2024-2025学年广东省惠州光正实验数学九年级第一学期开学考试模拟试题【含答案】

这是一份2024-2025学年广东省惠州光正实验数学九年级第一学期开学考试模拟试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如果与最简二次根式是同类二次根式，则的值是( )
A．B．C．D．
2、（4分）菱形具有平行四边形不一定具有的特征是( )
A．对角线互相垂直B．对角相等C．对角线互相平分D．对边相等
3、（4分）若分式的值为0，则的取值为（ ）
A．B．1C．D．
4、（4分）用一长一短的两根木棒，在它们的中心处固定一个小螺钉，做成一个可转动的叉形架，四个顶点用橡皮筋连成一个四边形，转动木条，这个四边形变成菱形时，两根木棒所成角的度数是（ ）
A．90°B．60°C．45°D．30°
5、（4分）如图，已知正比例函数与一次函数的图象交于点.下面四个结论中正确的是（ ）
A．B．
C．当时，D．当时，
6、（4分）在平面直角坐标系中，点(–1，–2)在第( )象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
7、（4分）计算的结果为（ ）
A．B．C．3D．5
8、（4分）如图 ，在中□ABCD 中，点 E、F 分别在边 AB、CD 上移动，且 AE＝CF，则四边形DEBF 不可能是( )
A．平行四边形B．梯形C．矩形D．菱形
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点B，C的坐标分别为(1，0)，(3，0)，过坐标原点O的一条直线分别与边AB，AC交于点M，N，若OM＝MN，则点M的坐标为______________．
10、（4分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝2，AC＝3，则BC的长是______.
11、（4分）如图，四边形ACDF是正方形，和都是直角，且点三点共线，，则阴影部分的面积是__________．
12、（4分）已知a+b＝0目a≠0，则＝_____．
13、（4分）如图，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，...，△AnBnAn+1都是等腰直角三角形，其中点A1、A2、…、An，在x轴上，点B1、B2、…Bn在直线y=x上，已知OA1=1，则OA2019的长是_____.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，一次函数y＝2x+4的图象与x、y轴分别相交于点A、B，四边形ABCD是正方形．
（1）求点A、B、D的坐标；
（2）求直线BD的表达式．
15、（8分）如图，正方形网格的每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点都在格点上．
（1）分别求出AB，BC，AC的长；
（2）试判断△ABC是什么三角形，并说明理由．
16、（8分）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F．
（1）求证：BF=CD；
（2）连接BE，若BE⊥AF，∠F=60°，，求的长．
17、（10分）某商店计划购进A、B两种型号的电动自行车共30辆，其中A型电动自行车不少于20辆，A、B两种型号电动自行车的进货单价分别为2500元、3000元，售价分别为2800元、3500元，设该商店计划购进A型电动自行车m辆，两种型号的电动自行车全部销售后可获利润y元．
（1）求出y与m之间的函数关系式；
（2）该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？
18、（10分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点
(1)在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形；
(2)在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，，．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，△ABC与△A'B'C'是位似图形，点O是位似中心，若OA=2AA'，S△ABC=8，则S△A'B'C'=___．
20、（4分）从1、2、3、4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数两倍的概率是 .
21、（4分）计算：÷＝_____．
22、（4分）如图，▱ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，AD＝8，点E，F分别是边BC，AD的中点，点M是AE与BF的交点，点N是CF与DE的交点，则四边形ENFM的周长是______．
23、（4分）如图，点A，B在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，点C，D在反比例函数y＝(k＞0)的图象上，AC∥BD∥y轴，已知点A，B的横坐标分别为1，2，△OAC与△ABD的面积之和为，则k的值为_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）已知矩形0ABC在平面直角坐标系内的位置如图所示，点0为坐标原点，点A的坐标为(10，0)，点B的坐标为(10，8)，点Q为线段AC上-点，其坐标为(5，n).
(1)求直线AC的表达式
(2)如图，若点P为坐标轴上-动点，动点P沿折线AO→0C的路径以每秒1个单位长度的速度运动，到达C处停止求Δ0PQ的面积S与点P的运动时间t(秒)的函数关系式.
(3)若点P为坐标平面内任意-.点，是否存在这样的点P，使以0，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形?若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由.
25、（10分）如图，小明为测量一棵树的高度，他在距树处立了一根高为的标杆，然后小明调整自己的位置至，此时他与树相距，他的眼睛、标杆的顶端和树顶端在同一直线上．已知，求树的高度．
26、（12分）某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨2.5元收费，如果超过20吨，未超过的部分按每吨2.5元收费，超过的部分按每吨3.3元收费．
（1）若该城市某户6月份用水18吨，该户6月份水费是多少？
（2）设某户某月用水量为x吨（x＞20），应缴水费为y元，求y关于x的函数关系式．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
根据同类二次根式的定义得出5+a=3，求出即可．
【详解】
∵与最简二次根式是同类二次根式，，∴5+a=3，解得：a=﹣1．
故选B．
本题考查了同类二次根式和最简二次根式，能根据同类二次根式的定义得出5+a=3是解答此题的关键．
2、A
【解析】
根据平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分；菱形的性质：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角进行解答即可．
【详解】
菱形具有但平行四边形不一定具有的是对角线互相垂直，
故选A．
本题主要考查了菱形和平行四边形的性质，关键是熟练掌握二者的性质定理．
3、A
【解析】
根据分式的值为0的条件列式求解即可．
【详解】
根据题意得，x+1=0且x−1≠0，
解得x=−1.
故选A
此题考查分式的值为零的条件，难度不大
4、A
【解析】
根据菱形的判定方法即可解决问题；
【详解】
解：如图，∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形，
故选：A．
本题考查菱形的判定，解题的关键是熟练掌握类型的判定方法，属于中考常考题型.
5、A
【解析】
利用两函数图象结合与坐标轴交点进而分别分析得出答案.
【详解】
∵，经过第一、三象限，
∴a>0，故A正确；
∵与y轴交在负半轴，
∴b>0，故B错误；
∵正比例函数，经过原点，
∴当x<0时, ；故C错误；
当x>2时, ，故D错误。
故选：A.
此题考查一次函数和正比例函数的图象与性质，解题关键在于结合函数图象进行判断.
6、C
【解析】分析：根据在平面直角坐标系中点的符号特征求解即可.
详解：∵-1<0,-2<0,
∴点(–1，–2)在第三象限．
故选C.
点睛：本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征.第一象限内点的坐标特征为（+，+），第二象限内点的坐标特征为（-，+），第三象限内点的坐标特征为（-，-），第四象限内点的坐标特征为（+，-），x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0.
7、C
【解析】
针对二次根式化简，零指数幂2个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果：
．故选C．
8、B
【解析】
由于在平行四边形ABCD中AB=CD，而AE=CF，由此可以得到BE=DF，根据平行四边形的判定方法即可判定其实平行四边形，所以不可能是梯形．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
又AE=CF，
∴BE=DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，所以不可能是梯形．
故选：B．
本题考查平行四边形的性质，注意：一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，如：等腰梯形．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、 (，)
【解析】
∵B（1，0），C（3，0），
∴OB=1，OC=3，
∴BC=2，
过点N作EN∥OC交AB于E，过点A作AD⊥BC于D，NF⊥BC于F，
∴∠ENM=∠BOM，
∵OM=NM，∠EMN=∠BMO，
∴△ENM≌△BOM，
∴EN=OB=1，
∵△ABC是正三角形，
∴AD=，BD=BC=1，
∴OD=2，
∴A（2，），
∴△AEN也是正三角形，
∴AN=EN=1，
∴AN=CN，
∴N，
∴M(，)
故答案为(，)
10、
【解析】
在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝2，则斜边AB＝2CD＝1，则根据勾股定理即可求出BC的长．
【详解】
解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，CD＝2，
∴AB＝2CD＝1．
∴BC＝＝＝．
故答案为：．
本题主要考查直角三角形中斜边上的中线的性质及勾股定理，掌握直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半是解题的关键．
11、8
【解析】
【分析】证明△AEC≌△FBA，根据全等三角形对应边相等可得EC=AB=4，然后再利用三角形面积公式进行求解即可.
【详解】∵四边形ACDF是正方形，
∴AC=FA，∠CAF=90°，
∴∠CAE+∠FAB=90°，
∵∠CEA=90°，∴∠CAE+∠ACE=90°，
∴∠ACE=∠FAB，
又∵∠AEC=∠FBA=90°，
∴△AEC≌△FBA，
∴CE=AB=4，
∴S阴影==8，
故答案为8.
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，三角形面积等，求出CE=AB是解题的关键.
12、1
【解析】
先将分式变形，然后将代入即可．
【详解】
解：
，
故答案为1
本题考查了分式，熟练将式子进行变形是解题的关键．
13、1
【解析】
根据一次函数的性质可得∠B1OA1=45°，然后求出△OA2B2是等腰直角三角形，△OA3B2是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半求出OA3，同理求出OA4，然后根据变化规律写出即可．
【详解】
解：∵直线为y=x，
∴∠B1OA1=45°，
∵△A2B2A3，
∴B2A2⊥x轴，∠B2A3A2=45°，
∴△OA2B2是等腰直角三角形，△OA3B2是等腰直角三角形，
∴OA3=2A2B2=2OA2=2×2=4，
同理可求OA4=2OA3=2×4=23，
…，
所以，OA2019=1．
故答案为：1.
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，熟记性质并确定出等腰直角三角形是解题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）A（﹣2，0），点B（0，1），D（2，﹣2）；（2）y＝﹣3x+1．
【解析】
(1)由于ー次函数y=2x+1的图象与x、y轴分别相交于点A、B,所以利用函数解析式即可求出AB两点的坐标,然后过D作DH⊥x轴于H点,由四边形ABCD是正方形可以得到∠BAD=∠AOB=∠AHD=90°,AB=AD,接着证明△ABO≌△DAH,最后利用全等三角形的性质可以得到DH=AO=2,AH=BO=1,从而求出点D的坐标;
（2）利用待定系数法即可求解
【详解】
解：（1）∵当y＝0时，2x+1＝0，x＝﹣2．
∴点A（﹣2，0）．
∵当x＝0时，y＝1．
∴点B（0，1）．
过D作DH⊥x轴于H点，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠AOB＝∠AHD＝90°，AB＝AD．
∴∠BAO+∠ABO＝∠BAO+∠DAH，
∴∠ABO＝∠DAH．
∴△ABO≌△DAH．
∴DH＝AO＝2，AH＝BO＝1，
∴OH＝AH﹣AO＝2．
∴点D（2，﹣2）．
（2）设直线BD的表达式为y＝kx+b．
∴
解得 ，
∴直线BD的表达式为y＝﹣3x+1．
此题考查一次函数综合题，利用全等三角形的性质是解题关键
15、（1），，；（2）是直角三角形，理由见解析
【解析】
（1）根据勾股定理即可分别求出AB，BC，AC的长；
（2）根据勾股定理逆定理即可判断.
【详解】
解：（1）根据勾股定理可知：，，；
（2）是直角三角形，理由如下：
，，
，
是直角三角形．
此题考查的是勾股定理和勾股定理的逆定理，掌握用勾股定理解直角三角形和用勾股定理逆定理判定直角三角形是解决此题的关键.
16、（1）证明见解析（2）3
【解析】
试题分析：（1）已知四边形ABCD为平行四边形，根据平行四边形的性质可得AB=CD，AD∥BC，所以∠F=∠1．再由AF平分∠BAD，可得∠2=∠1．所以∠F=∠2，根据等腰三角形的判定可得AB=BF，即可得BF=CD；（2）先判定△BEF为Rt△，在Rt△BEF即可求解.
试题解析：
（1）证明：∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ AB=CD，AD∥BC．
∴∠F=∠1．
又∵ AF平分∠BAD，
∴∠2=∠1．
∴∠F=∠2．
∴AB=BF．
∴BF=CD．
（2）解：∵AB=BF，∠F=60°，
∴△ABF为等边三角形．
∵BE⊥AF，∠F=60°，
∴∠BEF=90°，∠3=30°．
在Rt△BEF中，设，则，
∴．
∴．
∴AB=BF=3．
17、（1）＝﹣200+15000（20≤m＜30）；（2） 购进A型电动自行车20辆，购进B型10辆，最大利润是11000元．
【解析】
（1）利润=一辆A型电动自行车的利润×A型电动自行车的数量+一辆B型电动自行车的利润×B型电动自行车的数量，依此列式化简即可；
（2）根据一次函数的性质，结合自变量的取值范围即可求解；
【详解】
解：（1）计划购进A型电动自行车辆，B型电动自行车（30-）辆，
＝（2800-2500）m+（3500﹣3000）（30﹣m），
＝﹣200+15000（20≤m＜30），
（2）∵20≤＜30，且随的增大而减小可得，＝20时，有最大值，
＝﹣200×20+15000＝11000，
购进A型电动自行车20辆，购进B型10辆，最大利润是11000元．
本题考查了一次函数的应用，解题的关键是求出y与m之间的函数关系式．
18、 (1)详见解析；（2）详见解析.
【解析】
（1）直接利用勾股定理结合网格得出符合题意的图形，
（2）直接利用勾股定理结合网格得出符合题意的图形.
【详解】
解：（1）如图1所示：正方形ABCD即为所求；
（2）如图2所示：三角形ABC即为所求．
本题考查了利用勾股定理求直角三角形的边长，熟练掌握定理即可求解.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1．
【解析】
解：由题易知△ABC∽△A′B′C′，
因为OA＝2AA′，所以OA′＝OA＋AA′＝3AA′，
所以，
又S△ABC＝8，所以．
故答案为：1．
20、
【解析】
从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，
有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6种情况；
其中其中一个数是另一个的两倍的有两种，即（1，2），（2，4）；
则其概率为；
21、1
【解析】
直接利用二次根式的除法运算法则得出即可．
【详解】
解：÷＝=1.
故答案为1．
本题考查二次根式的除法运算，根据二次根式的运算法则得出是解题关键．
22、4＋4
【解析】
连接EF，点E、F分别是边BC、AD边的中点，可知BE=AF=AB=4，可证四边形ABEF为菱形，根据菱形的性质可知AE⊥BF，且AE与BF互相平分，∠ABC=60°，△ABE为等边三角形，ME=F=4，由勾股定理求MF，根据菱形的性质可证四边形MENF为矩形，再求四边形ENFM的周长．
解：连接EF，
∵点E、F分别是边BC、AD边的中点，
∴BE=AF=AB=4，
又AF∥BE，
∴四边形ABEF为菱形，由菱形的性质，得AE⊥BF，且AE与BF互相平分，
∵∠ABC=60°，∴△ABE为等边三角形，ME=F=4，
在Rt△MEF中，由勾股定理，得MF=，
由菱形的性质，可知四边形MENF为矩形，
∴四边形ENFM的周长=2（ME+MF）=4+4．
故答案为4+4
23、1
【解析】
过A作x轴垂线，过B作x轴垂线，求出A（1，1），B（2，），C（1，k），D（2，），将面积进行转换S△OAC＝S△COM﹣S△AOM，S△ABD＝S梯形AMND﹣S梯形AAMNB进而求解．
【详解】
解：过A作x轴垂线，过B作x轴垂线，
点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点A，B的横坐标分别为1，2，
∴A（1，1），B（2，），
∵AC∥BD∥y轴，
∴C（1，k），D（2，），
∵△OAC与△ABD的面积之和为，
，
S△ABD＝S梯形AMND﹣S梯形AAMNB，
，
∴k＝1，
故答案为1．
本题考查反比例函数的性质，k的几何意义．能够将三角形面积进行合理的转换是解题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、 (1) ； (2) 当点P在A0上运动时，S=2t+20 ，当点P在0C上运动时，S (10≤t≤18) ；(3)点P的坐标为(5，12)，(5，-4)，(-5，4)
【解析】
（1）由矩形的性质可得出点C的坐标，根据点A，C的坐标，利用待定系数法可求出直线AC的解析式；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点Q的坐标，分点P在OA和点P在OC上两种情况，利用三角形的面积公式可找出S与t之间的函数关系式；
（3）分OC为对角线、OQ为对角线以及CQ为对角线三种情况，利用平行四边形的性质（对角线互相平分）即可求出点P的坐标．
【详解】
解：(1)没直线AC的解析式为y=kx+b，
由题知C(0，8)，A(10，0)
∴
解之得
∴
(2)∵Q(5，n)在直线上
∴n=4
∴Q(5，4)
当点P在A0上运动时，
=2t+20
当点P在0C上运动时，
(10≤t≤18)
(3) 设点P的坐标为（a，c），分三种情况考虑（如图2）：
①当OC为对角线时，∵O（0，0），C（0，8），Q（5，4），
∴ ，解得： ，
∴点P1的坐标为（-5，4）；
②当OQ为对角线时，∵O（0，0），C（0，8），Q（5，4），
∴ ，解得： ，
∴点P2的坐标为（5，-4）；
③当CQ为对角线时，∵O（0，0），C（0，8），Q（5，4），
∴ ，解得： ，
∴点P3的坐标为（5，12）．
综上所述：存在点P，使以O，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，点P的坐标为（-5，4），（5，-4），（5，12）．
故答案为：(1) ； (2) 当点P在A0上运动时，S=2t+20 ，当点P在0C上运动时，S (10≤t≤18) ；(3)点P的坐标为(5，12)，(5，-4)，(-5，4) ．
本题考查矩形的性质、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）分点P在OA和点P在OC上两种情况，找出S关于t的函数关系式；（3）分OC为对角线、OQ为对角线以及CQ为对角线三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分求出点P的坐标．
25、6
【解析】
过点A作AN∥BD交CD于N，交EF于M，判断△AEM∽△ACN，利用对应边成比例求出CN，继而得到树的高度．
【详解】
解：过点A作AN∥BD交CD于N，交EF于M，
∵人、标杆、树都垂直于地面，
∴∠ABF＝∠EFD＝∠CDF＝90°，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠EMA＝∠CNA，
∵∠EAM＝∠CAN，
∴△AEM∽△ACN，
∴，
∵AB＝1.6m，EF＝2m，BD＝22m，FD＝20m，
∴，
解得：CN＝4.4m，
则树的高度为4.4+1.6＝6m．
本题考查了相似三角形的应用，解答本题的关键是作出辅助线，构造相似三角形，注意掌握相似三角形的性质：对应边成比例．
26、（1）该户6月份水费是45元；（2）y=3.3x-1．
【解析】
（1）每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨2.5元收费，而该城市某户6月份用水18吨，未超过20吨，根据水费=每吨水的价格×用水量，即可得出答案；
（2）如果超过20吨，未超过的部分按每吨2.5元收费，超过的部分按每吨3.3元收费，设某户某月用水量为x吨，那么超出20吨的水量为（x-20）吨，根据水费=每吨水的价格×用水量，即可得出答案．
【详解】
解：（1）根据题意：该户用水18吨，按每吨2.5元收费，
2.5×18=45（元），
答：该户6月份水费是45元；
（2）设某户某月用水量为x吨（x＞20），超出20吨的水量为（x-20）吨，
则该户20吨的按每吨2.5元收费，（x-20）吨按每吨3.3元收费，
应缴水费y=2.5×20+3.3×（x-20），
整理后得：y=3.3x-1，
答：y关于x的函数关系式为y=3.3x-1．
本题考查的是一次函数的应用，理清题意，找出各数量间的数量关系，正确得出函数关系式是解题关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分