2023-2024学年广西柳州铁一中学等2校高一上学期12月模拟选科大联考数学试题

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全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘貼在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.
4.本卷主要考查内容：必修第一册第一章~第四章.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
由推不出，反之，由可以推出，即可得答案.
【详解】由推不出，反之，由可以推出
所以“”是“”的必要不充分条件
故选：B
【点睛】本题考查的是充分条件和必要条件的判断，较简单.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据补集的运算法则即可得出结果.
【详解】由补集的定义可知，，
故选：A．
3. 函数定义域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数中真数大于零，分式中分母不等于零列不等式，解不等式即可得到定义域.
【详解】由可得，又因为，所以函数的定义域为.
故选：C.
4. 若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由对数的性质可得，根据对数的运算及对数函数的单调性可比较的大小.
【详解】∵，，
∴.
故选:B.
5. 已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ）
A. 或B.
C. 或D.
【答案】D
【解析】
【分析】由不等式的解集是可得，，从而不等式可化为.
【详解】关于的不等式的解集为，
，，
可化为，
即
，
关于的不等式的解集是.
故选：D.
6. 若，则（ ）
A. 5B. 7C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对两边平方化简可求出的值，然后对变形，分子分母同除以，再代值可得答案.
【详解】因为，两边平方得，即，
所以原式.
故选：C.
7. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：
若某户居民本月缴纳的水费为108.1元，则此户居民本月的用水量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可知，该题为分段函数模型.可求出函数，根据各段的值域，可知，代入解析式，即可求出.
【详解】设此户居民本月的用水量为，水费为元.
当时，则；
当时，则；
当时，则.
综上所述，
由前面可知，，则有，解得.
故选：D
8. 若定义在上的偶函数在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围为（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知或，利用偶函数的对称性及单调性列不等式组求解集.
【详解】因为定义在上的偶函数在区间上单调递增，且.
所以或，即或，
解得或，
综上，满足原不等式的的取值范围是.
故选：A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列判断正确的有（ ）
A. B. （其中）
C. D. （其中，）
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据根式的性质判断A，根据分数指数幂的运算性质判断B，C，D.
【详解】对于选项A，，A错误；
对于选项B，因为，所以，B正确；
对于选项C，，C正确；
对于选项D，因为，，所以，D正确；
故选：BCD.
10. 下列各组函数中，是同一个函数的有（ ）
A. 与B. 与
C. 与D. 与
【答案】AD
【解析】
【分析】逐个选项分别判断函数的定义域与对应法则是否相同即可.
【详解】对于A，，定义域均为，是同一函数；
对于B，与解析式不同，不是同一函数；
对于C，，定义城为，，定义域为R，两个函数定义域不同，不是同一函数；
对于D，，定义域均为R，是同一函数.
故选：AD．
11. 已知函数的图像如图所示，则的图像可能是（ ）
A. B.
C D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据二次函数的图像判断参数的范围，再根据对数函数的性质即可选出答案.
【详解】解：根据二次函数图像可知，，两个数一个大于1，一个大于0且小于1，
当，时，在定义域内单调递增，，故B项符合题意；
当，时，在定义域内单调递减，，故A项符合题意.
故选：AB.
12. 已知函数，有4个零点，，，，则（ ）
A. 实数的取值范围是B. 函数的图象关于原点对称
C. D. 的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据分段函数的性质，以及二次函数零点与方程的根的关系，即可分析零点，进而判断正误.
【详解】解：由题可知，当时，有2个零点，故，解得，
当时，此时，而，易知，也有2个零点，故，A正确；
，B错误；
的4个零点满足：，则，是方程的两个根，
则有，且，，
于是得，C正确；
由C选项知，，
由，得：，
而函数在上单调递减，从而得，D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 写出一个最小值为2的偶函数______．
【答案】（答案不唯一）.
【解析】
【分析】由偶函数的定义求解即可.
【详解】对于，
因为，
所以为偶函数，
因为，所以的最小值为2，
所以符合题意，
故答案为：（答案不唯一）.
14. 已知函数是偶函数，且其定义域为，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据偶函数的图像关于y轴对称的性质，即可求解
【详解】解：因为是偶函数，且其定义域为，
所以，解得，
，所以，解得，
所以，
故答案为：.
15. 已知函数，则使的的值组成的集合为______.
【答案】
【解析】
【分析】先分段讨论求出，代入求出，再分段讨论求出，代入可求出.
【详解】当时，无解；
当时，，得，
若，则，得；
若，则，得或.
综上所述：的值组成的集合为.
故答案为：
16. 已知关于的不等式的解集中恰有5个整数解，则实数的范围是______.
【答案】或.
【解析】
【分析】利用分解因式解不等式，然后分类讨论与大小，结合解集中恰有5个整数解，可得答案.
【详解】因为，
所以.
①当，即时，不等式解集为，因解集中恰有5个整数，得，解得；
②当，即时，不等式解集为，因解集中恰有5个整数，得，解得；
③，即时，不等式解集为空集，不合题意.
综上：当不等式的解集中恰有5个整数解时，的范围是或.
故答案为：或.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知全集,集合,集合为小于6的质数.
（1）求;
（2）求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分别求出集合A,B再求并集即可
（2）求出A的补集再与集合B求交集即可
【小问1详解】
由得或
所以
又,所以
【小问2详解】
,所以
所以
18. 已知函数是指数函数.
（1）求实数的值；
（2）已知，，求的值域.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据指数函数的定义可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值；
（2）令，，求出函数在上的最大值和最小值，即可得出函数的值域.
【小问1详解】
解：由题意可得，解得.
【小问2详解】
解：由（1）可得，因为，令，，
令，则，，
因此，函数的值域为.
19. 已知幂函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）试判断是否存在正数，使得函数在区间上的最大值为5，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）根据函数是幂函数，则，并检验，即可；
（2）化简得，求出对称轴，分，两种情况分别求得函数的最大值，即可求出实数的值.
【小问1详解】
由题知，，解得或，
当时，，满足，
当时，，不满足，
所以.
【小问2详解】
.
当时，在区间上单调递增，在上单调递减，
所以，
解得，不合题意；
当时，在区间上递增，
所以，解得.
综上所述，存在正数，使得在区间上的最大值为5.
20. 双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向.根据工信部最新数据显示，截至2022年一季度，我国新能源汽车已累计推广突破1000万辆大关.某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产x（千辆）获利10W（x）（万元），该公司预计2022年全年其他成本总投入万元，由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求.22年的全年利润为f（x）（单位：万元）
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当2022年产量为多少辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由.
【答案】（1）
（2）当2022年产量为3000辆时，该企业利润最大，最大利润为390万元.理由见解析.
【解析】
【分析】（1）结合题意，分类讨论和两个区间的情况，化简整理即可.
（2）由（1）可知：，分类讨论后利用二次函数的性质和基本不等式性质求出最大值，即可的答案.
【小问1详解】
解：由题意得：
所以当，时，则有
当，时，则
故函数的解析式为：
【小问2详解】
由（1）可知：
当时，
故在上单调递减，在上单调递增
故
当时，则有
当且仅当，即当时取等号；
故此当2022年产量为3000辆时，该企业利润最大，最大利润为390万元.
21. 已知函数（且）.
（1）若在区间上的最大值与最小值之差为1，求a的值；
（2）解关于x的不等式.
【答案】（1）或
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）已知函数在区间上的最大值与最小值之差为1，根据对数函数的单调性，列出绝对值方程求解即可；
（2）利用对数函数的定义域及单调性，列出不等式组，讨论参数a的范围，即可得到解集.
小问1详解】
因为在上为单调函数，
且函数在区间上的最大值与最小值之差为1，
所以，解得或.
【小问2详解】
因为函数是上的减函数，
所以，即，
当时，，原不等式解集为；
当时，，原不等式解集为.
22. 对于定义在D上的函数，若存在实数m，n且，使得在区间上的最大值为，最小值为，则称为的一个“保值区间”．已知函数是定义在R上的奇函数，当）时，．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在内的“保值区间”；
（3）若以函数在定义域内所有“保值区间”上的图象作为函数的图象，求函数的值域．
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用函数的奇偶性即得函数的解析式；
（2）根据“保值区间”的概念结合函数的单调性可得关于的方程组，进而构造方程即得；
（3）根据函数的性质可得在定义域内所有“保值区间”，进而可得函数，即得.
【小问1详解】
因为为R上的奇函数，则，
因为当）时，，
所以当时，则，
∴，
所以；
【小问2详解】
设，由在上单调递减，
可得，
所以是方程，即的两个不等正根，
，
，
所以在内的“保值区间”为；
【小问3详解】
设为的一个“保值区间”，
则，
∴m，n同号．
当时，同理可求在内的“保值区间”为，
∴，
所以函数的值域是．
每户每月用水量
水价
不超过的部分
2.07元
超过但不超过的部分
4.07元
超过的部分
6.07元