2024-2025学年湖南师大附中九年级（上）入学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖南师大附中九年级（上）入学数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列说法中，正确的是( )
A. 对“神舟十八号”载人飞船零部件的检查适合采用抽样调查
B. 调查市场上某品牌节能灯的使用寿命适合采用全面调查
C. 甲、乙两人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是S甲2=3.2，S乙2=1，则乙的射击成绩较稳定
D. 某种彩票中奖率是10%，则购买10张这种彩票一定会中奖
3.去年冬天，一山区县遭受冬雨天气灾害，居民生活受困，某校开展为灾区捐款活动，八年级(1)班第一组8名学生捐款如下(单位：元)：30，50，30，20，30，50，20，20，则这组捐款的众数是( )
A. 30元B. 20元C. 25元D. 30元和20元
4.成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴，学习成语，运用成语，了解成语当中所包含的语言文化现象，是我们学习语言、学习中国传统文化必不可少的一个环节和目的.下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是( )
A. 竹篮打水B. 守株待兔C. 水涨船高D. 水中捞月
5.我区“人才引进”招聘考试分笔试和面试，按笔试占60%、面试占40%计算加权平均数作为总成绩.应试者李老师的笔试成绩为90分，面试成绩为95分，则李老师的总成绩为( )
A. 90B. 91C. 92D. 93
6.从2，3，4，5四个数中，随机抽取三个数，作为三角形的边长，能组成三角形的概率为( )
A. 34B. 1316C. 12D. 14
7.已知点A(a,−2)，B(3,b)关于原点对称，则ab的值为( )
A. −6B. 6C. −9D. 9
8.如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，那么小球最终停留在黑色区域的
概率是( )
A. 29 B. 12
C. 13 D. 49
9.如图，在正方形网格中，△EFG绕某一点旋转某一角度得到△RPQ.则旋转中心可能是( )
A. 点A
B. 点B
C. 点C
D. 点D
10.如图，△OAB中，∠AOB=60°，OA=4，点B的坐标为(6,0)，将△OAB绕点A逆时针旋转得到△CAD，当点O的对应点C落在OB上时，点D的坐标为( )
A. (7,3 3)B. (7,5)C. ((5 3,5)D. (5 3,3 3)
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.已知一组数据：3、0、−2、5，则这组数据的极差为______．
12.为了考查某种海水稻的长势，从所育稻苗中随机抽取5株，测量这5株稻苗高度所得数据为8，8，9，7，8(单位：cm)，该组数据的方差为______．
13.已知一组数据x1，x2，x3，x4的平均数是5，则另一组数据5x1−5，5x2−5，5x3−5，5x4−5的平均数是______．
14.在相同条件下选取一定数量的小麦种子做发芽试种，结果如表所示：
在相同的条件下，估计种植一粒该品牌的小麦发芽的概率为______.(结果精确到0.1)
15.一个不透明的袋中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别.现随机从袋中摸出一个球，记下它的颜色后放回摇匀，再从袋中摸出一个球，则两次摸出的球都是“红球”的概率是______．
16.抛物线y=x2−8x+7关于x轴对称的抛物线的解析式为______．
17.某校共有40名初中生参加足球兴趣小组，他们的年龄统计情况如图所示，则这40名学生年龄的中位数是______．
18.二次函数y=ax2−2x−1，若对于任意x都有y<0成立，求实数a的取值范围是______．
三、解答题：本题共4小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
根据“五项管理”文件精神，某学校优化学校作业管理，探索减负增效新举措，学校就学生做作业时间进行问卷调查，将收集信息进行统计分成A、B、C、D四个层级，其中A：90分钟以上；B：60～90分钟；C：30～60分钟；D：30分钟以下.并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计信息解答下列问题：
(1)求扇形统计图中“D”等级的扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图；
(2)全校约有学生1500人，估计“A”层级的学生约有多少人？
(3)学校从“A”层级的3名女生和2名男生中随机抽取2人参加现场深入调研，则恰好抽到1名男生和1名女生的概率是多少？
20.(本小题10分)
如图，四边形ABCD是正方形，△DCF经逆时针旋转90°后与△BCE重合．
(1)若∠DCF=80°，∠CDF=30°，求∠BEC的度数；
(2)若CF=2，求△ECF的面积．
21.(本小题12分)
已知关于x的一元二次方程(m−1)x2+(m−4)x−3=0(m为实数且m≠1)．
(1)求证：此方程总有两个实数根；
(2)如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．
22.(本小题14分)
抛物线y=ax2−2ax−3a与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D．

(1)求A、B两点的坐标；
(2)若△ABD为等边三角形，求a的值；
(3)若a=−1，
①点F是对称轴与AC的交点，点P是抛物线上一点，且横坐标为m，PE⊥x轴交AC于点E，点P，E，F构成的三角形是直角三角形，求m的值；
②当k≤x≤k+2时，y=ax2−2ax−3a始终位于直线y=−x的下方，求实数k的取值范围．
参考答案
1.C
2.C
3.D
4.B
5.C
6.A
7.D
8.C
9.C
10.A
11.7
12.0.4
13.20
14.0.7
15.49
16.y=−x2+8x−7
17.14岁
18.−119.解：(1)接受问卷调查的学生共有：16÷40%=40(人)，
扇形统计图中“D”等级的扇形的圆心角的度数为：360°×840=72°，
“B”层级的人数为：40−6−16−8=10(人)，
补全条形统计图如下：

(2)估计“A”层级的学生约有：1500×640=225(人)；
(3)画树状图得：

共有20种等可能的结果，恰好抽到1个男生和1个女生的有12种情况，
∴恰好抽到1个男生和1个女生的概率为1220=35．
20.解：(1)∵∠DCF=80°，∠CDF=30°，
∴∠DFC=180°−∠DCF−∠CDF=70°．
∵△DCF经逆时针旋转90°后与△BCE重合，
∴∠BEC=∠DFC=70°．
(2)∵△DCF经逆时针旋转90°后与△BCE重合，CF=2，
∴CE=CF=2，∠ECF=90°，
∴S△ECF=12CE⋅CF=2．

21.(1)证明：依题意，得Δ=(m−4)2−4(m−1)×(−3)
=m2−8m+16+12m−12
=m2+4m+4
=(m+2)2．
∵(m+2)2≥0，
∴方程总有两个实数根；
(2)解：a=m−1，b=m−4，c=−3，
x=−(m−4)± (m+2)22(m−1)，
∴x1=−1，x2=3m−1，
∵方程的两个实数根都是整数，且m是正整数，
∴m−1=1或m−1=3，
∴m=2或m=4．
22.解：(1)抛物线y=ax2−2ax−3a与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D.令y=0，即ax2−2ax−3a=0，
∵a≠0，
∴x2−2x−3=0，
解得：x1=−1，x2=3，
∴A(3,0)，B(−1,0)；
(2)由y=ax2−2ax−3a=a(x−1)2−4a，
∴D(1,−4a)，
由(1)得：A(3,0)，B(−1,0)，
∴AB=|3−(−1)|=4，AD= (3−1)2+[0−(−4a)]2= 4+16a2，BD= (−1−1)2+[0−(−4a)]2= 4+16a2，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AD=BD=4，
∴ 4+16a2=4，
解得：a=± 32，
根据图象可知：a<0，
∴a=− 32；
(3)①点F是对称轴与AC的交点，点P是抛物线上一点，且横坐标为m，PE⊥x轴交AC于点E，点P，E，F构成的三角形是直角三角形，
当a=−1时，y=−x2+2x+3，
令x=0，则y=3，
∴C(0,3)，
∴OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO=45°，
设直线AC解析式为y=k1x+b1，
∴3k1+b1=0b1=3，
解得：k1=−1b1=3，
∴AC解析式为y=−x+3，
∴当x=1时，y=−1+3=2，
∴F(1,2)，
如图3，当∠FPE=90°时，

∵PE⊥x，即PE/​/y轴，
∴∠PEF=∠PFE=45°，
∴PE=PF，
∵P的横坐标为m，PE⊥x，
∴P(m,−m2+2m+3)，E(m,−m+3)，
∴PE=|m2−3m|，PF=|m−1|，
∴m2−3m=m−1或m2−3m=−m+1，
整理得：m2−4m+1=0或m2−2m−1=0，
解得：m=2± 3(舍去)或m=1± 2，
如图4，当∠PFE=90°时，

由上可知PE=|m2−3m|，EF= (m−1)2+(−m+3−2)2= 2(m−1)2= 2|m−1|，
由勾股定理得：PE= 2EF，
∴|m2−3m|= 2× 2|m−1|，
∴m2−3m=2m−2或m2−3m=−2m+2，
解得：m=5± 172(舍去)或m=−1，m=2，
综上可知：m=−1或m=2或m=1± 2；
②如图5，设抛物线与y=−x的交点为M、N，分别过M、N作x轴的垂线，垂足分别为G、H，

∴−x2+2x+3=−x，
解得：x=3± 212，
∴G(3− 212,0)，H(3+ 212,0)，
∵当k≤x≤k+2时，y=ax2−2ax−3a始终位于直线y=−x的下方，
∴k+2≤3− 212或k≥3+ 212，
解得：k≤−1− 212，
∴实数k的取值范围为k≤−1− 212或k≥3+ 212． 试种数量
200
500
1000
1500
2000
发芽的频率
0.67
0.73
0.69
0.70
0.71