2025届高考数学一轮知识清单专题02 常用逻辑用语归类 （解析版）

这是一份2025届高考数学一轮知识清单专题02 常用逻辑用语归类 （解析版），共29页。学案主要包含了小问1详解，小问2详解，小问3详解等内容，欢迎下载使用。

目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc11735" 题型一：命题概念及命题真假 PAGEREF _Tc11735 \h 1
\l "_Tc28306" 题型二：充分不必要条件 PAGEREF _Tc28306 \h 3
\l "_Tc25773" 题型三：充分条件求参 PAGEREF _Tc25773 \h 5
\l "_Tc23845" 题型四：必要不充分条件 PAGEREF _Tc23845 \h 7
\l "_Tc6710" 题型五：必要条件求参 PAGEREF _Tc6710 \h 9
\l "_Tc22200" 题型六：充要条件 PAGEREF _Tc22200 \h 11
\l "_Tc1376" 题型七：充要条件求参型 PAGEREF _Tc1376 \h 13
\l "_Tc3275" 题型八：“地图型”条件的判定 PAGEREF _Tc3275 \h 14
\l "_Tc15509" 题型九：充要条件综合应用 PAGEREF _Tc15509 \h 16
\l "_Tc6795" 题型十：命题的否定 PAGEREF _Tc6795 \h 21
\l "_Tc14938" 题型十一：全称与特称命题真假求参 PAGEREF _Tc14938 \h 22
\l "_Tc26824" 题型十二：新定义型简易逻辑压轴题 PAGEREF _Tc26824 \h 24
题型一：命题概念及命题真假
判断命题的真假：
直接法：应用所学过的基本事实和定理进行判断
2.反例法：举出命题所涉及到的知识中的反例即可。
1．（23-24高三·上海·模拟）已知命题：“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，给出下列命题，其中真命题的个数是（ ）
①中的元素都不是的元素；②中有不属于的元素；
③中有的元素；④中的元素不都是的元素.
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】由题意可得集合不是的子集．由此结合子集的定义与集合的运算性质，逐项判断即可.
【详解】根据命题"非空集合的元素都是集合的元素"是假命题，可得不是的子集
对于①，集合虽然不是所有元素都在中，但有可能有属于的元素，因此①是假命题；
对于②，因为不是的子集，所以必定有不属于的元素，故②是真命题；同理不能确定有没有的元素，故③是假命题；
对于④，由子集的定义可得，既然不是的子集，那么必定有一些不属于的元素，因此的元素不都是的元素，可得④是真命题.
故选：B.
2．（2022·安徽蚌埠·模拟预测）下列四个命题中，是假命题的是（ ）
A．，且
B．，使得
C．若x＞0，y＞0，则
D．若，则的最小值为1
【答案】A
【分析】A举反例，B找一个满足条件的，C基本不等式的应用，D分离常数结合基本不等式.
【详解】解析：选A.对于A，，且对x＜0时不成立；
对于B，当x＝1时，x2＋1＝2，2x＝2，成立，正确；
对于C，若x＞0，y＞0，则，化为，当且仅当时取等号，C正确；
对于D，，因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号.故y的最小值为1，D正确.
故选：A
3．（23-24高三·上海闵行·阶段练习）已知是非空数集，如果对任意，，都有，，则称是封闭集.给出两个命题：命题：若非空集合，是封闭集，则是封闭集；命题：若非空集合，是封闭集，且，则是封闭集.则（ ）
A．命题真命题真B．命题真命题假
C．命题假命题真D．命题假命题假
【答案】C
【分析】对命题举反例说明即可；对于命题：设，由是封闭集，可得，从而判断为正确；
【详解】对命题：令，则集合是封闭集，
故，
但，故不是封闭集，故命题假；
对于命题：设，则有，又因为集合是封闭集，
所以，
同理可得，
所以，
所以是封闭集，故命题真；
故选：C
4．（22-23高三·上海浦东新·模拟）十七世纪法国数学家费马提出猜想：“当整数时，关于，，的方程没有正整数解”．经历百多年，于二十世纪九十年代中期由美国数学家安德鲁怀尔斯证明了费马猜想，使它终成为费马大定理根据前面叙述，则下列命题正确的个数为（ ）
（1）存在至少一组正整数组是关于，，的方程的解；
（2）关于，的方程有正有理数解；
（3）关于，的方程没有正有理数解；
（4）当整数时关于，，的方程有正实数解
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】当整数时方程没有正整数解，（1）错误，，没有正有理数解，（2）错误，（3）正确，当，满足条件，（4）正确，得到答案.
【详解】当整数时，关于，，的方程没有正整数解，故方程没有正整数解，（1）错误；
没有正整数解.即，，没有正有理数解，（2）错误，（3）正确；
方程，当，满足条件，故有正实数解，（4）正确.
故选：C
5．（21-22高三·上海·模拟）给出以下命题：①若，且，则；②，是的必要条件；③，则是为纯虚数的充要条件；④，若，则或．
其中正确的命题有（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】①根据虚数不能比较大小判断；②举例，结合实数能比较大小判断；③举例判断；④直接利用复数的乘法判断.
【详解】①因为都是虚数，而虚数不能比较大小，故错误；
②因为，如，满足，由于虚数不能比较大小，所以推不出，不充分，当，则为实数，所以，必要，故正确；
③因为，如，满足，推不出为纯虚数，故不充分，故错误；
④因为，设，则，所以，所以，所以，两式相加整理得：，则或，所以或，故正确
故选：B
【点睛】本题主要考查有关复数的命题的真假判断，还考查了理解辨析，分析求解问题的能力，属于中档题.
6.（2024年新高考2）已知命题p：，；命题q：，，则（ ）
A. p和q都是真命题B. 和q都是真命题
C. p和都是真命题D. 和都是真命题
【答案】B
【解析】
【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.
【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题，
对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题，
综上，和都是真命题.
故选：B.
题型二：充分不必要条件
充分条件的判断方法
(1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题．
(2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件
1．（2023·江苏苏州·模拟）记方程①：，方程②：，方程③：，其中是正实数.若成等比数列，则“方程③无实根”的一个充分条件是（ ）
A．方程①有实根，且②有实根B．方程①有实根，且②无实根
C．方程①无实根，且②有实根D．方程①无实根，且②无实根
【答案】B
【分析】根据判别式以及充分条件的定义逐项分析.
【详解】由题意，，其中；
对于A，如果有实根，则，如果有实根，
则，有可能大于等于，
则，即有可能大于等于0，即由①②不能推出③无实根，A不是充分条件；
对于B，有，则必有，即，方程无实根，
所以B是③无实根的充分条件；
对于C，有，，方程③有实根，C不是方程③无实根的充分条件；
对于D，有，q的值不确定，有可能小于，也有可能大于，
不能保证方程③无实根，例如，则，，
所以D不是方程③无实根的充分条件；
故选：B.
2．（2023·上海普陀·二模）设为实数，则“”的一个充分非必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由充分非必要条件定义，根据不等式的性质判断各项与推出关系即可.
【详解】由，则，可得，可推出，反向推不出，满足；
由，则，推不出，反向可推出，不满足；
由，则或或，推不出，反向可推出，不满足；
由，则，推不出，反向可推出，不满足；
故选：A
3．（2023·江西·二模）记全集为U，为p的否定，为q的否定，且的必要条件是q的必要条件，则（ ）
A．存在q的必要条件是q的充分条件B．
C．任意q的必要条件是的必要条件D．存在的充分条件是p的必要条件
【答案】D
【分析】利用反证法否定选项A；分别举反例否定选项B，C；举例验证选项D正确.
【详解】令的必要条件为k，则q的必要条件为k，即，
选项A：若存在q的必要条件是q的充分条件，则，则.判断错误；
选项B：由下图可得.判断错误；

选项C：如下图得，，
则q的必要条件m不是的必要条件.判断错误；

选项D：如下图得：，
则存在的充分条件是p的必要条件.判断正确.
故选：D
4．（23-24高三·湖南长沙·阶段练习）已知集合，，则是的（ ）
A．充分条件B．必要条件
C．既不是充分条件也不是必要条件D．充分必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件、必要条件的定义，结合子集的定义进行判断即可.
【详解】当时，，显然，
当时，也可以，不一定成立，
所以是的充分条件，
故选：A
5．（23-24高三·湖北襄阳·阶段练习）若集合，，则的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用简易逻辑的判定方法，集合之间的关系，不等式的性质即可得出答案.
【详解】因为集合，，
若，利用数轴，可求，
故的一个充分不必要条件是.
故选：D.
题型三：充分条件求参
用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤
(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系．
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．
(3)充分必要条件与集合包含之间的关系．
命题对应集合，命题对应集合是，则是的充分条件，是的必要条件，是的充要条件，是的充分不必要条件，是的必要不充分条件．
1．（23-24高三·江苏连云港·开学考试）若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先解，得到，再利用条件即可求出结果.
【详解】由，得到，
又不等式的一个充分条件为，所以，
故选：C.
2．（21-22高三·全国·课后作业）已知不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（ ）
A．或B．或
C．D．
【答案】D
【分析】由题意知，根据子集关系列式解得参数范围即可.
【详解】由题意得，
所以，且等号不能同时成立，解得.
故选：D.
3．（19-20高下·北京·开学考试）“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】根据充分条件与必要条件的判断，看条件与结论之间能否互推，条件能推结论，充分性成立，结论能推条件，必要性成立，由此即可求解.
【详解】若方程表示双曲线，
则或，
所以“”是“方程表示双曲线”的充分而不必要条件.
故选：A
【点睛】本题以双曲线的标准方程及充分必要条件的判断，考查理解辨析能力，属于基础题.
4．（20-21高三·浙江绍兴·模拟）中，角，，的对边分别为，，，则“”是“为锐角”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件
【答案】A
【解析】由题知:,结合余弦定理,可推出为锐角,反之无法推出,因此“”是“为锐角”的充分非必要条件.
【详解】①在中,若,
则,即,
,
,
为锐角,
即“”“为锐角”,
②若为锐角,则,即,
无法推出,
所以“为锐角”“”,
综上所述:“”是“为锐角”的充分非必要条件,
故选:A.
【点睛】本题考查了充分必要条件的判定,结合了基本不等式及余弦定理等相关知识,综合性较强.
5．（2023高三·全国·专题练习）若关于x的不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求出不等式的解集，利用充分条件的定义，结合集合的包含关系列式求解即得.
【详解】依题意，，解不等式，得，
由不等式成立的充分条件是，得，
于是，解得，
所以实数a的取值范围是.
故选：D
题型四：必要不充分条件
充分不必要条件判断
(1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件．
(2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件．
1．（22-23高三·四川绵阳·阶段练习）下列“若, 则”形式的命题中，是的必要条件的有（ ）个
① 若是偶数, 则是偶数
②若，则方程有实根
③若四边形的对角线互相垂直, 则这个四边形是菱形
④若，则
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】根据必要条件的概念找出符合要求的选项即可.
【详解】对于①，是偶数，不能保证，均是偶数，也有可能都是奇数，故①不符合题意；
对于②，若方程，则需满足，即，可推出，故②符合题意；
对于③，若四边形是菱形，则四边形对角线互相垂直，故③符合题意；
对于④，若，则，故④符合题意.
故选：D.
2．（2022·黑龙江·一模）已知a，，则“”的一个必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用否定ACD选项，进而得答案.
【详解】解：对于A选项，当时，，此时，故不是的必要条件，故错误；
对于B选项，当时，成立，反之，不成立，故是的必要条件，故正确；
对于C选项，当时，，但此时，故不是的必要条件，故错误；
对于D选项，当时，，但此时，故故不是的必要条件，故错误.
故选：B
3．（2021·江西·模拟预测）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件
【答案】B
【分析】根据充分性和必要性的判断方法来判断即可．
【详解】当时，若，不能推出，不满足充分性；
当，则，有，满足必要性；
所以“”是“”的必要不充分条件．
故选：B
4．（20-21高三·全国·单元测试）已知，为任意实数，则的必要不充分条件是（ ）
A．且B．或
C．且D．或
【答案】B
【分析】由充分必要条件的定义及特例即得.
【详解】由且可推出，故A错误；
若或不成立即且，则，即不成立，所以由可得或；令，满足或，不成立即由或推不出，故B正确；
令，成立，显然且不成立，或也不成立，故CD错误.
故选：B
5．（20-21高三·浦东新·阶段练习）已知，，则是的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．非充分非必要条件
【答案】B
【分析】直接利用不等式的性质判断充分条件和必要条件.
【详解】解：对于命题，可得到，但是与9没有关系，
当命题，整理，
即得到，故是的必要不充分条件.
故选：B.
【点睛】本题考查不等式的性质以及利用等价法判断必要不充分条件，考查学生的运算和推理能力，属于
题型五：必要条件求参
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且qp
p是q的必要不充分条件
pq且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的必要条件
pq且qp
1．（22-23高三·湖南衡阳·阶段练习）“方程的曲线是椭圆”的一个必要不充分条件是（ ）
A．“”B．“”
C．“”D．“”且“”
【答案】C
【分析】由椭圆的定义可列出满足的不等式组，从而求出的取值范围，再结合选项选出必要不充分条件．
【详解】因为方程的曲线是椭圆，
则由椭圆的定义可知：，解得：且，
所以“方程的曲线是椭圆”的充要条件为“且”，
“”推不出“且”，反之可推出，
所以“”是方程“的曲线是椭圆”的必要不充分条件．
所以“方程的曲线是椭圆”的必要不充分条件是：“”．
故选：C．
【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意利用集合的关系进行解题.
2．（23-24高三·广西南宁·阶段练习）已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】将是的必要不充分条件转化为，然后根据集合间的包含关系列不等式求解即可.
【详解】设，，
因为是的必要不充分条件，所以，
所以，解得，
当时，，成立，
所以.
故选：A.
3．（2023·云南昆明·模拟预测）已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的所有可能取值构成的集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意，对集合分等于空集和不等于空集两种情况讨论，分别求出符合题意的的值即可．
【详解】由题，，，
当时，有，符合题意；
当时，有，此时，所以或，所以.
综上，实数的所有可能的取值组成的集合为.
故选：A.
4．（23-24高上·江苏南通·开学考试）设，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据充分必要条件和集合的包含关系求解即可.
【详解】由，解得，
所以，
又由，解得，
所以，
因为是的必要不充分条件，
所以集合真包含于，
所以，解得，
经检验，时，，满足题意；
时，，满足题意；
所以实数的取值范围是.
故选:A.
5．（22-23高三·全国·模拟）若“”是“”的必要不充分条件，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】利用必要不充分的定义进行判断求解即可
【详解】由“”是“”的必要不充分条件知：是的真子集，可得知
故选：C
题型六：充要条件
充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．
(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．
1．（2024·河南信阳·模拟预测）已知复数为虚数单位)，则“”是“在复平面内对应的点位于第四象限”的（ ）条件
A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】根据复数的除法运算化简，根据复数的几何意义，即可判断和选择.
【详解】，则在复平面内对应的点为；
点位于第四象限的充要条件是，即；
故“”是“在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件.
故选：A
2．（22-23高三·全国·模拟）以下选项中，p是q的充要条件的是（ ）
A．p：，q：
B．p：，q：
C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形
D．p：，q：关于x的方程有唯一解
【答案】D
【分析】根据充分必要条件的定义判断即可.
【详解】对于A，，，所以p推不出q，q推不出p，
所以p是q既不充分也不必要条件；
对于B，；当时，满足，但q推不出p，
故p是q的充分不必要条件；
对于C，若“两条对角线互相垂直平分”成立推不出“四边形是正方形”；
反之，若“四边形是正方形”成立推出“两条对角线互相垂直平分”成立，故p是q的必要不充分条件；
对于D，若，则关于x的方程有唯一解；若关于x的方程有唯一解，则，
所以，故p是q的充分必要条件.
故选：D.
3．（2023高三·全国·课后作业）关于x的方程，以下命题正确的个数为（ ）
（1）方程有二正根的充要条件是；（2）方程有二异号实根的充要条件是；（3）方程两根均大于1的充要条件是.
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【分析】对于（1），举反例，即可判断；对于（2）方程有二异号实根可推出 ，可推出方程有二异号实根，即可判断；对于（3），举反例，即可判断.
【详解】对于（1），令满足，但，方程无实数解，（1）错；
对于（2），必要性：方程，有一正根和一负根，.
充分性：由可得，所以及,
方程 有一正根和一负根，（2）对；
对于（3），令，两根为，满足，但不符合方程两根均大于1，（3）错.
故选：B
4．（22-23高三·广东·阶段练习）已知数列满足，，，则“”是“”的（ ）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由题意可得为等差数列，后据此判断与间关系可得答案.
【详解】设首项为，由，可得，
则可得.
则
.故“”是“”的充分必要条件.
故选：A
5．（2021高三·全国·专题练习）设为全集，、是的子集，则“存在集合使得”是“”的（ ）条件
A．必要不充分B．充分不必要C．充要D．既不充分也不必要
【答案】C
【分析】首先通过集合子集的概念与集合的运算确定推导关系，然后再根据充要条件的定义进行判断即可.
【详解】首先由，，易知，所以充分性成立；
，即存在集合，使得，成立，所以必要性成立，因此“，”是“”的充要条件.故选：C.
题型七：充要条件求参型
冲要条件：
命题对应集合，命题对应集合是，则是的充分条件，是的必要条件，是的充要条件，是的充分不必要条件，是的必要不充分条件．
1．（21-22高二上·江苏常州·模拟）“，”为真命题的充分必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将不等式转化为，解得答案.
【详解】，，即，即.
故选：.
【点睛】本题考查了充要条件，真命题，意在考查学生的计算能力和推断能力.
2．（23-24高三·贵州黔西·模拟）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（ ）
A．或B．或
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，结合一元二次方程的的性质，列出不等式，即可求解.
【详解】由方程关于的方程有两个不相等的实数根，则满足，
解得或，即方程有两个不相等的实数根的充要条件是或.
故选：A.
3．（21-22高三·辽宁铁岭·阶段练习）设集合，若集合，，则的充要条件是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】先根据集合的运算，求得，结合，列出不等式组，即可求解.
【详解】由题意，可得，
因为，所以，解得，反之亦成立，
所以的充要条件是．
故选：A．
4．（20-21高三·上海崇明·阶段练习）函数为偶函数的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】计算可得，则函数为偶函数的充要条件是的定义域不为空集，且关于原点对称，即不等式有解，转化为有解，通过的最小值可得的范围.
【详解】解：，
则，
则函数为偶函数的充要条件是的定义域不为空集，且关于原点对称，
不等式有解，即有解，
，
.
故选：C.
【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，考查学生转化能力和分析能力，是基础题.
5．（22-23高二上·江苏连云港·模拟）已知数列{an}的通项公式，若“an＜an+1（n∈N*）”的充要条件是“a＜M”，则M的值等于（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】C
【解析】由数列的通项公式分别验算成立的充分条件和必要条件可得答案.
【详解】解：数列{an}的通项公式，
必要性：若，则恒成立，即对任意恒成立，则；
充分性：当时，对任意恒成立，
即.
∴“”的充要条件是“”，
∴的值等于.
故选：C.
【知识点】本题主要考查充分条件、必要条件和数列的相关知识，考查学生的综合分析能力和数学计算能力，属于中档题.
题型八：“地图型”条件的判定
多重复杂的充分必要条件之间传递变化判断， 可以借助类似如下“地图”一样来判断 。
判断方法是，根据箭头是否能“往返”或者“转圈”推导，以此判断冲分析与必要性
1．（22-23高三·上海浦东新·阶段练习）已知是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件.正确的命题序号是（ ）
A．①④B．①②C．②③D．③④
【答案】B
【分析】根据条件及充分条件和必要条件的的确定之间的关系，然后逐一判断命题①②③④即可.
【详解】因为是的的充分不必要条件，所以，推不出，
因为是的的充分条件，所以，
因为是的必要条件，所以，
因为是的必要条件，所以，
因为，，所以，又，，所以是的充要条件，命题①正确，
因为，，，所以，
推不出，故是的充分不必要条件，②正确；
因为，，所以，是的充分条件，命题③错误；
因为，，所以，又，
所以是的充要条件，命题④错误；
故选：B.
2．（23-24高三·重庆沙坪坝·阶段练习）已知是的充分条件，是的充分不必要条件，是的必要条件，是的必要条件，现有下列命题：①是的必要不充分条件；②是的充分不必要条件；③是的充分不必要条件；④是的充要条件.正确的命题序号是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】C
【分析】根据题意以及充分条件和必要条件的定义确定之间的关系，然后逐一判断命题①②③④的正确性即可.
【详解】因为是的的充分条件，所以.因为是的充分不必要条件，所以，，
因为是的必要条件，所以.因为是的必要条件，所以，
所以由，，可得，
则是的充要条件，命题①错误；
则是的充要条件，命题②错误；
因为，，所以，，故是的充分不必要条件，命题③正确；
易得，，所以是的必要不充分条件，命题④错误，
故选：C.
3．（2021·江苏南京·模拟预测）设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则甲是丁的 （ ） 条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】记甲、乙、丙、丁各自对应的条件构成的集合分别为，，，，根据题目条件得到集合之间的关系，并推出D，，所以甲是丁的充分不必要条件.
【详解】记甲、乙、丙、丁各自对应的条件构成的集合分别为A，，，，
由甲是乙的充分不必要条件得，B，
由乙是丙的充要条件得，，
由丁是丙的必要不充分条件得，D，
所以D，，故甲是丁的充分不必要条件.
故选：A.
4．（22-23高上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若命题甲是命题乙的充分非必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据题意，设命题甲为集合A，命题乙为集合B，命题丙为集合C，命题丁为集合D，转化为集合之间的包含关系，可探求命题之间的关系，判断命题丁能否推出命题甲，及命题甲能否推出命题丁，即可得出结论.
【详解】设命题甲为集合A，命题乙为集合B，命题丙为集合C，命题丁为集合D；
命题甲是命题乙的充分非必要条件；命题丙是命题乙的必要非充分条件命题乙是命题丙的充分非必要条件，命题丁是命题丙的充要条件，综上得到，可知，及命题甲是命题丁的充分非必要条件命题丁是命题甲的必要非充分条件，
故选：B
【点睛】本题主要考查了充分条件，必要条件，真子集，属于中档题.
5．（22-23高三·黑龙江牡丹江·课后作业）设甲是乙的必要条件；丙是乙的充分但不必要条件，那么（ ）
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙是甲的充要条件
D．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
【答案】A
【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】因为甲是乙的必要条件，
所以乙是甲的充分条件，即乙推出甲；
因为丙是乙的充分但不必要条件，则丙推出乙，乙推不出丙，
所以丙推出甲，甲推不出丙，
即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件，
故选：A
题型九：充要条件综合应用
充要条件：
命题对应集合，命题对应集合是，则是的充分条件，是的必要条件，是的充要条件，是的充分不必要条件，是的必要不充分条件．
1．（2023·河北·模拟预测）已知椭圆的两焦点为，，x轴上方两点A，B在椭圆上，与平行，交于P.过P且倾斜角为的直线从上到下依次交椭圆于S，T.若，则“为定值”是“为定值”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不必要也不充分条件
【答案】D
【分析】先求出的轨迹，其轨迹方程为，取，结合特殊情形可得“当取定值， 是定值”是错误的；再由 是定值可得，从而可判断当取定值， 是定值”是错误的，从而可得正确的选项.
【详解】设为椭圆上的动点，为椭圆的半焦距，
故，故
，
设直线，则到该直线的距离为，故，
如图，设直线的倾斜角为，过作的垂线，垂足为，
则，故，设，故，同理.
设的倾斜角为，则，，因为，故，
所以，所以，同理，
故，故的轨迹为以为焦点的椭圆，其长半轴长为，短半轴长为，故的轨迹方程为：，其中.取，,而，故不是定值即不是定值.
故“当取定值， 是定值”是错误的.
又直线的参数方程为：，设，
由整理得到：，
故，而，故，
所以，若为定值，则为定值，
而，故当变化时，始终为定值，又
故且，但，故，
所以，
但此时随的变化而变化，不是定值，
故“当取定值，是定值”是错误的.故选：D.
【点睛】思路点睛：对于圆锥曲线中的动态问题，注意利用圆锥曲线的几何性质去研究动点的轨迹，对于是否为定值的问题，注意构建不同变量之间的关系，结合特例来处理是否为定值的问题.
2．（21-22高二下·重庆·）已知函数的定义域为，则“”是“是周期为2的周期函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．既不充分又不必要条件D．充要条件
【答案】A
【分析】通过可以得出，反过来不可以，反例见详解.
【详解】由得，，
所以，，即.
所以“”是“是周期为2的周期函数”的充分条件.
如下图是一个周期为得函数，
得不出，
所以“”是“是周期为2的周期函数”的不必要条件.
所以“”是“是周期为2的周期函数”的充分不必要条件.
故选：A.
3．（2022广东茂名·二模）设，则对任意实数，“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
【答案】C
【分析】先判断函数为奇函数且单调递增，再分别判断充分性和必要性得到答案.
【详解】定义域为，
，函数为奇函数
易知：在上单调递增，
且
故在上单调递增
当时，，充分性；
当时，即，必要性；
故选：
【点睛】本题考查了函数的奇偶性，单调性，充分必要条件，意在考查学生的综合应用能力.
4．（22-23高三·上海浦东新·阶段练习）已知不等式的解集为，不等式的解集为，其中、是非零常数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【分析】对、的符号以及、是否相等分情况讨论，得出的充要条件，即可判断出“”是“”的充要条件关系.
【详解】（1）若，.
①若，不等式即为，则，不等式即为，得，，；
②若，不妨设，不等式即为，则，不等式即为，得，，则；
（2）同理可知，当，时，，不一定为；
（3）若，.
①若，不等式即为，则，不等式即为，则，此时，；
②若，不妨设，不等式即为，则，不等式即为，则，此时，；
（4）同理，当，时，.
综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
故选A.
【点睛】本题考查充分必要条件的判断，同时也考查补集思想的应用，在解题时需要对参数的符号进行分类讨论，考查推理能力，属于中等题.
5．（2022·广东·一模）已知，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】若，则，利用函数的单调性可得．反之不一定成立，例如取，．即可得出其不成立．
【详解】解：若，则，
∴，
又当时，单调递增，∴．
反之不一定成立，“”不一定得出“”，
例如取，．则“”．
∴“”是“”的必要不充分条件．
故选B．
【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的概念，还考查了利用导数证明不等式及赋值法，属于难题．
题型十：命题的否定
全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：∃x∈M，綈p(x)，全称量词命题的否定是存在量词命题．
对存在量词命题进行否定时，首先把存在量词改为全称量词，然后对判断词进行否定，可以结合命题的实际意义进行表述．
1．（22-23高三·浙江·模拟）命题“，使得”的否定形式是（ ）
A．，使得B．都有
C．，使得D．，都有
【答案】D
【分析】根据全称命题的否定是特称命题，即可求解.
【详解】“，使得”是全称命题，全称命题的否定是特称命题
故否定形式是，都有.
故选：D
2．（22-23高二下·安徽·阶段练习）命题“a，b>0，a＋≥2和b＋≥2至少有一个成立”的否定为（ ）
A．a，b>0，a＋<2和b＋<2至少有一个成立
B．a，b>0，a＋≥2和b＋≥2都不成立
C．a，b>0，a＋<2和b＋<2至少有一个成立
D．a，b>0，a＋≥2和b＋≥2都不成立
【答案】D
【解析】将“全称量词”改“存在量词”，“至少有一个成立”改为“都不成立”即可得到.
【详解】“a，b>0，a＋≥2和b＋≥2至少有一个成立”的否定为：
a，b>0，a＋≥2和b＋≥2都不成立.
故选：D
【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于基础题.
3．（22-23高一·全国·课后作业）已知全集U，M，N是U的非空子集，若(∁UM)⊇N，则必有( )
A．M⊆(∁UN)B．(∁UN) M
C．(∁UM)＝(∁UN)D．M＝N
【答案】A
【分析】由题意，作出Venn图，即可得到答案.
【详解】由题意，作出Venn图，如图所示，即可得到M⊆(∁UN)，故选A.
【点睛】本题主要考查了集合的包含关系，其中解答中根据题意作出，得出集合之间的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
4．（21-22高·山西运城·模拟）已知，命题：，，则（ ）.
A．是真命题，：，
B．是真命题，：，
C．是假命题，：，
D．是假命题，：，
【答案】B
【分析】利用导数分析的单调性，得到，可以判断命题的真假，再根据全称命题的否定写出即可.
【详解】，∴当时，，在上单调递减，，是真命题，
：，.
故选：B.
5．（20-21高二下·四川凉山·模拟）命题：的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用全称命题的否定的概念即可求解,改量词，否结论
【详解】解：命题：的否定是,
故选：B
题型十一：全称与特称命题真假求参
求解含有量词的命题中参数范围的策略
对于全称(存在)量词命题为真的问题，实质就是不等式恒成立(能成立)问题，通常转化为求函数的最大值(或最小值)．
1．（23-24高三·福建泉州·模拟）命题“”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据全称量词命题为真命题，分离参数求解出参数范围的充要条件，然后根据充分条件、必要条件的定义对各个选项逐一分析判断即可得出结果.
【详解】因为命题“”为真命题，则对恒成立，
所以，所以，
所以命题“”为真命题的充分必要条件为，所以选项B不符合题意；
对于A选项，得不到，能得到，所以是的必要不充分条件，所以选项A符合题意；
对于C选项，得不到，也得不到，所以是的既不充分也不必要条件，所以选项C不符合题意；
对于D选项，能得到，得不到，所以是的充分不必要条件，所以选项D不符合题意.
故选：A.
2．（23-24高三·广东茂名·模拟）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由题意可得，解不等式即可求出答案.
【详解】因为命题“，使”是假命题，
所以恒成立，所以，
解得，
故实数的取值范围是．
故选：B．
3．（23-24高三·四川成都·阶段练习）设函数，命题“存在，”是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，转化为命题“任意，”为真命题，进而得到在上恒成立，结合二次函数的性质，求得的最大值，即可求解.
【详解】由命题“存在，”的否定为命题“任意，”，
根据题意，可得命题“任意，”为真命题，
即对任意，不等式恒成立，
所以，即在上恒成立，
即在上恒成立，
令，
根据二次函数的性质，当时，，即的最大值为，
所以，即实数的取值范围为.
故选：D.
4．（23-24高三·浙江·阶段练习）已知命题；命题，若命题均为假命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出为真命题时的范围，进一步可得答案．
【详解】由，得，
，，
则当时，取最小值2，所以，
命题，则，即，
若命题均为假命题，则且，即，
∴实数的取值范围为．故选：B.
5．（22-23高三·河北唐山·阶段练习）为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据全称命题为真命题等价转化为不等式恒成立问题，再利用不等式的性质及充分不必要条件的定义即可求解.
【详解】由为真命题，等价于在上恒成立，
所以，即可.
设，，则
由二次函数的性质知，对称轴为，开口向上，
所以在上单调递减，在上单调递增.
当时，取得最小值为，即，
所以的一个充分不必要条件是的真子集，则满足条件.
故选：A.
题型十二：新定义型简易逻辑压轴题
涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决.
1．（2024·广东·模拟预测）设X，Y为任意集合，映射．定义：对任意，若，则，此时的为单射．
(1)试在上给出一个非单射的映射；
(2)证明：是单射的充分必要条件是：给定任意其他集合与映射，若对任意，有，则；
(3)证明：是单射的充分必要条件是：存在映射，使对任意，有．
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)证明过程见解析
(3)证明过程见解析
【分析】
（1）结合单射的定义举出符合条件的例子即可；
（2）结合单射的定义、反证法从两方面来说明即可；
（3）结合单射的定义、反证法从两方面来说明即可.
【详解】（1）由题意不妨设，当（非0）互为相反数时，满足题意；
（2）一方面若是单射，且，则，即（否则若，有，矛盾），
另一方面，若对任意，由可以得到，
我们用反证法证明是单射，
假设不是单射，即存在，有，
又由可以得到，即，这就产生了矛盾，
所以是单射，
综上所述，命题得证；
（3）一方面若是单射，则由可得，
同理存在单射，使得，，有，
另一方面，若存在映射，使对任意，有，
我们用反证法来证明是单射，
若不是单射，即存在，有，
又若，则由题意，这与产生矛盾，
所以此时是单射，
综上所述，命题得证.
【点睛】
关键点点睛：后面两问的关键是结合单射的定义、反证法从两方面来说明，由此即可顺利得证.
2．（23-24高三·北京·模拟）已知集合，对于集合的非空子集，若中存在个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”.
(1)试判断集合是否为集合的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由）
(2)如果一个集合中含有个元素，同时满足①，②，③为偶数.那么称该集合具有性质.对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质.
【答案】(1)是集合的“期待子集”，不是集合的“期待子集”
(2)证明见解析
【分析】（1）根据所给定义判断即可.
（2）先证明必要性，再证明充分性，结合所给“期待子集”的定义及性质的定义证明即可；
【详解】（1）因为，
对于集合，令，解得，显然，，
所以是集合的“期待子集”；
对于集合，令，则，
因为，即，故矛盾，所以不是集合的“期待子集”
（2）先证明必要性：
当集合是集合的“期待子集”时，由题意，存在互不相同的，使得，
不妨设，令，，，则，即条件中的①成立；
又，所以，即条件中的②成立；
因为，
所以为偶数，即条件中的③成立；
所以集合满足条件.
再证明充分性：
当集合满足条件时，有存在，满足①，②，③为偶数，
记，，，
由③得，由①得，由②得，
所以，
因为，，，所以，，均属于，
即集合是集合的“期待子集”
3．（2024江苏南通·模拟）若数列满足①，②存在常数与无关），使.则称数列是“和谐数列”.
（1）设为等比数列的前项和，且，求证：数列是“和谐数列”；
（2）设是各项为正数，公比为q的等比数列，是的前项和，求证：数列是“和谐数列”的充要条件为.
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
【详解】试题分析：（1）新定义问题，关键证明满足定义中两个条件：先确定，再依次验证定义中两个条件（2）首先分清充分性与必要性，再分别给予证明，证充分性类似（1），可先证；而证必要性，需用反证法：其理由是当时，正项等比数列趋向于无穷大，即不存在上界.
试题解析：（1）设公比为，则,
所以.
因为
=
=.
且即存在常数32,
所以，数列是“和谐数列” .
（2）充分性
设等比数列的公比，且
则.
令，则
因为
所以是“和谐数列”
必要性
等比数列各项为正，且是“和谐数列”.
因为所以，
下面用反证法证明，
（1）当则因为所以，不存在，使对恒成立;
当，则
所以，对于给定的正数，若
因为，，所以，
即当时，有.
所以，不存在常数，使
所以，
综上,数列是“和谐数列”的充要条件为其公比为.
4．（20-21高三·安徽合肥·阶段练习）对于有限个自然数组成的集合，定义集合，记集合的元素个数为.定义变换，变换将集合变换为集合.
（1）若，求；
（2）若集合，证明：的充要条件是.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据题干中对集合和的定义，可以求出两个集合
（2）证明充要条件要从两方面证明，一是证明充分性，而是证明必要性，都成立则说明是充要条件
【详解】解：（1）若集合, 则根据定义可得：.
（2）由.
充分性：设是公差为的等差数列,
则
且, 所以共有个不同的值, 即.
必要性：若,
因为,
所以中有个不同的元素：,
任意的值都与上述某一项相等.
又, 且.
所以, 所以是等差数列，且公差不为.
5.（2024年北京高考） 设集合．对于给定有穷数列，及序列，，定义变换：将数列的第项加1，得到数列；将数列的第列加，得到数列…；重复上述操作，得到数列，记为．
（1）给定数列和序列，写出；
（2）是否存在序列，使得为，若存在，写出一个符合条件的；若不存在，请说明理由；
（3）若数列的各项均为正整数，且为偶数，证明：“存在序列，使得为常数列”的充要条件为“”．
【答案】（1）
（2）不存在符合条件的，理由见解析
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）直接按照的定义写出即可；
（2）利用反证法，假设存在符合条件的，由此列出方程组，进一步说明方程组无解即可；
（3）分充分性和必要性两方面论证.
【小问1详解】
由题意得；
【小问2详解】
假设存在符合条件的，可知的第项之和为，第项之和为，
则，而该方程组无解，故假设不成立，
故不存在符合条件；
【小问3详解】
我们设序列为，特别规定.
必要性：
若存在序列，使得为常数列.
则，所以.
根据的定义，显然有，这里，.
所以不断使用该式就得到，，必要性得证.
充分性：
若.
由已知，为偶数，而，所以也是偶数.
我们设是通过合法的序列的变换能得到的所有可能的数列中，使得最小的一个.
上面已经证明，这里，.
从而由可得.
同时，由于总是偶数，所以和的奇偶性保持不变，从而和都是偶数.
下面证明不存在使得.
假设存在，根据对称性，不妨设，，即.
情况1：若，则由和都是偶数，知.
对该数列连续作四次变换后，新的相比原来的减少，这与的最小性矛盾；
情况2：若，不妨设.
情况2-1：如果，则对该数列连续作两次变换后，新的相比原来的至少减少，这与的最小性矛盾；
情况2-2：如果，则对该数列连续作两次变换后，新的相比原来的至少减少，这与的最小性矛盾.
这就说明无论如何都会导致矛盾，所以对任意的都有.
假设存在使得，则是奇数，所以都是奇数，设为.
则此时对任意，由可知必有.
而和都是偶数，故集合中的四个元素之和为偶数，对该数列进行一次变换，则该数列成为常数列，新的等于零，比原来的更小，这与的最小性矛盾.
综上，只可能，而，故是常数列，充分性得证.
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键在于对新定义的理解，以及对其本质的分析.