专题01 绝对值的性质与几何意义的拓展应用（4种常考题型）（考题猜想）-2024-2025学年七年级数学上学期期中考点练习（人教版2024）.zip

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绝对值的性质在化简中的应用 绝对值的非负性在求值中的应用
绝对值的非负性在确定最值中的应用 绝对值几何意义的拓展应用
绝对值的性质在化简中的应用（共8小题）
1．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期中）设，则（ ）
A．1B．C．D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查了化简绝对值，，解题的关键是掌握化简绝对值法则，根据化简绝对值法则求解即可．
【详解】解：当时，，
∴，
当时，
∴．
综上所述，
故选：B．
2．（23-24七年级上·云南昭通·期中）已知表示有理数a，b的点在数轴上的位置如图所示，下列结论错误的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小，绝对值的含义，先判断，，再结合绝对值的含义逐一分析即可．
【详解】解：由图得：，
∴，即，
而，
∴，
∴，
∴，，，
∴D错误，不符合题意，
故选：D．
3．（22-23七年级上·浙江台州·期中），则化简的结果为（ ）
A．B．C．0D．2
【答案】B
【分析】本题主要考查了绝对值的意义，掌握负数的绝对值等于这个数的相反数是解题的关键．
先根据已知条件化简绝对值，然后进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴．
故选：B．
4．（23-24七年级上·山东日照·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图，所示，化简：．
【答案】
【分析】此题考查了数轴，以及绝对值，根据数轴上点的位置判断绝对值里边式子的正负，原式利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．
【详解】解：根据数轴上点的位置得：，且，
，，，
则原式．
故答案为：．
5．（23-24七年级上·广东梅州·期中）若，则．
【答案】4
【分析】此题主要考查绝对值的性质，当时，；当时，，解题的关键是如何根据已知条件，去掉绝对值．由，根据绝对值的性质可得，然后然后合并同类项即可求解．
【详解】解：，
，，
．
故答案为：4
6．（22-23七年级上·云南保山·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，

化简：．
【答案】
【分析】本题考查了数轴与有理数，绝对值化简，根据数轴可得，进而得到，，，，根据绝对值的性质即可化简求解，由数轴判断出、、与的符号是解题的关键．
【详解】解：由数轴可得，，
∴，，，，
∴原式，
，
．
7．（23-24七年级上·湖南常德·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．

(1)用“”连接：0，a，b，c；
(2)化简代数式：．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了数轴，绝对值和有理数大小比较等知识点，能根据数轴得出和是解此题的关键．
（1）根据数轴比较即可；
（2）根据数轴得出，再去掉绝对值符号，最后求出答案即可．
【详解】（1）从数轴可知：；
（2）从数轴可知：，
所以
．
8．（22-23七年级上·甘肃兰州·期中）已知的大致位置如图所示：化简．
【答案】
【分析】此题考查绝对值，关键是根据数轴和绝对值化简解答．先根据各点在数轴上的位置，确定它们所表示的数的和的大小关系，再根据有理数的加减法法则判断正负，利用绝对值的意义化去绝对值符号，加减得结论．
【详解】解：由数轴可得：，
，
．
绝对值的非负性在求值中的应用（共8小题）
9．（20-21七年级上·陕西西安·阶段练习）若，则的值为（ ）
A．1B．C．0D．2020
【答案】A
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可求解．
【详解】解：根据题意得，，
解得：，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了绝对值非负性的应用，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．
10．（21-22七年级上·湖南长沙·阶段练习）若与互为相反数，则a+b的值为（ ）
A．3B．﹣3C．0D．3或﹣3
【答案】A
【分析】先根据相反数的定义可得，再根据绝对值的非负性可得，，从而可得，然后代入计算即可得．
【详解】解：与互为相反数，
，
又，
，，
解得，
则，
故选：A．
【点睛】本题考查了相反数、绝对值的非负性、一元一次方程的应用，利用非负数互为相反数得出这两个数均为零0是解题关键．
11．（22-23七年级上·河南洛阳·阶段练习）若，则的值为（ ）．
A．9B．5C．D．
【答案】B
【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后相加即可得解．
【详解】解：根据题意得，，，
解得，
所以，．
故选：B．
【点睛】本题考查了非负数的性质，掌握“几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0”是解题的关键．
12．（22-23七年级上·四川成都·期中）若满足，则的值为．
【答案】6
【分析】根据，，可求出的值，从而即可求出的值，得到答案．
【详解】解：，，，
，，
解得：，，
，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了绝对值非负性的应用，解题的关键是掌握非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数必也为零．
13．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）已知a，b，c均为整数，且，那么的值．
【答案】1或2或3或4
【分析】此题主要考查了绝对值的意义，分类讨论是解答此题的关键．首先根据，，均为整数得，均为非负整数，再根据即可得出①，，②，，③，，据此根据每一种情况求出的值即可．
【详解】解：，，均为整数，
，均为非负整数，
又，
，，或，，或，，
①当，时，，，
；
②当，时，，，
；
③当，时，此时或2，
或．
综上所述，的值是1或2或3或4．
故此题答案为：1或2或3或4．
14．（23-24七年级上·重庆·期中）若，则的值是．
【答案】-7
【分析】根据非负数的性质列方程求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解；
【详解】解：由题意得，，
解得，
所以，，
故答案为：-7．
【点睛】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．
15．（21-22七年级上·湖北武汉·期中）已知|x＋1|＝4，（y＋2）2＝4，若x＋y≥﹣5，求x﹣y的值．
【答案】3或7或
【分析】根据绝对值和乘方求出x，y，再根据x＋y≥﹣5计算即可；
【详解】∵|x＋1|＝4，
∴或，
∴或,
∵（y＋2）2＝4，
∴或，
∴或，
∵x＋y≥﹣5，
∴当，时，；
当，时，；
当，时，；
∴x﹣y的值是3或7或．
【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，平方的性质，利用非负性求解是解题的关键．
16．（22-23七年级上·广东韶关·期中）有理数在数轴上的位置如图：
(1)比较与的大小；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据数轴得出a、b、c之间的的大小关系，再分别判断与的符号，即可比较大小；
（2）根据绝对值的非负性即可求出a、b、c的值，再分别代入求解即可．
【详解】（1）解：观察数轴可知：
故，
故．
（2）由题可知：
，解得：，
则．
【点睛】本题主要考查了根据数轴比较有理数的大小以及绝对值的非负性，解题的关键是熟练掌握有理数的减法法则以及绝对值的意义
绝对值的非负性在确定最值中的应用（共8小题）
17．（22-23七年级上·广东揭阳·期中）当______时，|有最大值，最大值是（ ）
A．1，B．1，C．，10D．，9
【答案】B
【分析】根据绝对值具有非负性可得，据此可得，继而可得出答案．
【详解】，
，
，
∴当时，|有最大值，
即当时，|有最大值，最大值是．
故选：B．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键．
18．（21-22七年级上·四川成都·期中）若x为有理数，则的最大值为
【答案】5
【分析】直接利用绝对值的性质得出|x-2|的最小值为0．进而得出答案．
【详解】解：∵x为有理数，式子5-|x-2|存在最大值，
∴|x-2|=0时，5-|x-2|最大为5，
故答案为：5．
【点睛】此题主要考查了非负数的性质，正确利用绝对值的性质是解题关键．
19．（22-23七年级上·重庆沙坪坝·期中），当时，y有最大值为．
【答案】
【分析】根据平方的非负性，可得的最大值为．
【详解】解：∵，则，当时，取等于号，
∴当时，y有最大值为
故答案为：，
【点睛】本题考查了平方的非负性，代数式求值，掌握平方的非负性是解题的关键．
20．（23-24七年级上·四川内江·期中）当时，代数式有最大值为．
【答案】 1 3
【分析】本题考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性得出，从而得到当，即时，有最大值，熟练掌握绝对值的非负性是解此题的关键．
【详解】解：，
，
，
当，即时，有最大值，最大值为3，
故答案为：1，3．
21．（20-21七年级上·浙江杭州·期中）已知a、b、c都为整数，且，则的最小值是，最大值是．
【答案】 -2 5
【分析】由以及a、b、c都为整数，得出共10种情况，分别讨论，再比较即可．
【详解】解：∵，a、b、c都为整数，
∴若=1，=1，=1，
则a和b不为整数，不符合；
若=3，=0，=0，
则a=3，b=-3，c=1或a=5，b=-3，c=1，
则a+b+c=1或3；
若=0，=3，=0，
则b不为整数，不符合；
若=0，=0，=3，
则a=4，b=-3，c=-2或4，
则a+b+c=-1或5；
若=1，=2，=0，
则a不为整数，不符合；
若=1，=0，=2，
则a不为整数，不符合；
若=0，=1，=2，
则b不为整数，不符合；
若=2，=1，=0，
则a不为整数，不符合；
若=2，=0，=1，
则a不为整数，不符合；
若=0，=2，=1，
则a=4，b=-2或-4，c=2或0，
则a+b+c=4或2或0，
∴a+b+c的最小值为-2，最大值为5，
故答案为：-2，5．
【点睛】本题考查了非负数的性质，解题的关键是理解题意，能够分类讨论，从而得出最值．
22．（22-23七年级上·湖北武汉·期中）（1）根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题．
①取何值时，的值最小，最小值是多少？
②取何值时，的值最大，最大值是多少？
（2）已知若，则，即，若，则，即，如果、、是有理数，且，时，求的值．
【答案】（1）①当时，有最小值，最小值是；②当时，有最大值，最大值是5；（2）−1
【分析】（1）①根据是非负数可知其最小值是0，进而可得出结论；②要使的值最大，则最小，据此可得出结论；
（2）由， 可知，x，y，z中必有一个小于0，两个大于0，故分三种情况讨论．
【详解】解：（1）是非负数，
其最小值是0．
取最小值，
取最小值0，
，解得，
的值最小为；
答：当时，有最小值，最小值是；
取最大值，
取最小值，
，解得，
的最大值是5．
答：当时，有最大值，最大值是5；
（2），，
，，，且三个数中有一个数为负，其他两个数为正，
当，，时，
原式；
当，，时，
原式；
当，，时，
原式．
综上：代数式的值为-1．
【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，熟知绝对值的性质是解题的关键．
23．（23-24七年级上·山东日照·期中）（1）根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题：
Ⅰ：当x取何值时，有最小值，这个最小值是多少？
Ⅱ．当x取何值时，有最大值，这个最大值是多少？
（2）已知数a，b，c在数轴上的位如图所示，化简：

【答案】（1）Ⅰ：当时，最小值为0；Ⅱ．当x=1时，最大值为；（2）
【分析】本题考查了绝对值的性质，根据绝对值的性质化简绝对值是解题的关键．
（1）根据题意令绝对值里的数为0，即可求解；
（2）根据数轴可知，且，可得，，，根据正数的绝对值使其本身，负数的绝对值使其相反数，对代数式进行化简即可得出结果．
【详解】解：（1）I：当时，有最小值，这个最小值是0；
Ⅱ：当时，有最小值，为；则有最大值，这个最大值是；
（2）根据题意，得，且，
∴，，，
∴
．
24．（23-24七年级上·湖南常德·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．

(1)用“”连接：0，a，b，c；
(2)化简代数式：．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了数轴，绝对值和有理数大小比较等知识点，能根据数轴得出和是解此题的关键．
（1）根据数轴比较即可；
（2）根据数轴得出，再去掉绝对值符号，最后求出答案即可．
【详解】（1）从数轴可知：；
（2）从数轴可知：，
所以
．
四．绝对值几何意义的拓展应用（共6小题）
25．（22-23七年级上·山东德州·期中）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离．当取得最小值时，x的取值范围是（ ）
A．B．或
C．D．
【答案】C
【分析】由题意画出数轴，然后根据数轴上的两点距离可进行求解．
【详解】解：如图，由可得：点A、B、P分别表示数、2、，．
的几何意义是线段与的长度之和，
当点在线段上时，，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，．
取得最小值时，的取值范围是；
故选：C．
【点睛】本题主要考查数轴上的两点距离，解题的关键是利用数形结合思想进行求解．
26．（23-24七年级·河南驻马店·期中）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离．当取得最小值时，x的取值范围是．
【答案】
【分析】本题结合数轴考查了绝对值的意义以及绝对值的性质，数轴上两点的距离，解题的关键是以和2为界点对的值进行分类讨论，进而得出代数式的值．
以和2为界点，将数轴分成三部分，对的值进行分类讨论，然后根据绝对值的意义去绝对值符号，分别求出代数式的值进行比较即可．
【详解】解：如图，
当时，，，
；
当时，，，
；
当时，，，
；
综上所述，当时，取得最小值，
所以当取得最小值时，的取值范围是．
故答案为：．
27．（23-24七年级上·湖南常德·期中）阅读理解：对于有理数a、b，的几何意义为：数轴上表示数a的点到原点的距离；|a-b|的几何意义为：数轴上表示数a的点与表示数b的点之间的距离．如：的几何意义即数轴表示数x的点与表示数2的点之间的距离，请根据你的理解解答下列问题：
(1)根据的几何意义，若，那么x的值是．
(2)画数轴分析的几何意义，并求出的最小值是．
(3)的最小值是多少？
【答案】(1)1或
(2)1
(3)1025156
【分析】本题考查了绝对值的几何意义以及化简绝对值：
（1）根据绝对值的几何意义，即可作答．
（2）先表示的几何意义，再结合数轴，即可作答．
（3）线表示的几何意义，找到和2023的中点，当，取得最小值，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，的几何意义：数轴上表示x的点与表示的点之间的距离，
若，即或，
解得x=1或，
则x的值是1或，
故答案为：1或；
（2）解：的几何意义：数轴上表示x的点与表示的点之间的距离与数轴上表示x的点与表示的点之间的距离之和，
当时，的最小值是为，
故答案为：1；
（3）解：∵表示x到，0，1，2，3，⋅⋅⋅2023的点的距离的和，
∴当位于和2023的中点时，即
∴当时，最小，
最小值为：
．
28．（23-24七年级上·江苏南通·期中）阅读下面的材料：
根据绝对值的几何意义，我们知道表示5、3在数轴上对应的两点间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B两点之间的距离可以表示为．
回答下列问题：
(1)数轴上表示6与的两点之间的距离是_________；数轴上表示x与2的两点之间的距离是_______．
(2)若，则_______．
(3)满足的整数x有_______个．
(4)当_______时，代数式的最小值是3．
【答案】(1)15；
(2)0或6
(3)6
(4)或
【分析】本题考查数轴上两点间距离计算；
（1）根据两点间距离公式计算；
（2）根据数轴上两点间距离公式的定义，结合数轴求解；
（3）由数轴上两点间距离公式，可判断x在与3之间，即可；
（4）由数轴上两点间距离公式，由题意得当表示x的点在表示的点与表示的点之间（含两点）时，取最小值，然后分两种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）解：数轴上表示6与的两点之间的距离是；
数轴上表示x与2的两点之间的距离是．
故答案为：15；
（2）解：表示x与3的距离为3，
∴或6．
故答案为：0或6
（3）解：表示x与的距离与它与3的距离之和为5，
∴x在与3之间，
∴这样的整数x有，共6个．
故答案为：6
（4）解：的值为“表示x的点与表示的点的距离”与“表示x的点与表示的点的距离”之和．
当表示x的点在表示的点与表示的点之间（含两点）时，取最小值．
∴表示的点与表示的点的距离为3．
若，即，
则，
∴．
若，即，
则，
∴．
综上，当a取或时，原式的最小值是3．
故答案为：或
29．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）阅读下列材料：
经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，可以表示5与之差的绝对值，也可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究：

(1)表示数轴上有理数x所对应的点到________所对应的点之间的距离；表示数轴上有理数x所对应的点到________所对应的点之间的距离．若，则________．
(2)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x，使得．这样的整数x有________________．（写出所有的整数x）
(3)利用绝对值的几何意义，求出的最小值，并说明理由．
【答案】(1)4；1；3或
(2)，，0，1，2，3，4，5
(3)5；理由见解析
【分析】（1）根据数轴上的两点距离可直接进行求解；
（2）根据绝对值的几何意义，得出该式表示数轴上有理数x所对应的点到−2的距离和到5的距离的和为7，继而求解；
（3）首先判断出式子的几何意义，再结合两点之间线段最短进行判断即可．
【详解】（1）解：表示数轴上x与5所对应的两点之间的距离；表示数轴上有理数x所对应的点到所对应的点之间的距离．
若，
∴，
解得：，；
故答案为：4；1；3或．
（2）解：表示数轴上有理数所对应的点到的距离和到5的距离的和为7，
∴这样的整数x有，，0，1，2，3，4，5，
故答案为：，，0，1，2，3，4，5；
（3）解：∵表示数轴上有理数所对应的点到的距离，到1的距离，到3的距离的和，
∴当时，的值最小，且最小值为．
【点睛】本题主要考查绝对值与数轴的综合应用，解决此题时，能够熟练掌握绝对值的性质，并结合数轴的特点解答．
30．（23-24七年级上·广东深圳·期中）如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上位于点左侧一点，且．

(1)直接写出数轴上点表示的数；
(2)表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，试探索：
①若，则（直接写出）；
②的最小值为（直接写出）；
(3)请直接写出所有满足的整数的值．
【答案】(1)
(2)①6或10；②19
(3)，，0
【分析】（1）根据两点间的距离公式可得数轴上点表示的数；
（2）①根据绝对值的意义即可求解；②根据两点间的距离公式即可求解；
（3）将整理为，由其几何意义可知表示a的点到和两点之间的距离之和为3进而确定的取值范围，即可获得答案．
【详解】（1）解：数轴上B表示的数为：，
故答案为：；
（2）①∵，
∴，
∴或10．
故答案为：6或10；
②的几何意义表示数轴上表示x的点到与8两点之间的距离之和，
当在与8之间时，最小，最小值为19；
故答案为：19；
（3）可化为，
所以，
由几何意义可知：表示a的点到和两点之间的距离之和为3．
可得，
因为a取整数，所以，，0．
故答案为：，，0．