2024-2025学年初中上学期八年级数学第一次月考卷（苏科版）（解析版）【测试范围：第一章~第二章】

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（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
考前须知：
1．本卷试题共24题，单选6题，填空10题，解答8题。
2．测试范围：第一章~第二章（苏科版）。
第Ⅰ卷
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（3分）如图，在4×4正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影，若再从图中选一个涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图形，那么不符合条件的小正方形是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：有3个使之成为轴对称图形分别为：②，③，④．
故选：A．
2．（3分）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（ ）
A．∠B＝∠CB．BE＝CDC．BD＝CED．AD＝AE
【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB＝AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A为公共角，
A、如添加∠B＝∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；
B、如添BE＝CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件；
C、如添BD＝CE，等量关系可得AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
D、如添AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD．
故选：B．
3．（3分）若等腰三角形中有一个角为50度，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）
A．50°B．80°C．65°或50°D．50°或80°
【分析】因为题中没有指明该角是顶角还是底角，所以要分两种情况进行分析．
【解答】解：①50°是底角，则顶角为：180°﹣50°×2＝80°；
②50°为顶角；所以顶角的度数为50°或80°．
故选：D．
4．（3分）如图，由9个完全相同的小正方形拼接而成的3×3网格，图形ABCD中各个顶点均为格点，设∠ABC＝α，∠BCD＝β，∠BAD＝γ，则α﹣β﹣γ的值为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【分析】根据全等三角形的判定与性质可得∠ECB＝∠GBA，从而可得∠ABC＝90°＝α，再根据三角形外角的性质可得β+γ＝45°，即可求解．
【解答】
解：如图，BE＝AG，∠BEC＝∠AGB＝90°，EC＝GB，
∴△BEC≌△AGB（SAS），
∴∠ECB＝∠GBA，
∵∠ECB+∠EBC＝90°，
∴∠GBA+∠EBC＝90°，
∴∠ABC＝90°＝α，
∵∠β+∠CBD＝90°，∠CBD+∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝β，
∵∠ADF＝∠ABD+∠BAD＝45°，
∴β+γ＝45°，
∴α﹣β﹣γ＝90°﹣45°＝45°，
故选：B．
5．（3分）如图，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OD⊥BC于点D，OD＝2，△ABC的周长为28，则△ABC的面积为（ ）
A．28B．14C．21D．7
【分析】连接OA，作OE⊥AB于点E，作OF⊥AC于点F，由角平分线的性质得OD＝OE＝OF，进而计算△OAB、△OAC、△OBC的面积和便可得结果．
【解答】解：连接OA，作OE⊥AB于点E，作OF⊥AC于点F，
∵BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝2，
∴OD＝OE＝OF＝2，
∴S△ABC＝S△OAB+S△OAC+S△OBC
12AB•OE+12AC•OF+12BBC•OD
=12（AB+AC+BC）•OD
=12×28×2＝28，
故选：A．
6．（3分）如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（ ）
①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】过点P作PD⊥AC于D，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明Rt△PAM≌Rt△PAD，根据全等三角形的性质得出∠APM＝∠APD，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④．
【解答】解：①过点P作PD⊥AC于D，
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，
∴PM＝PN，PM＝PD，
∴PN＝PD，
∵PN⊥BF，PD⊥AC，
∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
PM=PDPA=PA，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴∠APM＝∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴∠CPD＝∠CPN，
∴∠MPN＝2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确；
③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，
∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM=12∠ABC+∠APB，
∴∠ACB＝2∠APB，③正确；
④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）
∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，
∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正确，
故选：D．
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
7．（3分）“线段、角、三角形、圆”这四个图形中，一定是轴对称图形的有 3 个．
【分析】根据轴对称图形的概念分析判断即可得解．
【解答】解：线段是轴对称图形，对称轴是线段的垂直平分线和线段本身所在的直线，
角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线，
三角形不一定是轴对称图形，
圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的直线．
综上所述，是轴对称图形的有3个．
故答案为：3．
8．（3分）请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A'O'B'等于已知角∠AOB的示意图．请你根据所学的三角形全等的有关知识，说明画出∠A'O'B'＝∠AOB的依据是 SSS ．
【分析】由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，依据SSS定理得到△COD≌△C'O'D'，由全等三角形的对应角相等得到∠A′O′B′＝∠AOB．
【解答】解：由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，
在△COD与△C′O′D′中，
OD=O'D'OC=O'C'CD=C'D'，
∴△COD≌△C'O'D'（SSS），
∴∠A'O'B'＝∠AOB（全等三角形的对应角相等）．
故答案为：SSS．
9．（3分）如图，△ABC≌△ADE，延长BC，分别交AD，ED于点F，G，若∠EAB＝120°，∠B＝30°，∠CAD＝10°，则∠CFD＝ 95° ．
【分析】利用全等三角形的性质求出∠CAB＝∠EAD＝55°，再利用三角形的外角的性质求解．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠CAB＝∠EAD，
∵∠EAB＝120°，∠DAC＝10°，
∴∠CAB＝∠EAD=12（120°﹣10°）＝55°，
∴∠FAB＝∠CAD+∠CAB＝10°+55°＝65°，
∴∠CFD＝∠FAB+∠B＝65°+30°＝95°．
故答案为：95°．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，MN过点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．若BM＝3cm，CN＝2cm，则MN＝ 5 cm．
【分析】根据平行线性质和角平分线的性质先证出∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO，从而得出OM＝BM，ON＝CN，再根据MN＝MO+ON，即可求出MN的值．
【解答】解：∵MN∥BC，
∴∠OBC＝∠MOB，∠OCB＝∠NOC，
∵OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACB的角平分线，
∴∠MBO＝∠OBC，∠NCO＝∠OCB，
∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO，
∴OM＝BM，ON＝CN，
∵BM＝3cm，CN＝2cm，
∴OM＝3cm，ON＝2cm，
∴MN＝MO+ON＝3+2＝5cm；
故答案为：5．
11．（3分）如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形．则方格图中满足条件的点C的个数有 6 个．
【分析】分两种种情况，CA＝CB，BA＝BC．
【解答】解：如图所示：
分两种种情况：
当C在C1，C2，C3，C4位置上时，AC＝BC；
当C在C5，C6位置上时，AB＝BC；
即满足点C的个数是6，
故答案为：6．
12．（3分）如图，在Rt△BAC和Rt△BDC中，∠BAC＝∠BDC＝90°，O是BC的中点，连接AO、DO．若AO＝3，则DO的长为 3 ．
【分析】利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题．
【解答】解：在Rt△BAC和Rt△BDC中，∵∠BAC＝∠BDC＝90°，O是BC的中点，
∴AO=12BC，DO=12BC，
∴DO＝AO，
∵AO＝3，
∴DO＝3，
故答案为3．
13．（3分）如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC＝6，则AE+AF＝ 9 ．
【分析】根据等边三角形的性质可得AB＝AC＝BC＝6，∠B＝∠C＝60°，再根据垂直定义可得∠DEB＝∠DFC＝90°，从而可得∠EDB＝30°，∠FDC＝30°，然后利用含30度角的直角三角形的性质可得BE=12BD，CF=12CD，从而可得BE+CF=12BC＝6，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝6，∠B＝∠C＝60°，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
∴∠EDB＝90°﹣∠B＝30°，∠FDC＝90°﹣∠C＝30°，
∴BE=12BD，CF=12CD，
∴BE+CF=12BD+12CD=12BC＝3，
∴AE+AF＝AB+AC﹣（BE+CF）＝9，
故答案为：9．
14．（3分）如图，在△ABC中，AD为BC边的中线，E为AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，若∠AEF＝∠FAE，BE＝4，EF＝1.6，则CF的长为 2.4 ．
【分析】延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，可证明△BDG≌△CDA（SAS），则BG＝AC，∠CAD＝∠G，根据AF＝EF，得∠CAD＝∠AEF，可证出∠G＝∠BEG，即得出AC＝BE＝4，然后利用线段的和差即可解决问题．
【解答】解：如图，延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，
在△BDG和△CDA中，
BD=CD∠BDG=∠CDADG=DA，
∴△BDG≌△CDA（SAS），
∴BG＝AC，∠CAD＝∠G，
∵∠AEF＝∠FAE，
∴∠CAD＝∠AEF，
∵∠BEG＝∠AEF，
∴∠CAD＝∠BEG，
∴∠G＝∠BEG，
∴BG＝BE＝4，
∴AC＝BE＝4，
∵∠AEF＝∠FAE，
∴AF＝EF＝1.6，
∴CF＝AC﹣AF＝4﹣1.6＝2.4．
故答案为：2.4．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝56°，∠C＝46°，D是线段AC上一个动点，连接BD，把△BCD沿BD折叠，点C落在同一平面内的点C'处，当C'D平行于△ABC的边时，∠CDB的大小为 118°或67° ．
【分析】分三种情况讨论，一是C′D∥AB，则∠ADC′＝∠A＝56°，所以∠CDC′＝124°，得∠CDB＝118°；二是C′D∥BC，则∠ADC'＝∠C＝46°，得∠CDB＝67°；三是由于点D在AC上，所以不存在C′D与AC平行的情况，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵把△BCD沿BD折叠，点C落在点C′处，
∴∠CDB＝∠C′DB，
当C′D∥AB时，如图1，则∠ADC′＝∠A＝56°，
∴∠CDC′＝180°﹣∠ADC′＝124°，
∴∠CDB=12×（360°﹣124°）＝118°；
当C′D∥BC时，如图2，则∠ADC'＝∠C＝46°，
∴∠CDB=12×（180°﹣46°）＝67°；
∵点D在AC上，
∴不存在C′D与AC平行的情况，
综上所述，∠CDB＝118°或∠CDB＝67°，
故答案为：118°或67°．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点C在直线l上．点P从点A出发，在三角形边上沿A→C→B的路径向终点B运动；点Q从B点出发，在三角形边上沿B→C→A的路径向终点A运动．点P和Q分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于点E，QF⊥l于点F，则点P的运动时间等于 2或143或12 秒时，△PEC与△CFQ全等．
【分析】分四种情况，点P在AC上，点Q在BC上；点P、Q都在AC上；点P到BC上，点Q在AC上；点Q到A点，点P在BC上．
【解答】解：∵△PEC与△CFQ全等，
∴斜边PC＝斜边CQ，
分四种情况：
当点P在AC上，点Q在BC上，如图：
∵CP＝CQ，
∴6﹣t＝8﹣2t，
∴t＝2，
当点P、Q都在AC上时，此时P、Q重合，如图：
∵CP＝CQ，
∴6﹣t＝2t﹣8，
∴t=143，
当点P到BC上，点Q在AC上时，如图：
∵CP＝CQ，
∴t﹣6＝2t﹣8，
∴t＝2，不符合题意，
当点Q到A点，点P在BC上时，如图：
∵CQ＝CP，
∴6＝t﹣6，
∴t＝12，
综上所述：点P的运动时间等于2或143或12秒时，△PEC与△CFQ全等，
故答案为：2或143或12．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）如图所示，E为AB延长线上的一点，AC⊥BC，AD⊥BD，AC＝AD
求证：∠CEA＝∠DEA．
【分析】首先利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，得出∠CAB＝∠DAB，进一步利用“SAS”证得△ACE≌△ADE，证得∠CEA＝∠DEA．
【解答】证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
在Rt△ABC和Rt△ABD中，
AC=ADAB=AB
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），
∴∠CAB＝∠DAB，
在△ACE和△ADE中，
AC=AD∠CAE=∠DAEAE=AE
∴△ACE≌△ADE（ASA），
∴∠CEA＝∠DEA．
18．（6分）已知，如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC，BD的中点．
求证：①BM＝DM；②MN⊥BD．
【分析】（1）连接BM、DM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM＝DM=12AC；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质证明即可．
【解答】（1）证明：如图，连接BM、DM，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，
∴BM＝DM=12AC，
∴BM＝DM；
（2）∵点N是BD的中点，BM＝DM，
∴MN⊥BD．
19．（8分）作图：
（1）如图1，△ABC在边长为1的正方形网格中：
①画出△ABC关于直线l轴对称的△DEF（其中D、E、F是A、B、C的对应点）；
②直接写出△DEF的面积＝ 9.5 ．
（2）如图，画一个等腰△ABC，使得底边BC＝a，它的高AD＝h（保留作图痕迹，不写作法）．
【分析】（1）①分别作出点A，B，C关于直线l的对称点，再顺次连接即可得；
②利用割补法求解可得；
（2）先画BC＝a，进而作出BC的垂直平分线DM，交BC于D，以D为圆心，h为半径画弧，交DM于点A，连接AB，AC即可．
【解答】解：（1）①如图1所示，△DEF即为所求；
；
②△DEF的面积为4×5﹣0.5×1×5﹣0.5×1×4﹣0.5×3×4＝9.5，
故答案为：9.5；
（2）如图2所示．△ABC就是所求的三角形．
．
20．（8分）如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，连接AE，AG．
（1）若△AEG的周长为10，求线段BC的长；
（2）若∠BAC＝104°，求∠EAG的度数．
【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，GA＝GC，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据三角形内角和定理得到∠B+∠C＝76°，根据等腰三角形的性质求出∠EAB+∠GAC，结合图形计算即可．
【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB，GF垂直平分AC，
∴EA＝EB，GA＝GC，
∵△AEG的周长为10，
∴AE+EG+AG＝10，
∴BC＝BE+EG+GC＝AE+EG+GC＝10；
（2）∵∠BAC＝104°，
∴∠B+∠C＝180°﹣104°＝76°，
∵EA＝EB，GA＝GC，
∴∠EAB＝∠B，∠GAC＝∠C，
∴∠EAB+∠GAC＝∠B+∠C＝76°，
∴∠EAG＝∠BAC﹣（∠EAB+∠GAC）＝104°﹣76°＝28°．
21．（10分）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．
（1）求证：DE平分∠ADC；
（2）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．
【分析】（1）过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，先通过计算得出∠FAE＝∠CAD＝40，根据角平分线的性质得EF＝EG，EF＝EH，进而得EG＝EH，据此根据角平分线的性质可得出结论；
（2）设EG＝x，由（1）得：EF＝EH＝EG＝x，根据S△ACD＝15，AD＝4，CD＝8可求出x＝2.5，故得EF＝2.5，然后S△ABE＝1/2AB•EF可得出答案．
【解答】（1）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，如图：

∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，
∴∠FAE＝90°﹣50°＝40°，
∵∠BAD＝100°，
∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°，
∴∠FAE＝∠CAD＝40，
即CA为∠DAF的平分线，
又EF⊥AB，EG⊥AD，
∴EF＝EG，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴EF＝EH，
∴EG＝EH，
∴点E在∠ADC的平分线上，
∴DE平分∠ADC；
（2）解：设EG＝x，
由（1）得：EF＝EH＝EG＝x，
∵S△ACD＝15，AD＝4，CD＝8，
∴12AD•EG+12CD•EH＝15，
即：4x+8x＝30，
解得：x＝2.5，
∴EF＝x＝2.5，
∴S△ABE=12AB•EF=12×7×2.5=354．
22．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，EC⊥AC，垂足为C，AE交线段BC于F，D是AC边上一点，连接BD，且BD＝AE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）BD与AE有怎样的位置关系？证明你的结论；
（3）当∠CFE＝∠ADB时，求证：BD平分∠ABC．
【分析】（1）根据HL证明Rt△CAE与Rt△ABD全等，进而解答即可；
（2）根据全等三角形的性质和角之间的关系解答即可；
（3）证出FB＝AB，由等腰三角形的性质可得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°，EC⊥AC，
∴∠ACE＝∠BAD＝90°，
在Rt△ACE和Rt△BAD中，
AE=BDCA=AB，
∴Rt△ACE≌Rt△BAD（HL），
∴CE＝AD；
（2）解：BD⊥AE，
证明：∵△ACE≌△BAD，
∴∠CAE＝∠ABD，
∴∠AOD＝∠BAE+∠ABD＝∠BAE+∠CAE＝∠BAC＝90°，
∴AE⊥BD．
（3）证明：∵∠ADB+∠DAE＝∠DAE+∠BAE＝90°，
∴∠ADB＝∠BAE，
∵∠CFE＝∠ADB，∠CFE＝∠AFB，
∴∠AFB＝∠BAE．
∴FB＝AB，
∵BD⊥AE，
∴∠ABD＝∠FBD，
即BD平分∠ABC．
23．（12分）（1）如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：DE＝BD+CE．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：△DEF是等边三角形．
【分析】（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根据等角的余角相等得∠CAE＝∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA，则AE＝BD，AD＝CE，于是DE＝AE+AD＝BD+CE；
（2）由∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，就可以求出∠BAD＝∠ACE，进而由AAS就可以得出△BAD≌△ACE，就可以得出BD＝AE，DA＝CE，即可得出结论；
（3）由等边三角形的性质，可以求出∠BAC＝120°，就可以得出△BAD≌△ACE，就有BD＝AE，进而得出△BDF≌△AEF，得出DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，而得出∠DFE＝60°，即可推出△DEF为等边三角形．
【解答】（1）证明：如图1，∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
∠BDA=∠CEA∠CAE=∠ABDAB=AC，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（2）解：结论DE＝BD+CE成立．
理由：如图2，∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，
∴∠DBA＝∠CAE，
在△ADB和△CEA中，
∠BDA=∠CEA∠CAE=∠ABDAB=AC，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（3）证明：如图3，由（2）可知，△ADB≌△CEA，
∴BD＝AE，∠DBA＝∠CAE，
∵△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴∠ABF＝∠CAF＝60°，BF＝AF，
∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，
∴∠DBF＝∠FAE，
在△DBF和△EAF中，
BD=AE∠DBF=∠FAEBF=AF，
∴△DBF≌△EAF（SAS），
∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，
∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，
∴△DEF为等边三角形．
24．（12分）定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1，BE是△ABD的“双等腰线”，AD、BE是△ABC的“三等腰线”．
（1）请在图2三个图中，分别画出△ABC的“双等腰线”，并做必要的标注或说明．
（2）如果一个等腰三角形有“双等腰线”，那么它的底角度数是 72°或36°或45°或（5407）° ．
（3）如图3，△ABC中，∠C=32∠B，∠B＜45°．画出△ABC所有可能的“三等腰线”，使得对∠B取值范围内的任意值都成立，并做必要的标注或说明．（每种可能用一个图单独表示，如果图不够用可以自己补充）
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可；
（2）设底角度数为x，分三种情况利用等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可；
（3）根据两种情况、利用等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可．
【解答】解：（1）如图2，取AB的中点D，则AD＝CD＝BD，
∴△ADC和△BCD是等腰三角形；
如图3，取CD＝BC，则∠CDB＝∠B＝70°，
∵∠A＝35°，
∴∠ACD＝70°﹣35°＝35°，
∴∠ACD＝∠A，
∴AD＝CD＝BC，
∴△ADC和△BCD是等腰三角形；
如图4，作AB的垂直平分线DE，交AC于D，交AB于E，连接BD，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝27°，
∴∠CDB＝54°，
∵∠ABC＝81°，
∴∠CBD＝81°﹣27°＝54°＝∠BDC，
∴CD＝BC，
∴△ADB和△BCD是等腰三角形；
（2）①设△ABC是以AB、AC为腰的锐角三角形，BD为“双等腰线”，如图5，
当AD＝BD，BD＝BC时，
设∠A＝x°，则∠ABD＝x°，
∴∠BDC＝∠C＝2x°，
∴∠ABC＝∠C＝2x°，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴x°+2x°+2x°＝180°，
∴x＝36°，2x＝72°，
∴∠C＝72°，
②设△ABC是以AB、AC为腰的钝角三角形，AD为“双等腰线”，如图6，
当AB＝BD，AD＝CD时，
设∠B＝y°，则∠C＝y°，
∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠C＝y°，
∴∠ADB＝2y°，
∵AB＝BD，
∴∠BAD＝∠ADB＝2y°，
∵∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，
∴y°+2y°+2y°＝180°，
∴y＝36°，
∴∠B＝∠C＝36°，
③设△ABC是以AB、AC为腰的直角三角形，AD为“双等腰线”，如图7，
当AB＝BD，AD＝CD时，AD为BC的垂直平分线，
设∠B＝z°，则∠C＝z°，∠BAD＝z°，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∴z°+z°＝90°，
∴z＝45°，
∴∠B＝∠C＝45°，
④设顶角为x，
可得，x+3x+3x＝180°
解得：x＝（1807）°，
∴∠C＝3x＝（5407）°，
故答案为：72°或36°或45°或（5407）°；
（3）∵要画出使得对∠B取值范围内的任意值都成立的“三等腰线”，
∴不能使∠B等于具体的数值，
∴值需要使分割后的三个等腰三角形的底角成比例即可，
第一种画法：如图8，
∵∠C=32∠B，
设∠B＝2x°，∠C＝3x°，
当AD、DE将△ABC分成BD＝DE，DE＝AE，AD＝AC的三个等腰三角形时，
则有∠BED＝∠B＝2x°，∠ADC＝∠C＝3x°，
∵∠EDC＝∠B+∠BED＝4x°，
∴∠EDA＝∠EDC﹣∠ADC＝x°，
∴∠EAD＝x°，
∴“三等腰线”使得三个等腰三角形的底角比为∠B：∠C：∠EDA＝2：3：1，
即可使得对∠B取值范围内的任意值都成立，
第二种画法：
∵∠C=32∠B，
设∠B＝2x°，∠C＝3x°，
当AD、DE将△ABC分成BE＝DE，AD＝AE，AD＝CD的三个等腰三角形时，
则∠EDB＝∠B＝2x°，∠DAC＝∠C＝3x°，
∵∠AED＝∠B+∠BDE＝4x°，
∴∠EDA＝4x°，
因此，“三等腰线”使得三个等腰三角形的底角比为∠B：∠C：∠AED＝2：3：4，即可使得对∠B取值范围内的任意值都成立，
综上所述，如图所示的两种“三等腰线”可以使得对∠B取值范围内的任意值都成立．