2024-2025学年宁夏大附属中学九年级数学第一学期开学检测试题【含答案】

这是一份2024-2025学年宁夏大附属中学九年级数学第一学期开学检测试题【含答案】，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，过矩形的四个顶点作对角线、的平行线，分别相交于、、、四点，则四边形为（ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
2、（4分）在平面直角坐标系中，点（﹣2，﹣a2﹣3）一定在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3、（4分）下列各式计算正确的是
A．B．C．D．
4、（4分）某校八年级有452名学生，为了了解这452名学生的课外阅读情况，从中抽取50名学生进行统计．在这个问题中，样本是（ ）
A．452名学生B．抽取的50名学生
C．452名学生的课外阅读情况D．抽取的50名学生的课外阅读情况
5、（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（4，0），点N为线段AB的中点，则点N的坐标为（ ）
A．（1，2）B．（4，2）C．（2，4）D．（2，1）
6、（4分）如图，□ABCD中，AB=6，E是BC边的中点，F为CD边上一点，DF=4.8，∠DFA=2∠BAE，则AF 的长为（ ）
A．4.8B．6C．7.2D．10.8
7、（4分）已知一次函数. 若随的增大而增大，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8、（4分）学校测量了全校800名男生的身高，并进行了分组，已知身高在1.70~1.75（单位：m）这一组的频率为0.25，则该组共有男生（ ）
A．100名B．200名C．250名D．400名
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为_____．
10、（4分）直线y=2x－1沿y轴平移3个单位长度，平移后直线与x轴的交点坐标为 ．
11、（4分）一组数据x1，x2，…，xn的平均数是2，方差为1，则3x1，3x2，…，3xn，的方差是_____．
12、（4分）数据1，4，5，6，4，5，4的众数是___．
13、（4分）有意义，则实数a的取值范围是__________．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）先化简，再求值：，其中a＝+1．
15、（8分）如图，在□ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F，BE，CF相交于点G.
(1)求证：BE⊥CF；
(2)若AB=a，CF=b，求BE的长.
16、（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．
（1）求证：△BDE∽△BAC；
（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．
17、（10分）已知正比例函数y1＝mx的图象与反比例函数y1＝(m为常数，m≠0)的图象有一个交点的横坐标是1．
(1)求m的值；
(1)写出当y1＜y1时，自变量x的取值范围．
18、（10分）（1）－－；（2）
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，已知点A的坐标为（5，0），直线y=x+b（b≥0）与y轴交于点B，连接AB，∠α=75°，则b的值为_____．
20、（4分）不等式组的解集是，那么的取值范围是__________．
21、（4分）如图，若直线与交于点，则根据图象可得，二元一次方程组的解是_________.
22、（4分）函数中，自变量x的取值范围是 ▲ ．
23、（4分）函数y＝的自变量x的取值范围为_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）遂宁骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场，某车行经营的A型车去年2月份销售总额为3万元，今年经过改造升级后A型车每辆销售价比去年增加300元，若今年2月份与去年2月份卖出的A型车数量相同，则今年2月份A型车销售总额将比去年2月份销售总额增加20%．
（1）求今年2月份A型车每辆销售价多少元？
（2）该车行计划今年3月份新进一批A型车和B型车共40辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的2倍，A、B两种型号车的进货和销售价格如表，问应如何进货才能使这批车获利最多？
25、（10分）顶点都在格点上的多边形叫做格点多边形．以下的网格中，小正方形的边长为1．请按以下要求，画出一个格点多边形（要标注其它两个顶点字母）．

（1）在图甲中，画一个以为一边且面积为15的格点平行四边形；
（2）在图乙中，画一个以为一边的格点矩形．
26、（12分）如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）若M为EF的中点，OM=3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
由题意易得四边形EFGH是平行四边形，又因为矩形的对角线相等，可得EH=HG，所以平行四边形EFGH是菱形．
【详解】
∵HG∥EF∥AC，EH∥FG∥BD，HG=EF=AC，EH=FG=BD，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵矩形的对角线相等，
∴AC=BD，
∴EH=HG，
∴平行四边形EFGH是菱形．
故选C．
本题考查了矩形的性质及菱形的判定．注意掌握菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．熟练掌握矩形、菱形的性质是解题关键.
2、C
【解析】
根据直角坐标系的坐标特点即可判断.
【详解】
解：∵a2+3≥3＞0，
∴﹣a2﹣3＜0，
∴点（﹣2，﹣a2﹣3）一定在第三象限．
故选C．
此题主要考查直角坐标系点的特点，解题的关键是熟知各象限坐标特点.
3、B
【解析】
利用二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的除法法则对B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据算术平方根的定义对D进行判断．
【详解】
解：A、3与不能合并，所以A选项错误；
B、原式==4，所以B选项正确；
C、原式==，所以C选项错误；
D、原式=2，所以D选项错误．
故选B．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
4、D
【解析】
根据样本是总体中所抽取的一部分个体，可得答案．
【详解】
解：为了了解这452名学生的课外阅读情况，从中抽取50名学生进行统计，在这个问题中，样本是从中抽取的50名学生的课外阅读情况．
故选：D．
本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
5、D
【解析】
根据三角形的中位线的性质和点的坐标，解答即可．
【详解】
过N作NE⊥y轴，NF⊥x轴，
∴NE∥x轴，NF∥y轴，
∵点A(0，2)，B(4，0)，点N为线段AB的中点，
∴NE=2，NF=1，
∴点N的坐标为(2，1)，
故选：D．
本题主要考查坐标与图形的性质，掌握三角形的中位线的性质和点的坐标的定义，是解题的关键．
6、C
【解析】
在AF上截取AG=AB，连接EG，CG．利用全等三角形的判定定理SAS证得△AEG≌△AEB，由全等三角形的对应角相等、对应边相等知EG=BE，∠B=∠AGE；然后由中点E的性质平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质求得CF=FG；最后根据线段间的和差关系证得结论．
【详解】
在AF上截取AG=AB，连接EG，CG．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，CD=AB=6，
∴∠DFA=∠BAF，
∵∠DFA=1∠BAE，
∴∠FAE=∠BAE，
在△BAE和△GAE中，
，
∴△BAE≌△GAE（SAS）．
∴EG=BE，∠B=∠AGE；
又∵E为BC中点，
∴CE=BE．
∴EG=EC，
∴∠EGC=∠ECG；
∵AB∥CD，
∴∠B+∠BCD=180°．
又∵∠AGE+∠EGF=180°，∠AGE=∠B，
∴∠BCF=∠EGF；
又∵∠EGC=∠ECG，
∴∠FGC=∠FCG，
∴FG=FC；
∵DF=4.8，
∴CF=CD-DF=6-4.8=1.1，
又∵AG=AB，
∴AF=AG+GF=AB+FC=CD+FC=6+1.1=7.1．
故选C．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质．利用平行四边形的性质，可以证角相等、线段相等．其关键是根据所要证明的全等三角形，选择需要的边、角相等条件．
7、B
【解析】
∵随的增大而增大，
∴ ，
，故选B.
8、B
【解析】
根据频数=总数×频率，直接代值计算即可．
【详解】
解：根据题意，得
该组共有男生为：800×0.25=200（人）．
故选：B．
此题考查频率、频数的关系：频率=。能够灵活运用公式是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1.2
【解析】
根据勾股定理的逆定理可以证明∠BAC=90°；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则AM=EF，要求AM的最小值，即求EF的最小值；根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．
【详解】
∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
∴AB2+AC2=BC2，
即∠BAC=90°.
又PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF=AP.
∵M是EF的中点，
∴AM=EF=AP.
因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4，
∴AM的最小值是1.2.
本题考查了勾股定理, 矩形的性质，熟练的运用勾股定理和矩形的性质是解题的关键.
10、（-1，0），（2，0）
【解析】
（1）若将直线沿轴向上平移3个单位，则平移后所得直线的解析式为：，
在中，由可得：，解得：，
∴平移后的直线与轴的交点坐标为：；
（2）若将直线沿轴向下平移3个单位，则平移后所得直线的解析式为：，
在中，由可得：，解得：，
∴平移后的直线与轴的交点坐标为：；
综上所述，平移后的直线与轴的交点坐标为：或.
11、1
【解析】
根据x1，x2，x3，…xn的方差是1，可得出3x1，3x2，3x3，…，3xn的方差是1×32即可．
【详解】
∵数据：x1，x2，x3，…，xn的平均数是2，方差是1，
∴数据3x1，3x2，3x3，…，3xn的方差是1×1=1．
故答案为：1．
本题考查了方差，若在原来数据前乘以同一个数，方差要乘以这个数的平方，在数据上同加或减同一个数，方差不变．
12、1
【解析】
众数是出现次数最多的数，据此求解即可．
【详解】
解：数据1出现了3次，最多，
所以众数为1，
故答案为：1．
此题考查了众数的知识．众数是这组数据中出现次数最多的数．
13、
【解析】
根据二次根式被开方数为非负数解答即可．
【详解】
依题意有，解得，
即时，二次根式有意义，
故的取值范围是．
故答案为：．
本题考查了二次根式有意义的条件，解题关键是根据题意构造不等式进行解答．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、
【解析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【详解】
原式＝
=，
当a＝+1时，原式＝．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15、（1）见详解；（2）．
【解析】
（1）由平行四边形的性质和角平分线的性质，证明∠EBC+∠FCB=90°即可解决问题；
（2）如图，作EH∥AB交BC于点H，连接AH交BE于点P．构造特殊四边形菱形，利用菱形的性质，结合勾股定理即可解决问题；
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵BE，CF分别是∠ABC，∠BCD的平分线，
∴∠EBC=∠ABC，∠FCB=∠BCD，
∴∠EBC+∠FCB=90°，
∴∠BGC=90°．
即BE⊥CF．
（2）如图，作EH∥AB交BC于点H，连接AH交BE于点P．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴四边形ABHE是菱形，
∴AH，BE互相垂直平分；
∵BE⊥CF，
∴AH∥CF，
∴四边形AHCF是平行四边形，
∴AP=；
在Rt△ABP中，由勾股定理，得：
，
∴．
本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题．
16、（1）证明见试题解析；（2）．
【解析】
（1）由折叠的性质可知∠C=∠AED=90°，因为∠DEB=∠C，∠B=∠B证明三角形相似即可；
（2）由折叠的性质知CD=DE，AC=AE．在Rt△BDE中运用勾股定理求DE，进而得出AD即可．
【详解】
（1）∵∠C=90°，△ACD沿AD折叠，
∴∠C=∠AED=90°，
∴∠DEB=∠C=90°，
∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAC；
（2）由勾股定理得，AB=10，
由折叠的性质知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90°，
∴BE=AB﹣AE=10﹣6=4，
在Rt△BDE中，由勾股定理得，，
即，
解得：CD=3，
在Rt△ACD中，由勾股定理得，
即，
解得：AD=．
1．相似三角形的判定与性质；2．翻折变换（折叠问题）．
17、 (1)m＝1；(1)x＜﹣1或0＜x＜1．
【解析】
(1)把交点的横坐标代入函数解析式，列出一元一次方程，求解即可；
(1)根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可.
【详解】
解：(1)∵正比例函数y1＝mx的图象与反比例函数y1＝(m为常数，且m≠0)的图象有一个交点的横坐标是1，
∴y1＝1m，y1＝，
∵y1＝y1，
∴1m＝，
解得，m＝1；
(1)由(1)得：正比例函数为y1＝1x，反比例函数为y1＝；
解方程组得: 或
∴这两个函数图象的交点坐标为(1，4)和(﹣1，﹣4)，
当y1＜y1时，自变量x的取值范围为x＜﹣1或0＜x＜1．
本题考查的是反比例函数与一次函数交点问题，熟练掌握反比例函数与一次函数的性质是解题的关键.
18、（1）- （2）
【解析】
【分析】（1）把每一个二次根式都化成最简二次根式，然后再对同类二次根式进行合并即可得；
（2）根据二次根式乘除法的法则进行计算即可.
【详解】（1）原式=-=- ；
（2）原式== =.
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
设直线与x轴交于点C，由直线BC的解析式可得出 结合可得出，通过解含30度角的直角三角形即可得出b值．
【详解】
设直线与x轴交于点C，如图所示:
∵直线BC的解析式为y=x+b，
∴
∵
∴
当x=0时，y=x+b=b.
在Rt△ABO中, OB=b，OA=5，
∴AB=2b，
∴
∴
故答案为：
考查待定系数法求一次函数解析式, 三角形的外角性质, 含角的直角三角形的性质，勾股定理等，综合性比较强，根据直线解析式得到是解题的关键.
20、m≤4
【解析】
试题解析：
由①得：x>4.当x>m时的解集是x>4，根据同大取大，所以
故答案为
21、
【解析】
二元一次方程组的解就是组成二元一次方程组的两个方程的公共解，即直线L1与L2的交点P的坐标．
【详解】
解：根据题意知，
二元一次方程组的解就是直线l1与l2的交点P的坐标，
又∵P（2，1），
∴原方程组的解是：
故答案是：
本题考查了一次函数与二元一次方程组．二元一次方程组的解就是组成该方程组的两条直线的图象的交点．
22、．
【解析】
试题分析：由已知：x-2≠0，解得x≠2；
考点：自变量的取值范围．
23、x≠1．
【解析】
根据分式有意义的条件，即可快速作答。
【详解】
解：根据分式有意义的条件，得：x-1≠0，即x≠1；故答案为：x≠1。
本题考查了函数自变量的取值范围，但分式有意义的条件是解题的关键。
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）今年的销售价为1800元；（2）购进A型车14辆，B型车26辆，获利最多．
【解析】
（1）设去年2月份A型车每辆的售价为x元，则今年2月份A型车每辆的售价为（x+300）元，然后依据今年2月份与去年2月份卖出的A型车数量相同列方程求解即可；
（2）设购进A型车m辆，获得的总利润为w元，则购进B型车（40﹣m）辆，然后列出W与m的函数关系式，然后依据一次函数的性质求解即可．
【详解】
解：（1）设去年2月份A型车每辆的售价为x元，
则今年2月份A型车每辆的售价为（x+300）元，
根据题意得：，
解得：x＝1500，
经检验，x＝1500是原方程的解，
则今年的销售价为1500+300＝1800元．
（2）设购进A型车m辆，获得的总利润为w元，则购进B型车（40﹣m）辆，
根据题意得：
w＝（1800﹣900）m+（2000﹣1000）（40﹣m）＝﹣10m+1．
又∵40﹣m≤2m，
∴m≥13．
∵k＝﹣100＜0，
∴当m＝14时，w取最大值．
答：购进A型车14辆，B型车26辆，获利最多．
本题考查了一次函数的应用、分式方程的应用，依据题意列出分式方程、得到W与m的函数关系式是解题的关键．
25、（1）见解析；（2）见解析．
【解析】
（1）利用平行四边形及网格的特点即可解决问题；
（2）根据网格的特点构造直角即可求解．
【详解】
如图：（1）四边形ABCD为所求；
（2）四边形ABEF为所求．
本题考查网格−应用与设计，勾股定理，平行四边形的判定和性质，矩形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
26、（1）证明见解析；（2）1．
【解析】
（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC且EF=BC，DG∥BC且DG=BC，从而得到DE=EF，DG∥EF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）先判断出∠BOC=90°，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出EF即可．
【详解】
证明：（1）∵D、G分别是AB、AC的中点，∴DG∥BC，DG=BC，
∵E、F分别是OB、OC的中点，
∴EF∥BC，EF=BC，
∴DE=EF，DG∥EF，
∴四边形DEFG是平行四边形；
（2）∵∠OBC和∠OCB互余，
∴∠OBC+∠OCB=90°，
∴∠BOC=90°，
∵M为EF的中点，OM=3，
∴EF=2OM=1．
由（1）有四边形DEFG是平行四边形，∴DG=EF=1．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
A型车
B型车
进货价格（元/辆）
900
1000
销售价格（元/辆）
今年的销售价格
2000