重庆市南开中学2024-2025学年九年级上学期9月月考模拟数学试卷

这是一份重庆市南开中学2024-2025学年九年级上学期9月月考模拟数学试卷，共31页。

A．B．C．D．
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6
B．a+2a2＝3a3
C．（﹣3ab）2•2ab2＝﹣18a3b4
D．6ab3÷（﹣2ab）＝﹣3b2
3．（4分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，下列比值中等于sinA的是（ ）
A．B．C．D．
4．（4分）如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上．若OA：AA′＝1：2，则△ABC和△A′B′C′的周长之比为（ ）
A．1：2B．1：4C．4：9D．1：3
5．（4分）下列命题中，不一定是真命题的是（ ）
A．平行四边形的两条对角线长度相等
B．菱形的两条对角线互相垂直
C．矩形的两条对角线长度相等且互相平分
D．正方形的两条对角线长度相等，并且互相垂直平分
6．（4分）某公司上半年生产甲、乙两种型号的无人机若干架，已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架．设甲种型号无人机x架，乙种型号无人机y架，根据题意可列出的方程组是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（4分）估算的值（ ）
A．在3和4之间B．在4和5之间
C．在2和3之间D．在5和6之间
8．（4分）下列图形都是由正方形按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有8个正方形，第②个图形中一共有15个正方形，第③个图形中一共有22个正方形，…，按此规律排列，则第⑨个图形中正方形的个数为（ ）
A．50B．60C．64D．72
9．（4分）已知四边形ABCD和DEFG都是正方形，点F在线段AB上，连接AE、BD，BD交FG于点H．若∠AEF＝α，则∠BHF＝（ ）
A．2αB．45°+αC．22.5°+αD．90°﹣α
10．（4分）在多项式a+b﹣c﹣d﹣e中，除首尾项a、﹣e外，其余各项都可去掉，去掉项的前面部分和其后面部分都加上绝对值，并用减号连接，则称此为“消减操作”．每种“消减操作”可以去掉的项数分别为一项，两项，三项．“消减操作”只针对多项式a+b﹣c﹣d﹣e进行．例如：+b“消减操作”为|a|﹣|﹣c﹣d﹣e|，﹣c与﹣d同时“消减操作”为|a+b|﹣|﹣e|，…，下列说法：
①存在对两种不同的“消减操作”后的式子作差，结果不含与e相关的项；
②若每种操作只去掉一项，则对三种不同“消减操作”的结果进行去绝对值，共有8种不同的结果；
③若可以去掉的三项+b，﹣c，﹣d满足：（|+b|+|+b+2|）（|﹣c+1|+|﹣c+4|）（|﹣d+1|+|﹣d﹣6|）＝42，则2b+c﹣d的最大值为14．
其中正确的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．（4分）已知，△ABC中，∠A是锐角，sinA＝，则∠A的度数是 ．
12．（4分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是 ．
13．（4分）如图，分别过矩形ABCD的顶点A、D作直线l1、l2，使l1∥l2，l2与边BC交于点P，若∠1＝38°，则∠BPD的度数为 ．
14．（4分）已知a、b是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个根，则代数式3a2+2b2﹣3a﹣2b的值等于 ．
15．（4分）如图，点B在x的正半轴上，且BA⊥OB于点B，将线段BA绕点B逆时针旋转60°到BB′的位置，且点B′的坐标为（1，）．若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A点，则k＝ ．
16．（4分）若关于x的一元一次不等式组有且只有2个整数解，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
17．（4分）如图，点E在矩形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE翻折，点D恰好落在边BC的点F处，如果BC＝10，，那么EC＝ ．
18．（4分）一个四位自然数，若满足千位数字与十位数字的差比百位数字与个位数字的差多1，则称这样的四位数为“多一数”，如：9675，9﹣7＝6﹣5+1，9765是“多一数”；又如：6973，∵6﹣7≠9﹣3+1，∴6973不是“多一数”．现有一个“多一数”M，千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d（1≤c≤a≤9，0≤d≤b≤9），将M的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换，得到新的四位数N，若，F（M）能被6整除，则a﹣c＝ ；规定，若G（M）为完全平方数，则满足条件的“多一数”M中，最大值与最小值的差是 ．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．（8分）计算：
（1）因式分解：9（x+y）2﹣25（x﹣y）2； （2）计算：．
20．（10分）解方程：
（1）x2﹣2x﹣2＝0； （2）．
21．（10分）在第18章学习了三角形的中位线定理后，小明对这一知识进行了拓展性研究．他发现，连接梯形两腰中点的线段也具有类似的性质．探究过程如下：
（1）用直尺和圆规，作线段CD的垂直平分线，垂足为点F，连接EF，连接AF并延长AF交线段BC的延长线于点M（只保留作图痕迹）；
（2）已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，E为AB中点，F为CD中点，连接EF．
猜想：EF∥AD∥BC，且．
证明：∵F是CD中点，∴ ．
∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠CMF．
在△ADF和△MCF中，，
∴△ADF≌△MCF（AAS）．∴AF＝FM，AD＝CM．
∵在△ABM中，E是AB中点，F是AM中点，∴EF∥BM且 ．
∵BM＝BC+CM，∴BM＝BC+AD．∴．
∵EF∥BM，AD∥BC，∴EF∥AD∥BC．
请你根据该探究过程完成下面命题：
连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且 ．
22．（10分）重庆市自发布“重庆市长江10年禁鱼通告”后，忠县内的黄钦水库自然生态养殖鱼在市场上热销，并被誉为“清凉五月天，黄钦自有贤”的美誉.2024年五一假期依依同学旅游到此，并购买了若干桂花鱼和大罗非，她发现用840元买的桂花鱼的数量比用同样价钱买大罗非的数量多20斤，且大罗非的单价是桂花鱼的1.5倍．
（1）求桂花鱼、大罗非两种鱼的单价分别为多少元；
（2）两种鱼在得到一致好评后，依依决定再次购买这两种鱼作为“伴手礼”．由于商家对老顾客让利，其中桂花鱼按照原单价购买，大罗非的单价每斤降低m（m＞0）元，则购买的数量会比第一次购买大罗非的数量增加2m斤，第二次一共购买80斤鱼共用了1340元．求m的值．
23．（10分）如图矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点F为BC边上的三等分点（CF＜BF），动点P从点A出发，沿折线A→D→C运动，到C点停止运动．点P的运动速度为每秒2个单位长度，设点P运动时间为x秒，△APF的面积为y1．
（1）请直接写出y1关于x的函数解析式，并注明自变量x的取值范围；
（2）若函数，请在平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并写出函数y1的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出当y1≤y2时x的取值范围（保留一位小数，误差不超过0.2）．
24．（10分）已知图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图，现已测得支架AC＝72cm，BC＝54cm，两轮轮轴的距离AB＝90cm（购物车车轮半径忽略不计），DG、EH均与地面平行．（参考数据：）
（1）猜想两支架AC与BC的位置关系并说明理由；
（2）若FG的长度为80cm，∠EHG＝60°，求购物车把手F到AB的距离．（结果精确到0.1）
25．（10分）如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为（m，﹣3），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝2CD．
（1）求k的值并直接写出点B的坐标；
（2）点M、N是y轴上的动点（M在N上方）且满足MN＝1，连接MB，NC，求MB+MN+NC的最小值；
（3）点P是双曲线上一个动点，是否存在点P，使得∠ODP＝∠DOB，若存在，请直接写出所有符合条件的P点的横坐标．
26．（10分）在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，过A作AD⊥BC于点D．
（1）如图1，过D作DE⊥AB于点E，连接CE，若AE＝2，求线段CE的长；
（2）如图2，H为平面内一点，连接AH、CH，在△AGH中，AG＝AH，∠GAH＝120°，延长AG与CB交于点F，过点H作HP∥AF交BC于点P，若C、H、G在一条直线上，求证：BF＝CP；
（3）如图3，M为AD上一点，连接BM，N为BM上一点，若，，∠BAN﹣∠CBN＝30°，连接CN，请直接写出线段CN的长．
重庆市南开中学2024-2025学年九年级上学期数学9月第一次考试模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）下列社交软件的标志中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转180°后能和原来的图形重合，A、C、D都不符合；
是中心对称图形的只有B．
故选：B．
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6
B．a+2a2＝3a3
C．（﹣3ab）2•2ab2＝﹣18a3b4
D．6ab3÷（﹣2ab）＝﹣3b2
【解答】解：a2•a3＝a5，故A错误，不符合题意；
a与2a2不能合并，故B错误，不符合题意；
（﹣3ab）2•2ab2＝18a3b4，故C错误，不符合题意；
6ab3÷（﹣2ab）＝﹣3b2，故D正确，符合题意；
故选：D．
3．（4分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，下列比值中等于sinA的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：在Rt△ABC中，sinA＝，
在Rt△ACD中，sinA＝，
∵∠A+∠B＝90°，∠B+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
在Rt△BCD中，sin∠BCD＝sinA＝．
故选：B．
4．（4分）如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上．若OA：AA′＝1：2，则△ABC和△A′B′C′的周长之比为（ ）
A．1：2B．1：4C．4：9D．1：3
【解答】解：∵OA：AA′＝1：2，
∴OA：OA′＝1：3，
∵△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，
∴AC∥A′C′，
∴△AOC∽△A′OC′，
∴AC：A′C′＝OA：OA′＝1：3，
∴△ABC和△A′B′C′的周长之比为1：3，
故选：D．
5．（4分）下列命题中，不一定是真命题的是（ ）
A．平行四边形的两条对角线长度相等
B．菱形的两条对角线互相垂直
C．矩形的两条对角线长度相等且互相平分
D．正方形的两条对角线长度相等，并且互相垂直平分
【解答】解：A、平行四边形的两条对角线长度不一定相等，故本选项命题不一定是真命题，符合题意；
B、菱形的两条对角线互相垂直，是真命题，不符合题意；
C、矩形的两条对角线长度相等且互相平分，是真命题，不符合题意；
D、正方形的两条对角线长度相等，并且互相垂直平分，是真命题，不符合题意；
故选：A．
6．（4分）某公司上半年生产甲、乙两种型号的无人机若干架，已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架．设甲种型号无人机x架，乙种型号无人机y架，根据题意可列出的方程组是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设甲种型号无人机x架，乙种型号无人机y架，根据题意可列出的方程组是：．
故选：D．
7．（4分）估算的值（ ）
A．在3和4之间B．在4和5之间
C．在2和3之间D．在5和6之间
【解答】解：∵25＜31＜36，
∴5＜＜6，
∴3＜﹣2＜4．
故选：A．
8．（4分）下列图形都是由正方形按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有8个正方形，第②个图形中一共有15个正方形，第③个图形中一共有22个正方形，…，按此规律排列，则第⑨个图形中正方形的个数为（ ）
A．50B．60C．64D．72
【解答】解：观察图形发现第一个图形有8个正方形，
第二个图形有8+7＝15个正方形，
第三个图形有8+7×2＝22个正方形，
…
第n个图形有8+7（n﹣1）＝7n+1个正方形，
当n＝9时，7n+1＝7×9+1＝64个正方形．
故选：C．
9．（4分）已知四边形ABCD和DEFG都是正方形，点F在线段AB上，连接AE、BD，BD交FG于点H．若∠AEF＝α，则∠BHF＝（ ）
A．2αB．45°+αC．22.5°+αD．90°﹣α
【解答】解：过点E作EM⊥AB于点M，作EN⊥AD，交DA的延长线于N，设EF与AD交于T，如图所示：
则∠N＝∠EMB＝∠EMA＝90°，
∵四边形ABCD和DEFG都是正方形，
∴∠BEF＝∠BAD＝∠EFG＝∠ADC＝∠EDG＝90°，DE＝EF，
∴∠N＝∠EMA＝∠MAN＝90°，
∴四边形AMEN为矩形，
∴∠1+∠DTE＝90°，∠2+∠FTA＝90°，
∵∠DTE＝∠FTA，
∴∠1＝∠2，
在△DME和△FNE中，
，
∴△DME≌△FNE（AAS），
∴EM＝EN，
∴矩形AMEN为正方形，
∴AE平分∠DAN，
∴∠EAD＝45°，
∴∠EAF＝∠BAD+∠EAD＝90°+45°＝135°，
∴∠2＝180°﹣∠EAF﹣AEF＝180°﹣135°﹣α＝45°﹣α，
∴∠1＝∠2＝45°﹣α，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB＝45°，
∴∠EDH＝∠1+∠ADB＝45°﹣α+45°＝90°﹣α，
∴∠HDG＝∠EDG﹣∠EDH＝90°﹣（90°﹣α）＝α，
∴∠BHF＝∠DHG＝90°﹣∠HDG＝90°﹣α．
故选：D．
10．（4分）在多项式a+b﹣c﹣d﹣e中，除首尾项a、﹣e外，其余各项都可去掉，去掉项的前面部分和其后面部分都加上绝对值，并用减号连接，则称此为“消减操作”．每种“消减操作”可以去掉的项数分别为一项，两项，三项．“消减操作”只针对多项式a+b﹣c﹣d﹣e进行．例如：+b“消减操作”为|a|﹣|﹣c﹣d﹣e|，﹣c与﹣d同时“消减操作”为|a+b|﹣|﹣e|，…，下列说法：
①存在对两种不同的“消减操作”后的式子作差，结果不含与e相关的项；
②若每种操作只去掉一项，则对三种不同“消减操作”的结果进行去绝对值，共有8种不同的结果；
③若可以去掉的三项+b，﹣c，﹣d满足：（|+b|+|+b+2|）（|﹣c+1|+|﹣c+4|）（|﹣d+1|+|﹣d﹣6|）＝42，则2b+c﹣d的最大值为14．
其中正确的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【解答】解：①﹣d“闪减操作”后的式子|a+b﹣c|﹣|﹣e|，﹣c﹣d“闪减操作”后的式子|a+b|﹣|﹣e|对这两个式子作差，
得（|a+b﹣c|﹣|﹣e|）﹣（|a+b|﹣|﹣e）
＝|a+b﹣c|﹣|﹣e|﹣|a+b|+|﹣e|
＝|a+b﹣c|﹣|a+b|，
结果不含与e相关的项，
∴①正确；
②若每种操作只闪退一项，则分三种情况：
+b闪减操作”后的结果|a|﹣|﹣c﹣d﹣e|，
当a≥0，﹣c﹣d﹣e≥0时，|a|﹣|﹣c﹣d﹣e|＝a+c+d+e，
当a≥0，﹣c﹣d﹣e≤0时，|a|﹣|﹣c﹣d﹣e|＝a﹣c﹣d﹣e，
当a≤0，﹣c﹣d﹣e≥0时，|a|﹣|﹣c﹣d﹣e|＝﹣a+c+d+e，
当a≤0，﹣c﹣d﹣e≤0时，|a|﹣|﹣c﹣d﹣e|＝﹣a﹣c﹣d﹣e，
﹣c“闪减操作”后的结果|a+b|﹣|﹣d﹣e|，
当a+b≥0，﹣d﹣e≥0时，|a+b|﹣|﹣d﹣e|＝a+b+d+e，
当a+b≥0，﹣d﹣e≤0时，|a+b|﹣|﹣d﹣e|＝a+b﹣d﹣e，
当a+b≤0，﹣d﹣e≥0时，|a+b|﹣|﹣d﹣e|＝﹣a﹣b+d+e，
当a+b≤0，﹣d﹣e≤0时，|a+b|﹣|﹣d﹣e|﹣a﹣b﹣d﹣e，
﹣d“闪减操作”后的结果|a+b﹣c|﹣|﹣e|，
当a+b﹣d≥0，﹣e≥0时，|a+b﹣c|﹣|﹣e|＝a+b﹣c+e，
当a+b﹣d≥0，﹣e≤0时，|a+b﹣c|﹣|﹣e|＝a+b﹣c﹣e，
当a+b﹣d≤0，﹣e≥0时，|a+b﹣c|﹣|﹣e|＝﹣a﹣b+c+e，
当a+b﹣d≤0，﹣e≤0时，|a+b﹣c|﹣|﹣e|＝﹣a﹣b+c﹣e，
共有12种不同的结果，
∴②错误；
③∵|+b|+|+b+2|＝|b﹣0|+|b﹣（﹣2）|，在数轴上表示点b与0和﹣2的距离之和，
∴当距离取最小值0﹣（﹣2）＝2时，b的最小值为﹣2，
同理|﹣c+1|+|﹣c+4|＝|1﹣c|+|4﹣c|，在数轴上表示点c与1和4的距离之和，
∴当距离取最小值4﹣1＝3时，c的最小值为1，
|﹣d+1|+|﹣d﹣6|＝|1﹣d|+|﹣6﹣d|，在数轴上表示点d与1和﹣6的距离之和，
∴当距离取最小值1﹣（﹣6）＝7时，d的最小值为﹣6，
∴当|+b|+|+b+2|，|﹣c+1|+|﹣c+4|，|﹣d+1|+|﹣d﹣6|都取最小值时，
（|+b|+|+b+2|）（|﹣c+1|+|﹣c+4|）（|﹣d+1|+|﹣d﹣6|）＝2×3×7＝42，
∴③正确，
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．（4分）已知，△ABC中，∠A是锐角，sinA＝，则∠A的度数是 30° ．
【解答】解：∵∠A是锐角，sinA＝，
∴∠A＝30°，
故答案为：30°．
12．（4分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是 6 ．
【解答】解：∵多边形的内角和公式为（n﹣2）•180°，
∴（n﹣2）×180°＝720°，
解得n＝6，
∴这个多边形的边数是6．
故答案为：6．
13．（4分）如图，分别过矩形ABCD的顶点A、D作直线l1、l2，使l1∥l2，l2与边BC交于点P，若∠1＝38°，则∠BPD的度数为 142° ．
【解答】解：∵l1∥l2，∠1＝38°，
∴∠ADP＝∠1＝38°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD//BC，
∴∠BPD+∠ADP＝180°，
∴∠BPD＝180°﹣38°＝142°．
故答案为：142°．
14．（4分）已知a、b是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个根，则代数式3a2+2b2﹣3a﹣2b的值等于 5 ．
【解答】解：根据题意
得a2﹣a＝1，b2﹣b＝1，
所以3a2+2b2﹣3a﹣2b
＝3a2﹣3a+2b2﹣2b
＝3（a2﹣a）+2（b2﹣b）
＝3+2＝5．
故填5
15．（4分）如图，点B在x的正半轴上，且BA⊥OB于点B，将线段BA绕点B逆时针旋转60°到BB′的位置，且点B′的坐标为（1，）．若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A点，则k＝ 8 ．
【解答】解：如图，过点B′作B′D⊥x轴于点D，
∵BA⊥OB于点B，
∴∠ABD＝90°．
∵线段BA绕点B逆时针旋转60°到BB′的位置，
∴∠ABB′＝60°，
∴∠B′BD＝90°﹣60°＝30°．
∵点B′的坐标为（1，），
∴OD＝1，B′D＝，
∴BB′＝2B′D＝2，BD＝＝3，
∴OB＝1+3＝4，AB＝BB′＝2，
∴A（4，2），
∴k＝4×2＝8．
故答案为：8．
16．（4分）若关于x的一元一次不等式组有且只有2个整数解，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为 8 ．
【解答】解：，
解得：，
∵不等式组有且只有2个整数解，
∴，
解得2＜a≤5.5，
解分式方程得y＝2a﹣5，
∵y的值解为正数，
∵2a﹣5＞0，且 2a﹣5≠3，
∵a＞2.5且 a≠4，
∴满足条件的整数a的值有3和5，
∴3+5＝8．
故答案为：8．
17．（4分）如图，点E在矩形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE翻折，点D恰好落在边BC的点F处，如果BC＝10，，那么EC＝ 3 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
由折叠的性质可得AF＝AD＝10，∠AFE＝∠D＝90°，
在Rt△ABF中，，
∴，
∴CF＝BC﹣BF＝4，
在Rt△ABF，由勾股定理得，
∴，
∵∠BAF+∠BFA＝90°＝∠BFA+∠CFE，
∴∠BAF＝∠CFE，
∴在Rt△EFC中，，
∴，
故答案为：3．
18．（4分）一个四位自然数，若满足千位数字与十位数字的差比百位数字与个位数字的差多1，则称这样的四位数为“多一数”，如：9675，9﹣7＝6﹣5+1，9765是“多一数”；又如：6973，∵6﹣7≠9﹣3+1，∴6973不是“多一数”．现有一个“多一数”M，千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d（1≤c≤a≤9，0≤d≤b≤9），将M的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换，得到新的四位数N，若，F（M）能被6整除，则a﹣c＝ 5 ；规定，若G（M）为完全平方数，则满足条件的“多一数”M中，最大值与最小值的差是 2222 ．
【解答】解：根据题意可知0≤a﹣c≤8，a﹣c＝b﹣d+1．M＝1000a+100b+10c+d，N＝1000c+100d+10a+b．
＝，
＝，
＝10（a﹣c）+b﹣d＝10（a﹣c）+a﹣c﹣1，
＝11（a﹣c）﹣1，
∵F（M）能被6整除，
∴a﹣c＝5．
∵c≥1，
∴a≥6．
当a＝6时，c＝1．
∵a﹣c＝b﹣d+1，
∴d＝b﹣4．
∴，
∵G（M）为完全平方数，
∴b＝3．
∴d＝﹣1（舍去）．
同理，当a＝7时，c＝2，M＝7420；
当a＝8时，c＝3，M＝8531；
当a＝9时，c＝4，M＝9642；
∴满足条件的“多一数”M中，最大值与最小值的差＝9642﹣7420＝2222．
故答案为：5；2222．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．（8分）计算：
（1）因式分解：9（x+y）2﹣25（x﹣y）2；
（2）计算：．
【解答】解：（1）9（x+y）2﹣25（x﹣y）2
＝（3x+3y+5x﹣5y）（3x+3y﹣5x+5y）
＝﹣4（4x﹣y）（x﹣4y）；
（2）
＝1﹣•
＝1﹣
＝
＝﹣．
20．（10分）解方程：
（1）x2﹣2x﹣2＝0；
（2）．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣2＝0，
移项得x2﹣2x＝2，
配方得x2﹣2x+1＝2+1，即（x+1）2＝3，
开方得，
解得；；
（2），
去分母，得
m﹣4+m+2＝0，
解得m＝1，
经检验，m＝1是原方程的根．
21．（10分）在第18章学习了三角形的中位线定理后，小明对这一知识进行了拓展性研究．他发现，连接梯形两腰中点的线段也具有类似的性质．探究过程如下：
（1）用直尺和圆规，作线段CD的垂直平分线，垂足为点F，连接EF，连接AF并延长AF交线段BC的延长线于点M（只保留作图痕迹）；
（2）已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，E为AB中点，F为CD中点，连接EF．
猜想：EF∥AD∥BC，且．
证明：∵F是CD中点，
∴ DF＝CF ．
∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠CMF．
在△ADF和△MCF中，
，
∴△ADF≌△MCF（AAS）．
∴AF＝FM，AD＝CM．
∵在△ABM中，E是AB中点，F是AM中点，
∴EF∥BM且 ．
∵BM＝BC+CM，
∴BM＝BC+AD．
∴．
∵EF∥BM，AD∥BC，
∴EF∥AD∥BC．
请你根据该探究过程完成下面命题：
连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且 等于两底边之和的一半 ．
【解答】（1）解：如图所示．
.
（2）证明：∵F是CD中点，
∴DF＝CF．
∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠CMF．
在△ADF和△MCF中，
，
∴△ADF≌△MCF（AAS）．
∴AF＝FM，AD＝CM．
∵在△ABM中，E是AB中点，F是AM中点，
∴EF∥BM且．
∵BM＝BC+CM，
∴BM＝BC+AD．
∴．
∵EF∥BM，AD∥BC，
∴EF∥AD∥BC．
连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且等于两底边之和的一半．
故答案为：DF＝CF；∠AFD＝∠MFC；；等于两底边之和的一半．
22．（10分）重庆市自发布“重庆市长江10年禁鱼通告”后，忠县内的黄钦水库自然生态养殖鱼在市场上热销，并被誉为“清凉五月天，黄钦自有贤”的美誉.2024年五一假期依依同学旅游到此，并购买了若干桂花鱼和大罗非，她发现用840元买的桂花鱼的数量比用同样价钱买大罗非的数量多20斤，且大罗非的单价是桂花鱼的1.5倍．
（1）求桂花鱼、大罗非两种鱼的单价分别为多少元；
（2）两种鱼在得到一致好评后，依依决定再次购买这两种鱼作为“伴手礼”．由于商家对老顾客让利，其中桂花鱼按照原单价购买，大罗非的单价每斤降低m（m＞0）元，则购买的数量会比第一次购买大罗非的数量增加2m斤，第二次一共购买80斤鱼共用了1340元．求m的值．
【解答】解：（1）设桂花鱼的单价是x元，则大罗非的单价是1.5x元，
根据题意得：﹣＝20，
解得：x＝14，
经检验，x＝14是所列方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝1.5×14＝21（元）．
答：桂花鱼的单价是14元，大罗非的单价是21元；
（2）第一次购买大罗非的数量是840÷21＝40（斤）．
根据题意得：14（80﹣40﹣2m）+（21﹣m）（40+2m）＝1340，
整理得：m2+13m﹣30＝0，
解得：m1＝2，m2＝﹣15（不符合题意，舍去）．
答：m的值为2．
23．（10分）如图矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点F为BC边上的三等分点（CF＜BF），动点P从点A出发，沿折线A→D→C运动，到C点停止运动．点P的运动速度为每秒2个单位长度，设点P运动时间为x秒，△APF的面积为y1．
（1）请直接写出y1关于x的函数解析式，并注明自变量x的取值范围；
（2）若函数，请在平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并写出函数y1的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出当y1≤y2时x的取值范围（保留一位小数，误差不超过0.2）．
【解答】解：（1）当0≤x≤3时，y1＝＝4x，
当3＜x≤5时，y1＝﹣×6×（2x﹣6）﹣＝﹣4x+24，
∴y1＝；
（2）函数y1，y2的图象如图：
函数y1的性质：当0≤x≤3时，y随x的增大而增大，当3＜x≤5时，y随x的增大而减小；
（3）由两个函数图像可知，当y1≤y2时x的取值范围为0＜x≤2.1或x＝5．
24．（10分）已知图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图，现已测得支架AC＝72cm，BC＝54cm，两轮轮轴的距离AB＝90cm（购物车车轮半径忽略不计），DG、EH均与地面平行．（参考数据：）
（1）猜想两支架AC与BC的位置关系并说明理由；
（2）若FG的长度为80cm，∠EHG＝60°，求购物车把手F到AB的距离．（结果精确到0.1）
【解答】解：（1）AC⊥BC，理由如下：
∵AC＝72cm，BC＝54cm，AB＝90cm，
∴AC2+BC2＝722+542＝8100，AB2＝8100，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC．
（2）过F作FN⊥AB交AB延长线于N，过C作CM⊥AB于M，延长DG交FN于K，
∵EH∥DG∥AB，
∴GK⊥FN，
∴四边形MNKC是矩形，
∴NK＝CM，
∵△ABC的面积＝AB•CM＝AC•BC，
∴90CM＝72×54，
∴CM＝43.2（cm），
∴NK＝CM＝43.2（cm），
∵EH∥DG，
∴∠FGK＝∠EHG＝60°，
∴sin∠FGK＝sin60°＝＝，
∵FG＝80cm，
∴FK＝40≈69.28（cm），
∴FN＝FK+NK＝69.28+43.2≈112.5（cm）．
∴购物车把手F到AB的距离约是112.5cm．
25．（10分）如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为（m，﹣3），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝2CD．
（1）求k的值并直接写出点B的坐标；
（2）点M、N是y轴上的动点（M在N上方）且满足MN＝1，连接MB，NC，求MB+MN+NC的最小值；
（3）点P是双曲线上一个动点，是否存在点P，使得∠ODP＝∠DOB，若存在，请直接写出所有符合条件的P点的横坐标．
【解答】解：（1）根据题意可知点A（m，﹣3）在直线和双曲线的图象上，
∴，解得m＝﹣2，
∴点A的坐标为（﹣2，﹣3），代入双曲线得：
k＝（﹣2）×（﹣3）＝6，
由图象可知点B与点A关于原点对称，
∴B（2，3）；
（2）过点B、C分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F，作点B关于y轴的对称点点B'，并向下平移一个单位记为B''，连接B''C，
则BE∥CF，B'B''＝1，
∴△DCF∽△DBE，
∴，
∵BC＝2CD，B（2，3），B'（﹣2，3），B''（﹣2，2），
∴，BE＝3，
∴CF＝1，即点C的纵坐标为1，
∵点C在反比例函数的图象上，
∴C（6，1），
B''C＝，
∴MB+MN+NC的最小值即为B'B''+B''C＝1+；
（3）当∠ODP＝∠DOB时，当DP在x轴下方时，DP∥AB，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
由（2）可知：B（2，3），C（6，1），
∴解得，
∴，
当y＝0时，，解得x＝8，
∴D（8，0），
∵DP∥AB，直线AB的解析式为，
∴设直线DE的解析式为，
把D（8，0）代入得：12+m＝0，
∴m＝﹣12，
∴，
由P是直线DE与反比例函数的交点可得：
，解得，
此时点P在第三象限，符合题意，
当DP在x轴上方时，则与下方的DP关于x轴对称，
可得直线DP的解析式为：，
再解方程组得，
此时点P在第一象限，两个都符合题意，
∴点P的横坐标为：．．
26．（10分）在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，过A作AD⊥BC于点D．
（1）如图1，过D作DE⊥AB于点E，连接CE，若AE＝2，求线段CE的长；
（2）如图2，H为平面内一点，连接AH、CH，在△AGH中，AG＝AH，∠GAH＝120°，延长AG与CB交于点F，过点H作HP∥AF交BC于点P，若C、H、G在一条直线上，求证：BF＝CP；
（3）如图3，M为AD上一点，连接BM，N为BM上一点，若，，∠BAN﹣∠CBN＝30°，连接CN，请直接写出线段CN的长．
【解答】解：（1）∵∠B＝30°，AD⊥BC，
∴∠BAD＝60°，
∴AD＝2AE＝4，
∴AB＝2AD＝8，BD＝AD＝4，
∴BE＝AB﹣AE＝6，
过E作EF⊥BC于F，如图1，
∴EF＝BE＝3，BF＝BE＝3，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∴CF＝2BD﹣BF＝8﹣3＝5，
∴CE＝＝2，
（2）证明：∵∠ABC＝30°，AB＝AC，
∴∠BAC＝120°，
又∵∠GAH＝120°，
∴∠FAB＝∠CAH，
∵AH＝AG，
∴∠AHG＝30°＝∠ABC，
∴∠ABF＝∠AHC，
∴△ABF∽△AHC，
∴＝，
∵PH∥FG，
∴△CHP∽△CGF，
∴＝，
又∵△ABC∽△AGH，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∵＝，
∴＝＝+1＝+1＝，
∴CP＝FB；
（3）延长BM交AC于F，延长AN到E，使NE＝BN，连接BE，如图3：
∵∠BAN﹣∠CBN＝30°，
∴∠BAN＝∠CBN+30°，
∴∠BNE＝∠BAN+∠ABN＝∠CBN+∠ABN+30°＝60°，
∵NE＝BN，
∴△BEN是等边三角形，
∴∠E＝60°，
∵∠ANB＝180°﹣∠BNE＝120°＝∠BAC，
∴△ABN∽△FBA，
∴＝＝，∠BAE＝∠AFB，
∴△ANF∽△BEA，
∴＝＝，
∴FN＝＝＝，
∴BF＝FN+BN＝，
∴AB2＝BN•BF＝5+，
过F作FG⊥BC于F，过N作NH⊥BC于H，
∵∠ACB＝30°，
∴FG＝FC＝（AB﹣AF）＝AB，CG＝AB，
∴BG＝BC﹣CG＝AB﹣AB＝AB，
∵NH∥CF，
∴＝＝＝，
∴NH＝AB，BH＝AB，
∴CH＝BC﹣BH＝AB，
∴CN2＝CH2+NH2＝9，
∴CN＝3．