2024-2025学年山东省高密市数学九年级第一学期开学监测模拟试题【含答案】

这是一份2024-2025学年山东省高密市数学九年级第一学期开学监测模拟试题【含答案】，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，直线y=ax+b过点A（0，2）和点B（﹣3，0），则方程ax+b=0的解是（ ）
A．x=2B．x=0C．x=﹣1D．x=﹣3
2、（4分）如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．不变B．扩大3倍C．缩小3倍D．无法确定
3、（4分）下列各组数中，不是直角三角形的三条边的长的是（ ）
A．3，4，5B．6，8，10C．5，12，13D．4，5，6
4、（4分）欧几里得是古希腊数学家，所著的《几何原本》闻名于世．在《几何原本》中，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：如图，以和b为直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取BD＝，则图中哪条线段的长是方程x2+ax＝b2的解？答：是（ ）
A．ACB．ADC．ABD．BC
5、（4分）把二次函数y=3x2的图象向左平移2个单位,再向上平移1个单位,所得到的图象对应的二次函数关系式是（ ）
A．y=3（x-2）2+1 B．y=3（x+2）2-1 C．y=3（x-2）2-1 D．y=3（x+2）2+1
6、（4分）平行四边形的一个内角为50°，它的相邻的一个内角等于( )
A．40°B．50°C．130°D．150°
7、（4分）图中两直线L1，L2的交点坐标可以看作方程组( )的解．
A．B．C．D．
8、（4分）下列各曲线中，不表示y是x的函数的是
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数，当所挂物体的质量分别为和时，弹簧长度分别为和，当所挂物体的质量为时弹簧长________厘米？
10、（4分）若a，b是直角三角形的两个直角边，且，则斜边c=______．
11、（4分）等边三角形的边长是4，则高AD_________ （结果精确到0.1）
12、（4分） 分解因式：9a﹣a3＝_____．
13、（4分） “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为________.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，△ABC全等于△DEF，点B，E，C，F在同一直线，连接AD，求证：四边形ABED是平行四边形．
15、（8分）如图所示，□ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，AE＝CF，M、N分别是DE、BF的中点．求证：四边形ENFM是平行四边形．
16、（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB：y＝x＋4交x轴于点A，交y轴于点B．直线CD：y＝－x－1与直线AB相交于点M，交x轴于点C，交y轴于点D．
(1)直接写出点B和点D的坐标．
(2)若点P是射线MD的一个动点，设点P的横坐标是x，△PBM的面积是S，求S与x之间的函数关系，并指出x的取值范围．
(3)当S＝10时，平面直角坐标系内是否存在点E，使以点B，E，P，M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，共有几个这样的点？请求出其中一个点的坐标（写出求解过程）；若不存在，请说明理由．
17、（10分）如图1，菱形纸片，对其进行如下操作：
把翻折，使得点与点重，折痕为；把翻折，使得点与点重合，折痕为 (如图2)，连结．设两条折痕的延长线交于点．
(1)请在图2中将图形补充完整，并求的度数；
(2)四边形是菱形吗？说明理由．
18、（10分）计算与化简：
（1）－；
（2）(3+)2
（3）+；
（4）÷（x－）
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，将八个边长为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中，若过原点的直线将图形分成面积相等的两部分，则直线的函数关系式为______________.
20、（4分）函数中，自变量x的取值范围是_____．
21、（4分） 如图，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1＝5，S2＝6，则AB的长为_____．
22、（4分）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为_____．
23、（4分）如图,点P是等边三角形ABC内一点,且PA=3,PB=4, PC=5,若将△APB绕着点B逆时针旋转后得到△CQB,则∠APB的度数______．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）某校260名学生参加植树活动，要求每人植4～7棵，活动结束后随机抽查了20名学生每人的植树量，并分为四种类型，A：4棵；B：5棵；C：6棵；D：7棵．将各类的人数绘制成扇形图（如图1）和条形图（如图2），经确认扇形图是正确的，而条形图尚有一处错误．
回答下列问题：
（1）写出条形图中存在的错误，并说明理由；
（2）写出这20名学生每人植树量的众数、中位数；
（3）在求这20名学生每人植树量的平均数时，小宇是这样分析的：
① 小宇的分析是从哪一步开始出现错误的？
② 请你帮他计算出正确的平均数，并估计这260名学生共植树多少棵．
25、（10分）如图，反比例函数y1＝与一次函数y2＝mx+n相交于A（﹣1，2），B（4，a）两点，AE⊥y轴于点E，则：
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）若y1≤y2则直接写出x的取值范围；
（3）若M为反比例函数上第四象限内的一个动点，若满足S△ABM＝S△AOB，则求点M的坐标．
26、（12分）2019年5月区教育局在全区中小学开展了“情系新疆书香援疆”捐书活动．某学校学生社团对部分学生所捐图书进行统计，根据收集的数据绘制了下面不完整的统计图表．请你根据统计图表中所提供的信息解答下列问题：
（1）统计表中的_____________，_____________，_____________，_____________；
（2）科普图书在扇形统计图中的圆心角是_____________°；
（3）若该校共捐书1500本，请估算“科普图书”和“小说”一共多少本．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
∵方程ax+b=0的解是直线y=ax+b与x轴的交点横坐标，
∴方程ax+b=0的解是x=-3.
故选D.
2、A
【解析】
根据题意得出算式，再进行化简，即可得出选项．
【详解】
解：把分式中的x和y都扩大3倍为 =，即分式的值不变，
故选：A．
本题考查分式的基本性质，能熟记分式的基本性质的内容是解此题的关键．
3、D
【解析】
根据勾股定理即可判断.
【详解】
A.∵ 32+42=52，故为直角三角形；
B. 62+82=102，故为直角三角形；
C. 52+122=132，故为直角三角形；
D. 42+52≠62，故不是直角三角形；
故选D.
此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的性质.
4、B
【解析】
解一元二次方程，由求根公式求得， 已知AC、BC，由勾股定理求得AB，则AD等于AB和BD之差，比较AD的长度和x的解即可知结论.
【详解】
x2+ax＝b2 ,
即x2+ax-b2=0 ,
∴
∵∠ACB=90°，
∴AB=，
则
故答案为：B.
本题主要考查一元二次方程的根，与勾股定理，解题关键在于能够求出AB的长度.
5、D
【解析】
试题分析：二次函数的平移规律：上加下减，左加右减.
把二次函数的图象向左平移2个单位，得到
再向上平移1个单位，得到
故选D.
考点：二次函数的性质
点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握二次函数的平移规律，即可完成.
6、C
【解析】
利用平行四边形的邻角互补进而得出答案．
【详解】
解：∵平行四边形的一个内角为50°，邻角互补，
∴它的相邻的一个内角等于180°-50°=130°．
故选：C．
此题主要考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的邻角互补关系是解题关键．
7、B
【解析】
分析：
根据图中信息分别求出直线l1和l2的解析式即可作出判断.
详解：
设直线l1和l2的解析式分别为，根据图中信息可得：
， ，
解得： ，，
∴l1和l2的解析式分别为，即，，
∴直线l1和l2的交点坐标可以看作方程 的交点坐标.
故选B.
点睛：根据图象中的信息由待定系数法求得直线l1和l2的解析式是解答本题的关键.
8、C
【解析】
设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．根据函数的意义即可求出答案．
【详解】
显然A、B、D选项中，对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，y是x的函数；
C选项对于x取值时，y都有2个值与之相对应，则y不是x的函数；
故选：C．
本题主要考查了函数的定义，在定义中特别要注意，对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
设y与x的函数关系式为y=kx+b，由待定系数法求出其解即可；把x=4时代入解析式求出y的值即可．
【详解】
设y与x的函数关系式为y=kx+b，由题意，得：
，
解得： ．
故y与x之间的关系式为：y= x+14.1；
当x=4时，
y=0.1×4+14.1=16.1．
故答案为：16.1
此题考查根据实际问题列一次函数关系式，解题关键在于列出方程
10、5
【解析】
根据绝对值的性质和二次根式的性质，求出a,b的值，再利用勾股定理即可解答.
【详解】
∵
∴a-3=0,b-4=0
解得a=3,b=4,
∵a，b是直角三角形的两个直角边，
∴c= =5.
故答案为：5.
此题考查绝对值的性质和二次根式的性质，勾股定理，解题关键在于求出ab的值.
11、3.1
【解析】
根据等边三角形的性质及勾股定理进行计算即可．
【详解】
如图，三角形ABC为等边三角形，AD⊥BC，AB=4，
∵三角形ABC为等边三角形，AD⊥BC，
∴BD=CD=2，
在中，．
故答案为：3.1．
本题考查等边三角形的性质和勾股定理，掌握“三线合一”的性质及勾股定理是解题关键．
12、a（3+a）（3﹣a）．
【解析】
先提公因式，再用平方差公式，可得答案．
【详解】
原式=a（9﹣a2）=a（3+a）（3﹣a）．
故答案为：a（3+a）（3﹣a）．
本题考查了因式分解，利用提公因式与平方差公式是解题的关键．
13、1
【解析】
观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，利用已知，设大正方形的边长为c，大正方形的面积为13，即：，再利用勾股定理得可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．
【详解】
解：如图所示：∵，∴，
∵，，∴，
∴小正方体的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积
=，故答案为：1.
此题主要考查了勾股定理的应用，熟练应用勾股定理是解题关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、见解析
【解析】
根据全等三角形的性质得到AB∥DE且AB＝DE，即可证明四边形ABED是平行四边形．
【详解】
∵△ABC≌△DEF
∴∠B＝∠DEF，AB＝DE
∴AB∥DE．
∴AB＝DE，AB∥DE
∴四边形ABED是平行四边形．
此题主要考查平行四边形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的性质及平行四边形的判定定理．
15、见解析
【解析】
整体分析：
用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形DEBF是平行四边形，结合条件得到EM=FN即可求证.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD.
∵AE＝CF，
∴FD＝EB，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE//FB，DE＝FB.
∵M、N分别是DE、BF的中点，
∴EM＝FN.
∵DE//FB，
∴四边形MENF是平行四边形.
16、（1）B（0，4），D（0，－1）；（2）（）；（3）存在，共有3个，E点为（4，）、（－6，－4）和
【解析】
（1）利用y轴上的点的坐标特征即可得出结论．
（2）先求出点M的坐标，再用三角形的面积之和即可得出结论．
（3）分三种情况，根据题意只写出其中一个求解过程即可，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形和线段的中点坐标的确定方法即可得出结论．
【详解】
（1）将x=0代入y＝x＋4，y＝＋4
解得
将y=0代入y＝－x－1，y＝－－1
解得
∴B（0，4），D（0，－1）
（2）在解方程组
得M点的坐标是，
∵BD＝5，
当P点在轴左侧时，如图（1）：；
当P点在轴右侧时，如图（2）：．
总之，所求的函数关系式是（）
（3）存在，共有3个．
当S＝10时，求得P点为（－1，），若平行四边形以MB、MP为邻边，如图，BE∥MD，PE∥MB，可设直线BE的解析式为，将B点坐标代入得，所以BE的解析式为；同样可求得PE的解析式为，解方程组
得E点为（4，）
[{备注：同理可证另外两个点，另两个点的坐标为（－6，－4）和}
本题考查了一次函数的几何问题，掌握一次函数的性质、三角形的面积公式、对角线互相平分的四边形是平行四边形、线段的中点坐标的确定方法是解题的关键．
17、（1）见解析，；（2）四边形是菱形，理由见解析
【解析】
（1）由菱形的性质可得AD=CD，∠A=∠C=45°，∠ADC=135°，由折叠的性质可得AE=DE=AD，GE⊥AD，∠A=∠GDA=45°，DF=FC=CD，HF⊥CD，∠C=∠CDH=45°，由四边形的内角和定理可求解；
（2）由题意可证GE∥DH，GD∥HF，可证四边形DGOH是平行四边形，由“ASA”可证△DEG≌△DFH，可得DG=DH，即可证四边形DGOH是菱形．
【详解】
解：（1）如图，延长EG，FH交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，∠A=45°，
∴AD=CD，∠A=∠C=45°，∠ADC=135°，
∵把△AEG翻折，使得点A与点D重合，折痕为EG；把△CFH翻折，使得点C与点D重合，折痕为FH，
∴AE=DE=AD，GE⊥AD，∠A=∠GDA=45°，DF=FC=CD，HF⊥CD，∠C=∠CDH=45°，
∵∠EOF+∠OED+∠OFD+∠ADC=360°，
∴∠EOF=360°-90°-90°-135°=45°；
（2）四边形是菱形．理由如下：
∵∠ADC=135°，∠ADG=∠CDH=45°，
∴∠GDC=∠ADH=90°，且GE⊥AD，HF⊥CD，
∴GE∥DH，GD∥HF，
∴四边形DGOH是平行四边形，
∵AE=DE=AD，DF=FC=CD，AD=CD，
∴DE=DF，且∠ADG=∠CDH=45°，∠DEG=∠DFH=90°，
∴△DEG≌△DFH（ASA）
∴DG=DH，
∴四边形DGOH是菱形．
本题考查了翻折变换，菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，以及全等三角形的判定和性质，灵活运用折叠的性质进行解题是本题的关键．
18、（1）；（2）19+6；（3）；（4）.
【解析】
（1）先把化简为最简二次根式，再按照实数的运算法则计算即可；（2）根据实数的运算法则，利用完全平方公式计算即可；（3）先通分，再按照同分母分式的加法法则计算即可；（4）先把括号内的式子通分计算，再按照分式的除法法则计算即可.
【详解】
（1）－
=2-
=.
（2）(3+)2
=32+6+()2
=9+6+10
=19+6.
（3）+
=+
=
=.
（4）÷（x－）
=÷
=
=.
本题考查实数的运算和分式的运算，熟练掌握运算法则是解题关键.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过点A作AB⊥OC于点C，易知OB=3，利用三角形的面积公式和已知条件求出A的坐标，再利用待定系数法可求出该直线l的解析式.
【详解】
设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过点A作AB⊥OC于点C
∴OB=3
∵经过原点的直线将图形分成面积相等的两部分
∴直线上方面积分是4
∴三角形ABO的面积是5
∴
∴
∴直线经过点
设直线l为
则

∴直线的函数关系式为
本题考查了一次函数，难点在于利用已知条件中的面积关系，熟练掌握一次函数相关知识点是解题关键.
20、x≠1
【解析】
根据分母不等于0，可以求出x的范围；
【详解】
解：（1）x-1≠0，解得：x≠1；
故答案是：x≠1，
考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
21、
【解析】
根据勾股定理得出S2+S1＝S3，求出S3，即可求出AB．
【详解】
解：∵由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
∴S2+S1＝S3，
∵S1＝5，S2＝6，
∴S3＝11，
∴AB＝，
故答案为：．
本题考查了勾股定理和正方形的性质，能求出S3的值是解此题的关键．
22、
【解析】
试题解析：设BE与AC交于点P，连接BD，
∵点B与D关于AC对称，
∴PD=PB，
∴PD+PE=PB+PE=BE最小．
即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度；
∵正方形ABCD的边长为1，
∴AB=1．
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=1．
故所求最小值为1．
考点：轴对称﹣最短路线问题；等边三角形的性质；正方形的性质．
23、150°
【解析】
首先证明△BPQ为等边三角形，得∠BQP=60°，由△ABP≌CBQ可得QC=PA，在△PQC中，已知三边，用勾股定理逆定理证出得出∠PQC=90°，可求∠BQC的度数，由此即可解决问题．
【详解】
解：连接PQ，
由题意可知△ABP≌△CBQ
则QB=PB=4，PA=QC=3，∠ABP=∠CBQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=60°，
∴∠PBQ=∠CBQ+∠PBC=60°，
∴△BPQ为等边三角形，
∴PQ=PB=BQ=4，
又∵PQ=4，PC=5，QC=3，
∴PQ2+QC2=PC2，
∴∠PQC=90°，
∵△BPQ为等边三角形，
∴∠BQP=60°，
∴∠BQC=∠BQP+∠PQC=150°
∴∠APB=∠BQC=150°
本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是勾股定理逆定理的应用，属于中考常考题型．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、解：（1）D错误
（2）众数为1，中位数为1．
（2）①小宇的分析是从第二步开始出现错误的．
②1278（颗）
【解析】
分析：（1）条形统计图中D的人数错误，应为20×10%．
（2）根据条形统计图及扇形统计图得出众数与中位数即可．
（2）①小宇的分析是从第二步开始出现错误的；
②求出正确的平均数，乘以260即可得到结果．
解：（1）D错误，理由为：
∵共随机抽查了20名学生每人的植树量，由扇形图知D占10%，
∴D的人数为20×10%=2≠2．
（2）众数为1，中位数为1．
（2）①小宇的分析是从第二步开始出现错误的．
②（棵）．
估计260名学生共植树1.2×260=1278（颗）
25、（1） ，；（2）x≤﹣1或0＜x≤1；（3）点M的坐标（2，﹣1）或（3+，）．
【解析】
（1）先将点A代入反比例函数解析式中即可求出反比例函数的解析式，然后根据反比例函数的解析式求出点B的坐标，再利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）根据图象及两个函数的交点即可得出x的取值范围；
（3）先求出一次函数与y轴的交点坐标，然后利用S△ABM＝S△AOB和平移的相关知识分两种情况：向上平移或向下平移两种情况，分别求出平移后的直线与反比例函数在第四象限的交点即可．
【详解】
（1）把A（﹣1，2）代入反比例函数得，k＝﹣2
∴反比例函数的关系式为，
把B（1，a）代入得， ，
∴B（1，）
把A（﹣1，2），B（1，）代入一次函数得，
解得
∴一次函数的关系式为：
（2）当时，反比例函数的图象在一次函数图象的下方，
结合图象可知，当，自变量x的取值范围为：x≤﹣1或0＜x≤1．
（3）当时，
∴与y轴的交点坐标为（0，），如图：
∵S△ABM＝S△AOB
∴根据平行线间的距离处处相等，可将一次函数进行平移个单位，则平移后的直线与反比例函数在第四象限的交点即为所求的M点．
将向下平移个单位过O点，关系式为：，
解得 ，
∵M在第四象限，
∴M（2，﹣1），
将向上平移个单位后直线的关系式为：，
解得 ，
∵M在第四象限，
∴，
综上所述，点M的坐标（2，﹣1）或，
本题主要考查反比例函数，一次函数与几何综合，掌握待定系数法及平移的相关知识和二元一次方程组的解法是解题的关键．
26、（1），，，；（2）；（3）
【解析】
(1)根据频率=频数÷总数分别求解可得；
(2)圆心角=频数×360°可得；
(3)用总人数乘以样本中科普图书和小说的频率之和可得；
【详解】
（1）先求出总数=500，a==0.35,b=500×0.3=150，c==0.22,d==0.13
所以，，，；
（2）360×0.3=
（3）（本）
本题考查了列表法求概率，频数分布直方图，扇形统计图，正确的识图是解题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分