价是x元，则每斤哈密瓜的进价是（x+6）元，利用数量＝总价÷单价，结合购进脆桃的数量是哈密瓜的2倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即每斤脆桃的进价），再将其代入（x+6）中，即可求出每斤哈密瓜的进价；
（2）设每斤哈密瓜的售价为y元，则每斤哈密瓜的销售利润为（y﹣8）元，平均每天可售出（160﹣10y）斤，利用总利润＝每斤的销售利润×销售数量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合降价幅度不低于10%，即可确定结论．
【解答】解：（1）设每斤脆桃的进价是x元，则每斤哈密瓜的进价是（x+6）元，
根据题意得：＝×2，
解得：x＝2，
经检验，x＝2是所列方程的解，且符合题意，
∴x+6＝2+6＝8．
答：每斤哈密瓜的进价是8元，每斤脆桃的进价是2元；
（2）设每斤哈密瓜的售价为y元，则每斤哈密瓜的销售利润为（y﹣8）元，平均每天可售出20+×5＝（160﹣10y）斤，
根据题意得：（y﹣8）（160﹣10y）+（5﹣2）×40＝270，
整理得：y2﹣24y+143＝0，
解得：y1＝11，y2＝13，
∵降价幅度不低于10%，14×（1﹣10%）＝12.6（元），
∴y＝11．
答：每斤哈密瓜的售价为11元．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AC的中点，动点P以每秒1个单位长度的速度从点D出发沿折线D→A→B方向运动，到达点B时停止运动，设点P的运动时间为x秒，△BCP的面积记为y．
（1）请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，若直线与该函数图象有且仅有两个交点，则b的取值范围是 3≤b＜5 ．
【分析】（1）分0≤x≤2和2＜x≤7两种情况分别求出函数解析式即可；
（2）利用两点法画出函数图象，并根据图象写出性质即可；
（3）分别求出直线经过点（2，6）和点（0，3）时b的值，结合图象写出答案即可．
【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝5，
∵点D是AC的中点，
∴AD＝＝2，
当0≤x≤2时，∵PD＝x，
∴CP＝2+x，
∴y＝＝（2+x）×3＝x+3；
当2＜x≤7时，如图1，过P作PH⊥BC于H，
则PH∥AC，
∴△PBH∽△ABC，
∴，
∴，
∴PH＝，
∵y＝＝×3×＝﹣x+；
综上所述，y＝；
（2）如图2，函数的图象如图所示；
当0≤x≤2是y随x的增大而增大；
（3）如图，
当直线与经过点（0，3）时，3＝b，则b＝3，
当直线经过点（2，6）时，6＝×2+b，则b＝5，
结合图象可知，直线与该函数图象有两个交点时，b的取值范围是3≤b＜5，
故答案为：3≤b＜5．
【点评】此题是一次函数的综合题，考查了一次函数的图象和性质、勾股定理，三角形的面积的计算，数形结合和分类讨论是解题的关键．
24．（10分）如图，四边形ABCD是休闲公园的人行步道．AC，BD是两条自行车道且相交于点O，点B是休闲公园入口．经测量，点A在点D的西偏南45°方向，点C在点D的东偏南30°方向，点C在点A的北偏东75°方向，米．
（1）求自行车道AC的长度（精确到个位数）；
（2）测得∠AOB＝45°，小刚从A点出发步行沿步道AB去B处取快餐，小刚步行的速度为60米每分钟，送餐员等待的时间不超过5分钟，请计算说明小刚能否在送餐员规定的时间内取到快餐吗？（参考数据：，，）
【分析】（1）过点D作DE⊥AC于点E，在Rt△ADE中，求出DE、AE长，在Rt△CDE中，求出AC即可；
（2）过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F，先求出，在Rt△BDF中，求出BF，即可求出结论．
【解答】解：（1）过点D作DE⊥AC于点E，如图．
由题意，得∠DAE＝75°﹣45°＝30°．∠ACD＝180°﹣30°﹣（180°﹣30°﹣45°）＝45°．
∵在Rt△ADE中，米，
∴米，米．
∴在Rt△CDE中，米．
∴米．
答：AC的长度约为1338米．
（2）过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F，如图．
在△ABO中，∠BAO＝90°﹣75°＝15°．
∵∠AOB＝45°，
∴∠DBF＝60°．
在等腰Rt△ADF中，米．
∴在Rt△BDF中，米．
∴米．
小刚从A到B所用的时间约为分钟．
答：小刚能在送餐员规定的时间内取到快餐．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数是求解关键．
25．（11分）如图，抛物线y＝ax2+5ax+b经过点D（﹣1，﹣5），且交x轴于A（﹣6，0），B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，过点D作DM⊥x轴，垂足为M，点P在直线AD下方抛物线上运动，过点P作PE⊥AD，PF⊥DM，求PE+PF的最大值，以及此时点P的坐标．
（3）将原抛物线沿射线CA方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上存在点G，使得∠CAG＝45°，请写出所有符合条件的点G的横坐标，并写出其中一个的求解过程．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）证明PH＝PE，得到PE+PF＝PH+（xF﹣xP），即可求解；
（3）当点G在x轴下方时，在△ACN中，tan∠ACO＝tan∠TCN，∠CAN＝45°，AC＝，求出点N（0，﹣18），即可求解；当点G在x轴上方时，同理可解．
【解答】解：（1）由题意得：
，解得：，
则抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣3；
（2）过点P作PH∥y轴交AD于点H，如图1，
由点A、D的坐标得，直线AD和x轴正半轴的夹角为45°，直线AD的表达式为：y＝﹣x﹣6，
则∠MDA＝∠PHE＝45°，
则PH＝PE，
设点P（x，x2+x﹣3），则点H（x，﹣x﹣6），
则PE+PF＝PH+（xF﹣xP）＝（﹣x﹣6﹣x2﹣x+3）+（﹣1﹣x）＝﹣x2﹣x﹣4，
∵，
故PE+PF有最大值为，
此时点P的坐标为：（﹣，﹣）；
（3）原抛物线沿射线CA方向平移个单位长度，相当于将抛物线向左平移1个单位、向上平移个单位，如图2，
则新抛物线的表达式为：y＝x2+x+①，
当点G在x轴下方时，
设直线AG交y轴于点N，过点N作NT⊥AC于点T，
由点A、C（0，﹣3）的坐标得：AC＝，
在△ACN中，tan∠ACO＝tan∠TCN，∠CAN＝45°，AC＝，
设CT＝x，则NT＝2x，
则AT＝NT，即2x＝x+，则x＝，
则CN＝x＝15，
则点N（0，﹣18），
由点A、N的坐标得，直线AN的表达式为：y＝﹣3x﹣18②，
联立①②得：x2+x+＝﹣3x﹣18，
解得：x＝（不合题意的值已舍去）；
当点G在x轴上方时，
同理可得：直线AG的表达式为：y＝x+2③，
联立①③得：x2+x+＝x+2，
解得：x＝（不合题意的值已舍去）；
综上，符合条件的点G的横坐标为：或．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、图象的平移等，分类求解是解题的关键．
26．（10分）已知△ABC为等边三角形，D是边AB上一点，连接CD，点E为CD上一点，连接BE．
（1）如图1，延长BE交AC于点F，若∠CBF＝45°，，求CF的长；
（2）如图2，将△BEC绕点C顺时针旋转60°到△AGC，延长BC至点H，使得CH＝BD，连接AH交CG于点N，求证CE＝DE+2GN；
（3）如图3，AB＝4，点H是BC上一点，且BD＝2CH，连接DH，点K是AC上一点，CK＝AD，连接DK，BK，将△BKD沿BK翻折到△BKQ，连接CQ，当△ADK的周长最小时，直接写出△CKQ的面积．
【分析】（1）如图1，过点F作FP⊥BC于点P，利用等腰直角三角形的性质求得BP＝FP＝3，再解直角三角形求解即可．
（2）如图2，延长CG到I，使GI＝DE，连接AI，过点H作HM∥AG，交CG于点M，先后证明△BCD≌△ACI（SAS），△IAN≌△CHN（AAS），△AGN≌△HMN（ASA），△HCM≌△BDE（ASA），利用三角形全等的性质和线段的和差求解即可．
（3）过点D，H分别作BC的垂线，分别交BC于点F，交AC于点G，作∠KDE＝60°，交BC于点E，证明△GCH≌△DBF（AAS），可得DF＝GH，BF＝CH，BD＝AK，再证明△BDE≌△AKD（ASA），可得BE＝AD＝CK，设BF＝CH＝a，可得DE＝，得到当△ADK的周长最小值时，DE的值最小，据此求解即可．
【解答】（1）解：如图1，过点F作FP⊥BC于点P，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，
∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵FP⊥BC，
∴∠FPB＝90°，
∵∠CBF＝45°，
∴∠BFP＝45°，
∴BP＝FP，
∵BF＝2，
∴BP＝FP＝×2＝2，
∵tan∠ACB＝，
∴PC＝，
∴CF＝2PC＝；
（2）证明：如图2，延长CG到I，使GI＝DE，连接AI，过点H作HM∥AG，交CG于点M，
．
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，
∠ABC＝∠ACB＝60°，
由旋转的性质得，∠BCD＝∠ACI，
CE＝CG，BE＝AG，∠CBE＝∠CAG，
∴△BCD≌△ACI（SAS），
∴BD＝AI，∠IAC＝∠ABC＝60°，
∴AI∥BC，
∴∠IAN＝∠CHN，
∵CH＝BD，
∴CH＝AI，
又∵∠INA＝∠CNH，
∴△IAN≌△CHN（AAS），
∴AN＝HN，
∵HM∥AG，
∴∠GAN＝∠MHN，
又∵∠ANG＝∠HNM，AN＝HN，
∴△AGN≌△HMN（ASA），
∴AG＝HM，GN＝MN，
同理，△HCM≌△BDE（ASA），
∴CM＝DE，
∴CE＝CG＝CM+MN+NG＝DE+2GN；
（3）解：如图3，过点D，H分别作BC的垂线，分别交BC于点F，交AC于点G，作∠KDE＝60°，交BC于点E，
．
∵△ABC为等边三角形，
∴∠GCH＝∠DBF＝60°，
∵GH⊥BC，
∴∠HGC＝30°，
∴CG＝2CH，
∵BD＝2CH，
∴BD＝CG．
又∵∠DFB＝∠GHC＝90°，
∴△GCH≌△DBF（AAS），
∴DF＝GH，BF＝CH，
∵CK＝AD，
∴BD＝AK，
∵∠KDE＝60°，
∴∠BDK＝∠BDE+60°＝60°+∠AKD，
∴∠BDE＝∠AKD，
∴△BDE≌△AKD（ASA），
∴BE＝AD＝CK，DE＝KD，
设BF＝CH＝a，则CG＝AK＝BD＝2a，
∴HG＝DF＝a，
BE＝AD＝CK＝4﹣2a，
∴EF＝|BF﹣BE|＝|a﹣（4﹣2a）|＝|3a﹣4|，
∴DE＝＝，
∴△ADK的周长＝AD+AK+DK＝AB+DE＝4+DE，
∴△ADK的周长最小值时，DE的值最小，
∴当a＝1时，DE的值最小，此时CG＝AK＝BD＝2，
即点K，点G重合，如图4，
．
∴△CKQ的面积＝2S△CGH＝2××1×＝．
【点评】本题是三角形的综合题，考查了解直角三角形，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，求二次函数的最值等知识，做出合理的辅助线，学会利用参数构建二次函数解决问题是解题的关键．
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0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
x2+4x﹣3
﹣1.24
﹣0.75
﹣0.24
0.29
0.84
年级
七年级
八年级
平均数
85
85
中位数
86
b
众数
a
79
x
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0.5
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x2+4x﹣3
﹣1.24
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七年级
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平均数
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中位数
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