浙江省杭州外国语学校2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）

这是一份浙江省杭州外国语学校2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷（10月份），共25页。

A．B．C．2D．5
2．（3分）在平面内⊙O的半径为5cm，点P到圆心O的距离为3cm，则点P与⊙O的位置关系为（ ）
A．圆内B．圆外C．圆上D．无法确定
3．（3分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．在足球赛中，弱队战胜强队
B．校园排球比赛，九年级一班获得冠军
C．从煮熟的鸡蛋里孵出小鸡
D．6月1日是儿童节
4．（3分）将抛物线y＝x2﹣1的图象先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）
A．y＝x2+2 x+2B．y＝x2+2x﹣2
C．y＝（x﹣1）2+1D．y＝（x﹣1）2﹣3
5．（3分）函数y＝﹣a（x+a）与y＝﹣ax2（a≠0）在同一坐标系上的图象是（ ）
A．B．
C．D．
6．（3分）如图，在▱ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，EF＝1，EC＝3，则GF的长为（ ）
A．4B．6C．8D．10
7．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）自变量x与函数值y之间满足如表数量关系：那么的值为（ ）
A．4B．6C．10D．14
8．（3分）从﹣3，﹣2，﹣1，0，1这五个数中，随机取出一个数，记为a，若a使得关于x的不等式组无解，且关于x的分式方程﹣＝3有整数解的概率为（ ）
A．B．C．D．
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，BC⊥CD，AB＝BC＝6cm，CD＝12cm，三个动点P1，P2，P3同时分别沿A→B→C，B→C→D，C→D的方向以1cm/s的速度匀速运动，运动过程中△P1P2P3的面积y（cm2）与运动时间x（s）（0≤x≤12）的函数图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，，动点N从A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点M从B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN．动点N，M同时出发，点N运动速度为v1，点M的运动速度为v2，且v1＜v2，当点M到达C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形NA′B′M．若在某一时刻，点B的对应点B′恰好与CD的中点重合，则的值是（ ）
A．B．C．D．
二.填空题：（每题3分，共18分）
11．（3分）从“hangzhu”中随机抽取一个字母，抽中字母h的概率为 ．
12．（3分）若函数是关于x的二次函数，则a的值为 ．
13．（3分）如图，正方形MNPQ内接于△ABC，点M、N在BC上，点P、Q分别在AC和AB边上，且BC边上的高AD＝6cm，BC＝12cm，则正方形MNPQ的边长为 ．
14．（3分）已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝30°，求CD的长．
15．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，抛物线与y轴交点在A（0，1）和B（0，2）之间（不与AB重合）．下列结论：①abc＞0；②9a+c＞3b；③4a+b＝0；④当y＞0时，﹣1＜x＜5；⑤a的取值范围为．其中正确结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
三、解答题：（本题有8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是⊙M上的三个点，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）直接写出圆心M的坐标： ；
（2）求⊙M的半径．
18．（6分）某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“厨艺”“绘画”“陶艺”“街舞”等四门校本课程以提升课后服务质量，为了解学生对这四门课程的选修情况（要求必须选修—门且只能选修一门），学校从七年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：
（1）共有 名学生参与了本次问卷调查；“厨艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是 度？
（2）补全调查结果条形统计图；
（3）小刚和小毅分别从“厨艺”“绘画”“陶艺”“街舞”等四门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．
19．（8分）如图，抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线AB的解析式为y2＝kx+m．
（1）请直接写出：抛物线的解析式 ，直线AB的解析式 ；
（2）当﹣2＜x＜2时，y1的取值范围是 ；
（3）当y1＜y2时，x的取值范围是 ．
20．（8分）如图，在正方形ABCD中，E是边AD上的点，点F在边CD上，且CF＝3FD，∠BEF＝90°
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若AB＝6，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长．
21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠BOD＝2∠A．
（1）求证：AB⊥CD；
（2）若⊙O的半径为4，AE：EB＝3：1，求CD的长．
22．（10分）某商场以每件30元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于55元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数y＝﹣2x+140的关系．
（1）当每件售价35元时，每天的利润是多少元？
（2）该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？
（3）求商场销售这种商品每天获取的最大利润．
23．（12分）如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点A（﹣2，0）和点B（6，0），与y轴交于点C．
（1）求b、c的值；
（2）若点P是抛物线BC段上的一点，当△PBC的面积最大时求出点P的坐标，并求出△PBC面积的最大值；
（3）点F是抛物线上的动点，作EF∥AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（12分）阅读以下材料：
【问题情境】如图1，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF．
（1）BE与DF之间有怎样的数量和位置关系？请说明理由．
【类比迁移】
（2）如图2，在矩形ABCD中，E是CD边上一点，将△BED沿BE翻折得到△BED′，延长DD′交BC延长线于点F．线段DF与BE具有怎样的数量和位置关系？请证明你的猜想；
【拓展提升】
（3）如图3，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，E是AB上一点，DE绕点E顺时针旋转90°得FE，AE绕点E顺时针旋转90°得GE，当BE＝2AE时，求四边形CFHG的面积．
2024-2025学年浙江省杭州外国语学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一.选择题：（每题3分，共30分）
1．【解答】解：两边都除以2b，得
＝，
故选：B．
2．【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，点P到圆心O的距离为3cm，
即点P到圆心O的距离小于圆的半径，
∴点P在⊙O内，
故选：A．
3．【解答】解：A．在足球赛中，弱队战胜强队是随机事件，故此选项不符合题意；
B．校园排球比赛，九年级一班获得冠军是随机事件，故此选项不符合题意，
C．从煮熟的鸡蛋里孵出小鸡是不可能事件，故此选项不符合题意，
D．6月1日是儿童节是必然事件，故此选项符合题意，
故选：D．
4．【解答】解：将抛物线y＝x2﹣1的图象先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，
得到的抛物线的解析式是y＝（x+1）2﹣1+2＝x2+2x+1﹣1+2＝x2+2x+2．
故选：A．
5．【解答】解：A、由一次函数的图象可知a＜0，由二次函数的图象可知a＜0，两者相吻合；
B、由一次函数的图象可知a＜0，由二次函数的图象可知a＞0，两者相矛盾；
C、由一次函数的图象可知a＞0，由二次函数的图象可知a＜0，两者相矛盾；
D、由一次函数的图象可知a＞0，由二次函数的图象可知a＞0，两者相吻合．
又函数y＝﹣a（x+a）＝﹣ax﹣a2的常数项﹣a2一定小于零，函数y＝﹣a（x+a）与y轴一定相交于负半轴．
故选：D．
6．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴△DEF∽△BEC，
∴，
∵EF＝1，EC＝3，
∴，
即，
∴，
∵AB∥CD，
∴△DFC∽△AFG，
∴，
∵EF＝1，EC＝3，
∴CF＝4，
∴，
∴GF＝8，
故选：C．
7．【解答】解：由题意，根据表格数据，图象过（2，20.17），（4，20.17），
∴对称轴是直线x＝＝3．
∴令y＝0，方程ax2+bx+c＝0的两根x1，2＝满足＝﹣＝3．
∴x1+x2＝6．
又对称轴是直线x＝3，
∴当x＝7时的函数值与当x＝﹣1时的函数值相等．
又∵当x＝7时，y＝1，
∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝1．
∴＝1×6＝6．
故选：B．
8．【解答】解：，
由①得，x≤a，
由②得，x＞，
可见，a取﹣3，﹣2，﹣1，0时，不等式组无解；
解分式方程﹣＝3得，
x＝，
当a取﹣3，﹣1，1时，分式方程有整数解，
当a取﹣1时，分式方程x＝2是增根．
综上，a取﹣3时，符合题意，P＝．
故选：A．
9．【解答】解：当0≤x≤6时，如图，
∵三个动点同速，
∴三个动点路程相等，
∴AP1＝BP2＝CP3＝x，
∵AB＝BC＝6，
∴BP1＝CP2＝6﹣x，
∴y＝S△P1P2P3＝S梯形P1BCP3﹣S△P1BP2﹣S△P2CP3＝（6﹣x+x）×6﹣（6﹣x）•x﹣（6﹣x）•x＝x2﹣6x+18，
当6＜x≤12时，如图，
此时AB+BP1＝BC+CP2＝CP3＝x，
∴BP1＝CP2＝x﹣6，
∴CP1＝12﹣x，P2P3＝6，
∴y＝S△P1P2P3＝×6（12﹣x）＝36﹣3x，
∴结合两个函数判断B符合题意．
故选：B．
10．【解答】解：设A'B'与AD交于点Q，如图所示：

∵，
∴设AB＝2k，BC＝3k，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD＝2k，AD＝BC＝3k，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵点B'是CD的中点，
∴B'C＝B'D＝k，
设BM＝x，
由翻折的性质得：A'B'＝AB＝2k，B'M＝BM＝x，A'N＝AN，
∠A'B'M＝∠B＝90°，∠A'＝A＝90°，
在Rt△B'CM中，CM＝BC﹣BM＝3k﹣x，B'C＝k，B'M＝x，
由勾股定理得：B'M2＝B'C2+CM2，
∴x2＝k2+（x﹣3k）2，
解得：x＝，
∴B'M＝，CM＝，
∵∠CB'M+∠B'MC＝90°，∠CB'M+∠DB'Q＝90°，
∴∠B'MC＝∠DB'Q，
又∵∠C＝∠D＝90°，
∴△B'MC∽△QB'D，
∴B'C：DQ＝CM：B'D，
∴，
∴DQ＝，
在Rt△QB'D中，由勾股定理得：QB'＝＝，
∴A'Q＝A'B'﹣QB'＝，
∴DQ＝A'Q＝，
在△QDB'和△QA'N中，
，
∴△QDB'≌△QA'N（ASA），
∴QB'＝QN＝，
∴AN＝AD﹣DQ﹣QN＝＝k，
依题意得：．
故选：D．
二.填空题：（每题3分，共18分）
11．【解答】解：从“hangzhu”中随机抽取一个字母，共有8种等可能的结果，其中抽中字母h的结果有2种，
∴抽中字母h的概率为．
故答案为：．
12．【解答】解：∵函数是关于x的二次函数，
∴，
由a2+1＝2，解得：a＝±1，
由a+1≠0，解得：a≠﹣1，
∴a＝1，
故答案为：1．
13．【解答】解：设正方形MNPQ的边长为x cm，则ED＝x cm，AE＝AD﹣x＝（6﹣x）cm．
∵四边形MNPQ是正方形，
∴PQ∥BC．
∴△APQ∽△ACB．
又∵AD⊥BC，
∴＝．
∵PQ＝x cm，AE＝（6﹣x）cm，BC＝12cm，AD＝6cm，
∴＝，
解得x＝4．
故答案为：4cm．
14．【解答】解：作OM⊥CD于点M，连接OC，则CM＝CD，
∵BE＝1，AE＝5，
∴OC＝AB＝＝＝3，
∴OE＝OB﹣BE＝3﹣1＝2，
∵Rt△OME中，∠AEC＝30°，
∴OM＝OE＝×2＝1，
在Rt△OCM中，
∵OC2＝OM2+MC2，即32＝12+CM2，解得CM＝2，
∴CD＝2CM＝2×2＝4．
答：CD的长为4．
15．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，
∴开口向下，a＜0，
∵图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，
∴，
∴b＝﹣4a＞0，
∵抛物线与y轴交点在A（0，1）和B（0，2）之间（不与AB重合）．
∴1＜c＜2，
∴abc＜0，
故①错误；
∵b＝﹣4a＞0，
∴4a+b＝0，
故③正确；
∵如图：
则图象过点（﹣1，0），抛物线开口向下，
把x＝﹣3代入y＝ax2+bx+c（a≠0），
∴y＝9a﹣3b+c＜0，
∴9a+c＜3b，
故②错误；
∵则图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（5，0）
∵抛物线开口向下
∴当y＞0时，﹣1＜x＜5
故④正确的；
把（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+c（a≠0），
得0＝a﹣b+c，
∵4a+b＝0，
∴0＝a+4a+c，
∴c＝﹣5a，
∵1＜c＜2，
∴，
故⑤正确的，
故选：B．
三、解答题：（本题有8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【解答】解：（1）如图，圆心M是弦AB，BC垂直平分线的交点，坐标是（2，0），
故答案为：（2，0）．
（2）∵A（0，4），M（2，0），
∴OM＝2，OA＝4，
∴MA＝＝2，
∴⊙M的半径为2．
18．【解答】解：（1）7÷14%＝50（人），
答：共有50名学生参与了本次问卷调查．
，
答：“厨艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是64.8°，
故答案为：50，64.8；
（2）选择陶艺的人数有：50﹣9﹣18﹣7＝16（人），
补全条形统计图如下：
（3）列表如下：
一共有16中可能，小刚和小毅恰好选到同一门课程的情况有4种，
∴小刚和小毅恰好选到同一门课程的情况的概率有：．
19．【解答】解：（1）设二次函数的关系式为y＝a（x﹣h）2+k，
∵抛物线的顶点为（1，4），
∴二次函数的关系式为y＝a（x﹣1）2+4．
∵抛物线经过点（3，0），
∴二次函数的关系式为0＝a（3﹣1）2+4，
解得a＝﹣1，
∴二次函数的关系式为y＝﹣（x﹣1）2+4．
当x＝0时，y＝3，
∴点B（0，3）．
∵直线AB经过点A，B，
∴，
解得，
∴直线AB的关系式为y＝﹣x+3，
故答案为：y＝﹣（x﹣1）2+4，y＝﹣x+3；
（2）当x＝﹣2时，y＝﹣5，
当﹣2＜x＜1时，函数值y随着x的增大而增大，最大值为4，当1≤x＜2时，函数值y随着x的增大而减小，
∴﹣5＜y1＜4，
故答案为：﹣5＜y1＜4；
（3）当x＝0时，当x＝3时，y1＝y2，
∴当x＜0时，y1＜y2；
当x＞3时，y1＜y2．
所以当y1＜y2时，x的取值范围是x＜0或x＞3，
故答案为：x＜0或x＞3．
20．【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A＝∠D＝90，
∵∠BEF＝90°，
∴∠ABE+∠AEB＝∠AEB+∠DEF＝90°，
∴∠ABE＝∠DEF，
∴△ABE∽△DEF；
（2）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD＝CD＝6，AD∥BG，
∵CF＝3FD，
∴DF＝1.5，
设DE＝x，
∵△ABE∽△DEF，
∴，
即，
解得：x＝3，
∴DE＝3，
∵AD∥BG，
∴∠DEF＝∠G，
∵∠DFE＝∠CFG
∴△CGF∽△DEF，
∴，
∵CF＝3FD，
∴，
∴CG＝9，
∴BG＝BC+CG＝15．
21．【解答】（1）证明：∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
∴∠COE＝2∠A，
∵∠BOD＝2∠A，
∵∠BOD＝2∠A，
∴∠COE＝∠BOD，
∵OE＝OE，
∴△OCE≌△ODE，
∴∠CEO＝∠DEO＝90°，
∴AB⊥CD．
（2）解：∵AE：EB＝3：1，OA＝OB，
∴OB：EB＝2：1，
∵OB＝OC＝4，
∴OE＝EB＝2，
∵AB⊥CD，
∴CE＝＝2，
∴CD＝4．
22．【解答】解：（1）当x＝35时，y＝﹣2×35+140＝70
（35﹣30）×70＝350（元）
答：当每件售价35元时，每天的利润是350元．
（2）根据题意得：（x﹣30）（﹣2x+140）＝600，
整理得：x2﹣100x+2400＝0，
解得：x1＝40，x2＝60（不符合题意，舍去）．
答：每件商品的售价应定为40元．
（3）根据题意，设每天的利润为w：w＝（x﹣30）（﹣2x+140）＝﹣2x2+200x﹣4200＝﹣2（x﹣50）2+800，
∵﹣2＜0，
∴当x＝50时，w有最大值800，即这种商品每天获取的最大利润为800元．
答：商场销售这种商品每天获取的最大利润为800元．
23．【解答】解：（1）把点A（﹣2，0）和点B（6，0）代入，得：
，
解得，
∴；
（2）当x＝0时，y＝﹣6，
∴C（0，﹣6），
∴CO＝6，
方法一：如图1，连接OP，
设点，
∴，，
∵，
∴S△PBC＝S四边形PBOC﹣S△BOC
＝（S△POC+S△POB）﹣S△BOC
＝
＝，
∴当m＝3时，，此时；
方法二：如图2，作PQ⊥AB于Q，交BC于点D，
设BC解析式为：y＝kx+t，将B（6，0），C（0，﹣6）代入得：
，
解得，
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣6，
∴D（m，m﹣6），
∴，
∴，
∴当m＝3时，，此时；
（3）如图3，
当四边形ACFE为平行四边形时，AE∥CF，
∵抛物线对称轴为直线：x＝2，C（0，﹣6），
∴F1点的坐标：（4，﹣6）；
如图4，当四边形ACEF为平行四边形时，AC＝EF，
作FG⊥AE于G，
∴∠FGO＝∠COA＝90°，
∵AC∥FE，
∴∠CAO＝∠FEG，
在△AOC和△FEG中，
，
∴△AOC≌△EGF（AAS），
∴FG＝OC＝6，
当y＝6时，，
∴，，
∴，，
综上所述：F（4，﹣6）或或．
24．【解答】解：（1）BE＝DF，BE⊥DF，理由如下，如图1，
延长BE交DF于点H，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝∠DCF＝90°，
∵CE＝CF，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴BE＝DF，∠CDF＝∠CBE，
在△DHE和△BCE中，
∵∠DEH＝∠BEC，
∴∠DHE＝∠BCE＝90°，即BE⊥DF；
（2）＝，DF⊥BE，理由如图下，如图2，延长BE交DF于H，
由折叠得，点D与点D′关于BE对称，
∴BE⊥DD′，即BE⊥DF，
∴∠DHE＝∠BCE＝90°，
在△DHE和△BCE中，
∵∠DEH＝∠BEC，
∴∠CDF＝∠CBE，
∵∠BCD＝∠DCF，
∴△BCE∽△CDF，
∴DF：BE＝CD：BC＝3：4，即＝；
（3）如图3，连接FG并延长交AD于点T，交DE于S，过E作MN⊥BC于N，交DA的延长线于M，
由旋转得，AE＝EG，DE＝EF，∠AEG＝∠DEF＝90°，
∴∠AED＝∠GEF，
∴△ADE≌△EGF（SAS），
∴GF＝AD＝6，
∠ADE＝∠EFG，
在△TSD和△EFS中，
∵∠ESF＝∠TSD，
∴∠DTS＝∠FES＝90°，
∵AD∥BC，
∴GF⊥BH，
∵AB＝6，BE＝2AE，
∴AE＝2，BE＝4，
∵∠B＝60°，
∴BN＝2，
∴EN＝＝2，
∵AD∥BC，
∴∠MAE＝60°，
∴AM＝1，MD＝6+1＝7，
∴ME＝＝，MN⊥BC，
∴∠NHE+∠NEH＝90°，
∵∠NEH+∠MED＝90°，
∴∠EHN＝∠MED，
∵∠EMD＝∠ENH＝90°，
∴△MED∽△EHN，
∴NH：ME＝EN：MD，即NH：＝2：7，
∴NH＝，
∴HC＝6﹣2﹣＝，
∴S四边形CFHG＝HC•GF＝×6×＝．
x
2
4
7
y
20.17
20.17
1
厨艺
绘画
陶艺
街舞
厨艺
（厨艺，厨艺）
（绘画，厨艺）
（陶艺，厨艺）
（街舞，厨艺）
绘画
（厨艺，绘画）
（绘画，绘画）
（陶艺，绘画）
（街舞，绘画）
陶艺
（厨艺，陶艺）
（绘画，陶艺）
（陶艺，陶艺）
（街舞，陶艺）
街舞
（厨艺，街舞）
（绘画，街舞）
（陶艺，街舞）
（街舞，街舞）