浙江省杭州外国语学校2024-2025学年九年级上学期开学数学试题

这是一份浙江省杭州外国语学校2024-2025学年九年级上学期开学数学试题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．在中，，那么等于（ ）
A．B．C．D．
2．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（ ）
A．①B．②C．③D．④
3．如图，点在半上，四边形均为矩形．设，则下列各式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接，下列结论错误的是（ ）
A．B．平分
C．D．点为线段的黄金分割点
5．已知二次函数的与的部分对应值如表：
则下列判断中正确的是（ ）
A．抛物线开口向上B．抛物线与轴交于负半轴
C．当时，D．方程的正根在3与4之间
6．二次函数和正比例函数的图象如图所示，则方程的两根之和（ ）
A．大于0B．等于0C．小于0D．不能确定
7．如图，直径为10的上经过点和点是轴右侧优弧上一点，则的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在半径为1的中，直径把分成上、下两个半圆，点是上半圆上一个动点（与点不重合），过点作弦，垂足为的平分线交于点，设，下列图象中，最能刻画与的函数关系的图象是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
9．分解因式：______．
10．如图，线段于点于点，点为线段上一动点，且以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，则的长为______．
11．如图，在扇形中，，点是上的一个动点（不与重合），，垂足分别为．若，则扇形的面积为______．
12．已知二次函数图象的对称轴为，其图象如图所示，现有下列结论：
①，
②，
③，
④，
⑤．正确的序号是______．
三、解答题：本题共4小题，共42分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
13．（本小题10分）
（1）计算：；
（2）解分式方程：．
14．（本小题10分）
如图，四边形中，平分为的中点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
15．（本小题14分）
已知五个点，抛物线经过其中的三个点．
（1）求证：两点不可能同时在抛物线上；
（2）点在抛物线上吗？为什么？
（3）求和的值．
16．（本小题8分）
如图，在矩形中，（是大于0的常数），为线段上的动点（不与重合）．连接，作与射线交于点，设．
（1）求关于的函数关系式；
（2）若，求为何值时，的值最大，最大值是多少？
（3）若，要使为等腰三角形，的值应为多少？
答案和解析
1．【答案】B
【解析】解：，
，
是直角三角形，，
，
故选：B．
根据中，可利用勾股定理逆定理判断出是直角三角形，再根据正弦的定义可得答案．
此题主要考查了勾股定理逆定理，解直角三角形，关键是掌握勾股定理逆定理：如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
2．【答案】A
【解析】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
利用段完整的弧结合垂径定理确定圆心即可．
本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．
3．【答案】D
【解析】解：连接、根据矩形的对角线相等，得，．再根据同圆的半径相等，得．
故选D．
本题主要根据矩形的性质以及垂径定理进行做题．
此题主要能够根据矩形的对角线相等把线段进行转换，根据同圆的半径相等即可证明．
4．【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形性质，黄金分割点，线段垂直平分线性质的应用，主要考查学生的推理能力．
求出的度数即可判断；求出和的度数，求出的度数，即可判断；根据三角形面积即可判断；求出，得出，求出，即可判断．
【解答】
解：A、，
，
，正确，
B、是垂直平分线，
，
，
，
是的角平分线，正确，
C，根据已知不能推出的面积和面积相等，错误，
D、，
，
，
，
，
，
，
，
，
即点是的黄金分割点，正确，
故选：C．
5．【答案】D
【解析】解：由图表可得，
该函数的对称轴是直线，有最大值，
抛物线开口向下，故选项A错误，
抛物线与轴的交点为，故选项B错误，
和时的函数值相等，则时，，故选项C错误，
方程的正根在3与4之间，故选项D正确，
故选：D．
根据题意和表格中的数据可以得到该函数的对称轴、开口方向，从而可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
6．【答案】A
【解析】解：设的两根为，
由二次函数的图象可知，
．
设方程的两根为，则，
，
，
．
故选A．
设的两根为，由二次函数的图象可知，设方程的两根为再根据根与系数的关系即可得出结论．
本题考查的是抛物线与轴的交点，熟知抛物线与轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键．
7．【答案】C
【解析】解：如图，连接并延长交与点，连接，
同弧所对的圆周角相等，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
即的余弦值为．
故选：C．
首先根据圆周角定理，判断出；然后根据是的直径，判断出，在中，用的长度除以的长度，求出的余弦值为多少，进而判断出的余弦值为多少即可．
（1）此题主要考查了圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
（2）此题还考查了锐角三角函数值的求法，要熟练掌握．
8．【答案】A
【解析】解：连接，
，
．
，
．
．
．
，
．
故选：A．
连接，根据条件可判断出，即是定值，与的大小无关，所以函数图象是平行于轴的线段．要注意的长度是小于1而大于0的．
解决有关动点问题的函数图象类习题时，关键是要根据条件找到所给的两个变量之间的函数关系，尤其是在几何问题中，更要注意基本性质的掌握和灵活运用．
9．【答案】
【解析】解：原式，
故答案为：．
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了因式分解-提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
10．【答案】1或3或8．
【解析】解：设．
以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，
①当时，，解得．
②当时，，解得或，
当以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似时，的长为1或3或8，故答案为1或3或8．
分两种情形构建方程求解即可．
本题考查了相似三角形的判定，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键
11．【答案】
【解析】解：连接，
，
分别为的中点，
为的中位线，
．
又在中，，
，
扇形的面积为：．
故答案是：．
连接，由垂直于垂直于，利用垂径定理得到分别为的中点，即为三角形的中位线，即可求出的长．利用勾股定理、，且，可以求得该扇形的半径．
此题考查了垂径定理，勾股定理，扇形面积的计算以及三角形的中位线定理，熟练掌握定理是解本题的关键．
12．【答案】④⑤
【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线，
，
，②错误．
抛物线与轴交点在轴上方，
，
，①错误．
由图象可得时，，
③错误．
由图象可得时，为最大值，
，即，④正确．
时，，抛物线对称轴为直线，
时，，
，
，
，
，⑤正确．
故答案为：④⑤．
由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点确定．
13．【答案】解：（1）
；
（2），
方程可化为，
方程两边同乘，得，
解得，
检验：当时，，所以不是分式方程的解；
当时，，所以是分式方程的解；
所以原分式方程的解是．
【解析】（1）先根据有理数的乘方、算术平方根、负整数指数幂的运算法则计算，再合并即可；
（2）分式方程两边同乘，将分式方程化为整式方程求解即可．
本题考查了解分式方程，实数的运算，熟练掌握运算法则以及解分式方程的步骤是解题的关键．
14．【答案】（1）证明：平分，
，
，
，
，
．
（2）解：为中点，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】（1）由平分，可证得，然后由相似三角形的对应边成比例，证得；
（2）易证得，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值．
此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
15．【答案】解：（1）抛物线的对称轴为，
而两点纵坐标相等，
由抛物线的对称性可知，关于直线对称，
又与对称轴相距2，与对称轴相距3，
两点不可能同时在抛物线上；
（2）假设点在抛物线上，
则，解得，
因为抛物线经过5个点中的三个点，
将代入，
得出的值分别为，
所以抛物线经过的点是，
又因为，与矛盾，
所以假设不成立．
所以不在抛物线上；
（3）由题意，抛物线可能经过或者，
将两点坐标代入中，得，
解得，
，
在抛物线上．
或将两点坐标代入中，得，
解得，
，
在抛物线上．
综上所述，或．
【解析】（1）由抛物线可知，抛物线对称轴为，而两点纵坐标相等，应该关于直线对称，但与对称轴相距与对称轴相距3，故不可能；
（2）假设点在抛物线上，得出矛盾排除点在抛物线上；
（3）两点关于对称轴对称，一定在抛物线上，另外一点可能是点或点，分别将或、两点坐标代入求和的值．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特点．关键是明确图象上点的坐标必须满足函数解析式．
16．【答案】解：（1），
，
又，
，
，即，解得；
（2）由（1）得，
将代入，得，
所以当时，取得最大值为2；
（3）只有当时，为等腰三角形，
，
，
此时，解方程，得，或，
当时，，
当时，．
【解析】（1）利用互余关系找角相等，证明，根据对应边的比相等求函数关系式；
（2）把的值代入函数关系式，再求二次函数的最大值；
（3），只有当时，为等腰三角形，把条件代入即可．
本题把相似三角形与求二次函数解析式联系起来，在解题过程中，充分运用相似三角形对应边的比相等，建立函数关系式．…
0
1
3
…
…
1
3
1
…