新高考数学一轮复习讲义命题方向全归类专题02常用逻辑用语(原卷版+解析)

这是一份新高考数学一轮复习讲义命题方向全归类专题02常用逻辑用语(原卷版+解析)，共34页。

命题方向一：充分条件与必要条件的判断
命题方向二：根据充分必要条件求参数的取值范围
命题方向三：全称量词命题与存在量词命题的真假
命题方向四：全称量词命题与存在量词命题的否定
命题方向五：根据命题的真假求参数的取值范围
【2024年高考预测】
2024年仍将与其他知识结合，考查命题及其关系、含简单逻辑联接词的命题真假判断、存在量词命题与全称命题真假判断及其否定的书写、充要条件的判定，其中充要条件判定为重点．
【知识点总结】
一、充分条件、必要条件、充要条件
设，则
二．全称量词与存在量词
（1）全称量词与全称量词命题．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．含有全称量词的命题叫做全称量词命题．全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”．
（2）存在量词与存在量词命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．含有存在量词的命题叫做存在量词命题．存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）．
三．含有一个量词的命题的否定
（1）全称量词命题的否定为，．
（2）存在量词命题的否定为．
注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一．
【方法技巧与总结】
1、充分、必要条件与对应集合之间的关系
设，
（1）若是的充分条件，则；
（2）若是的充分不必要条件，则；
（3）若是的必要不充分条件，则；
（4）若是的充要条件，则．
2、含有一个量词命题的否定规律是“改量词，否结论”．
3、命题与的否定的真假性相反．
【典例例题】
命题方向一：充分条件与必要条件的判断
【通性通解总结】
1、要明确推出的含义，是成立一定成立才能叫推出而不是有可能成立．
2、充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合．
3、充分必要条件考察范围广，失分率高，一定要注意各个知识面的培养．
例1．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）已知方程有实根；函数为增函数，则p是q的（ ）条件．
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
例2．（2023·全国·长郡中学校联考二模）早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球的体积时，就创造性地提出了一个原理：“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积、总相等，则这两个几何体的体积、相等.根据“祖暅原理”，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
例3．（2023·全国·模拟预测）若，，则“”的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
变式1．（2023·山东东营·东营市第一中学校考二模）已知m，n表示空间内两条不同的直线，则使成立的必要不充分条件是（ ）
A．存在平面，有，B．存在平面，有，
C．存在直线，有，D．存在直线，有，
变式2．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知集合，则的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
变式3．（2023·贵州·统考模拟预测）命题“”，命题“”，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件
变式4．（2023·天津·校联考二模）已知，命题是一元二次方程的一个根，命题，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
命题方向二：根据充分必要条件求参数的取值范围
【通性通解总结】
1、集合中推出一定是小集合推大集合，注意包含关系．
2、在充分必要条件求解参数取值范围时，要注意端点是否能取到问题，容易出错．
例4．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例5．（2023·全国·高三专题练习）若“”是“不等式成立”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例6．（2023·全国·高三对口高考）已知集合，若“”是“”的充分非必要条件，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式5．（2023·全国·高三专题练习）设，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式6．（2023·全国·高三专题练习）方程至少有一个负实根的充要条件是（ ）
A．B．C．D．或
变式7．（2023·全国·高三专题练习）命题“”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
命题方向三：全称量词命题与存在量词命题的真假
【通性通解总结】
1、全称量词命题与存在量词命题的真假判断既要通过汉字意思，又要通过数学结论．
2、全称量词命题和存在量词命题的真假性判断较为简单，注意细节即可．
例7．（2023·河北·高三统考阶段练习）已知命题（为自然对数的底数），则下列为真命题的是（ ）
A．真，假B．真，真
C．假，真D．假，假
例8．（2023·山东枣庄·统考二模）已知集合，，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
例9．（2023·重庆·高三重庆市长寿中学校校考期末）已知P，Q为R的两个非空真子集，若，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，集合，则以下命题为真命题的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
变式9．（2023·河南郑州·高三校联考阶段练习）下列命题中的假命题是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
命题方向四：全称量词命题与存在量词命题的否定
【通性通解总结】
1、全称量词命题与存在量词命题的否定是将条件中的全称量词和存在量词互换，结论变否定．
2、全称量词命题和存在量词命题的否定要注意否定是全否，而不是半否．
例10．（2023·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
例11．（2023·四川达州·统考二模）命题p：，，则为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
例12．（2023·全国·模拟预测）已知命题，，则为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
变式10．（2023·全国·高三专题练习）命题“a，b>0，a＋≥2和b＋≥2至少有一个成立”的否定为（ ）
A．a，b>0，a＋<2和b＋<2至少有一个成立
B．a，b>0，a＋≥2和b＋≥2都不成立
C．a，b>0，a＋<2和b＋<2至少有一个成立
D．a，b>0，a＋≥2和b＋≥2都不成立
变式11．（2023·河南郑州·统考二模）命题：，的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
命题方向五：根据命题的真假求参数的取值范围
【通性通解总结】
1、在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，如果哪个是假命题，去求真命题的补级即可．
2、全称量词命题和存在量词命题的求参数问题相对较难，要注重端点出点是否可以取到．
例13．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知命题，若为真命题，则实数的取值范围是__________.
例14．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为___________.（用区间表示）
例15．（2023·上海徐汇·统考二模）命题“若，则”是真命题，实数的取值范围是__________.
变式12．（2023·吉林·统考二模）命题“，”为假命题，则实数的取值范围为___________.
变式13．（2023·河南·统考模拟预测）设命题：，.若是假命题，则实数的取值范围是_________.
变式14．（2023·河南郑州·统考一模）若“”为假命题，则实数的取值范围为___________.
变式15．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）命题“，使得”为假命题，则a的取值范围为________.
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·四川成都·石室中学校考三模）已知，则“”是“有两个不同的零点”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）已知圆和圆，其中，则使得两圆相交的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·四川德阳·统考模拟预测）已知，q：任意，则p是q成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（2023·河南·校联考模拟预测）已知命题：，命题：，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（2023·安徽·校联考三模）给出下列四个命题，其中正确命题为（ ）
A．“，”的否定是“，”
B．“”是“”的必要不充分条件
C．，，使得
D．“”是“”的充分不必要条件
6．（2023·福建·统考模拟预测）已知，恒成立，则的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）条件，，则的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知：，恒成立；：，恒成立.则（ ）
A．“”是的充分不必要条件B．“”是的必要不充分条件
C．“”是的充分不必要条件D．“”是的必要不充分条件
10．（2023·全国·高三专题练习）已知平面α，β，直线l，m，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，则“”是“”的充分不必要条件
D．若，，则“”是“”的必要不充分条件
11．（2023·全国·高三专题练习）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
12．（2023·云南德宏·高三统考期末）在整数集中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，，则下列结论正确的为（ ）
A．B．
C．D．整数属于同一“类”的充要条件是“”
三、填空题
13．（2023·山东潍坊·统考二模）若“”是“”的一个充分条件，则的一个可能值是__________.
14．（2023·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考阶段练习）“”是“”的_________条件．（请从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中选择一个）
15．（2023·高三课时练习）已知是的充分非必要条件，是的必要条件，是的必要条件，那么的一个______条件是．
16．（2023·全国·模拟预测）若“”是“函数对一切恒有意义”的充分条件，则a的取值范围是______．
四、解答题
17．（2023·河南许昌·高三校考期末）已知集合，．
(1)求A；
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求m的取值范围．
18．（2023·河北·高三学业考试）已知命题：实数满足，其中，命题：实数满足．
(1)若，则是的什么条件？
(2)若是的必要条件，求的取值范围．
19．（2023·高三课时练习）已知命题，命题，且是的充分非必要条件，求实数m的取值范围．
20．（2023·全国·高三对口高考）已知，，其中．
(1)若，且、同时为真命题，求的取值范围；
(2)若是的充分非必要条件，求实数的取值范围．
21．（2023·江苏扬州·高三校联考期末）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并回答下列问题.设全集，______，
(1)若，求；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
22．（2023·全国·高三专题练习）在，，存在集合，非空集合，使得这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
问题：求解实数，使得命题，，命题：______都是真命题．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
p是q的充分条件
p是q的必要条件
p是q的充要条件
且
p是q的充分不必要条件
且
是的必要不充分条件
且
是的既不充分也不必要条件
且
且
专题02 常用逻辑用语
【命题方向目录】
命题方向一：充分条件与必要条件的判断
命题方向二：根据充分必要条件求参数的取值范围
命题方向三：全称量词命题与存在量词命题的真假
命题方向四：全称量词命题与存在量词命题的否定
命题方向五：根据命题的真假求参数的取值范围
【2024年高考预测】
2024年仍将与其他知识结合，考查命题及其关系、含简单逻辑联接词的命题真假判断、存在量词命题与全称命题真假判断及其否定的书写、充要条件的判定，其中充要条件判定为重点．
【知识点总结】
一、充分条件、必要条件、充要条件
设，则
二．全称量词与存在量词
（1）全称量词与全称量词命题．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．含有全称量词的命题叫做全称量词命题．全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”．
（2）存在量词与存在量词命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．含有存在量词的命题叫做存在量词命题．存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）．
三．含有一个量词的命题的否定
（1）全称量词命题的否定为，．
（2）存在量词命题的否定为．
注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一．
【方法技巧与总结】
1、充分、必要条件与对应集合之间的关系
设，
（1）若是的充分条件，则；
（2）若是的充分不必要条件，则；
（3）若是的必要不充分条件，则；
（4）若是的充要条件，则．
2、含有一个量词命题的否定规律是“改量词，否结论”．
3、命题与的否定的真假性相反．
【典例例题】
命题方向一：充分条件与必要条件的判断
【通性通解总结】
1、要明确推出的含义，是成立一定成立才能叫推出而不是有可能成立．
2、充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合．
3、充分必要条件考察范围广，失分率高，一定要注意各个知识面的培养．
例1．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）已知方程有实根；函数为增函数，则p是q的（ ）条件．
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
【答案】B
【解析】方程有实根，故，
函数为增函数，故，
真包含于 ,
p是q的必要不充分条件．
故选：B
例2．（2023·全国·长郡中学校联考二模）早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球的体积时，就创造性地提出了一个原理：“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积、总相等，则这两个几何体的体积、相等.根据“祖暅原理”，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】根据祖暅原理可知，当时，一定有成立，
反之，当成立时，不一定有成立，
比如两个完全相同的三棱锥，正置和倒置时，，不一定相等，
故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
例3．（2023·全国·模拟预测）若，，则“”的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】对于选项A：若，则，所以，又，，所以，所以“”是“”的充分条件，故选项A错误；
对于选项B：若，则，所以，即，所以“”是“”的充要条件，故选项B错误；
对于选项C：由得，
另一方面取，，满足，但，
所以“”是“”的一个必要不充分条件，故选项C正确；
对于选项D：取，，满足，但，所以“”不是“”的必要条件，故选项D错误.
故选：C.
变式1．（2023·山东东营·东营市第一中学校考二模）已知m，n表示空间内两条不同的直线，则使成立的必要不充分条件是（ ）
A．存在平面，有，B．存在平面，有，
C．存在直线，有，D．存在直线，有，
【答案】A
【解析】对A，若，，则直线m，n可以平行，也可以相交，还可以异面；若，则存在平面，有，，
即存在平面，有，是使成立的必要不充分条件，故A正确；
对B，若，，则；若，则存在平面，有，，
即存在平面，有，是使成立的充分必要条件，故B错误；
对C，若，，则直线；若，则不存在直线，有，，
即存在直线，有，是使成立的既不充分又不必要条件，故C错误；
对D，若，，则；若，则存在直线，有，，
即存在直线，有，是使成立的充分必要条件，故D错误.
故选：A.
变式2．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知集合，则的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题设，，，
若，则，故，可得.
所以是的充要条件.
故选：B
变式3．（2023·贵州·统考模拟预测）命题“”，命题“”，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】对于命题，，得，
可以推出，但是不能推出，
p是q的充分不必要条件.
故选：A.
变式4．（2023·天津·校联考二模）已知，命题是一元二次方程的一个根，命题，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】对于命题，为方程的根，则，充分性成立；
对于命题，且，则必是题设方程的一个根，必要性成立；
所以是的充分必要条件.
故选：C
命题方向二：根据充分必要条件求参数的取值范围
【通性通解总结】
1、集合中推出一定是小集合推大集合，注意包含关系．
2、在充分必要条件求解参数取值范围时，要注意端点是否能取到问题，容易出错．
例4．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】若“”是“”的充分不必要条件，则，
所以，解得，即的取值范围是.
故选：B.
例5．（2023·全国·高三专题练习）若“”是“不等式成立”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由得，
是不等式成立的充分不必要条件，
满足，且等号不能同时取得，
即，
解得，
故选：C．
例6．（2023·全国·高三对口高考）已知集合，若“”是“”的充分非必要条件，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意可得：，或，
若“”是“”的充分非必要条件，则A是B的真子集，
所以.
故选：A.
变式5．（2023·全国·高三专题练习）设，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题设，，，
∵是的必要不充分条件，
∴，解得.
故选：A
变式6．（2023·全国·高三专题练习）方程至少有一个负实根的充要条件是（ ）
A．B．C．D．或
【答案】C
【解析】当时，方程为有一个负实根，反之，时，则，于是得；
当时，，
若，则，方程有两个不等实根，，即与一正一负，
反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积小于0，，于是得，
若，由，即知，方程有两个实根，必有，此时与都是负数，
反之，方程两根都为负，则，解得，于是得，
综上，当时，方程至少有一个负实根，反之，方程至少有一个负实根，必有.
所以方程至少有一个负实根的充要条件是.
故选：C
变式7．（2023·全国·高三专题练习）命题“”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由命题“”为假命题，
则该命题的否定：“”为真命题，
也即，所以，
所以为该命题的一个充分不必要条件，
故选：C.
命题方向三：全称量词命题与存在量词命题的真假
【通性通解总结】
1、全称量词命题与存在量词命题的真假判断既要通过汉字意思，又要通过数学结论．
2、全称量词命题和存在量词命题的真假性判断较为简单，注意细节即可．
例7．（2023·河北·高三统考阶段练习）已知命题（为自然对数的底数），则下列为真命题的是（ ）
A．真，假B．真，真
C．假，真D．假，假
【答案】C
【解析】命题为假命题，，必有，所以，
命题为真命题.
故选：C.
例8．（2023·山东枣庄·统考二模）已知集合，，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【解析】，
则集合是集合的真子集，
所以，，，，
故ABD错误，A正确.
故选：C.
例9．（2023·重庆·高三重庆市长寿中学校校考期末）已知P，Q为R的两个非空真子集，若，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【解析】因为，所以，如图，
对于选项A：由题意知 P是 Q的真子集，故，，故不正确，
对于选项B：由是的真子集且，都不是空集知，，，故正确.
对于选项C：由是的真子集知，，，故不正确，
对于选项D：Q是的真子集，故，，故不正确，
故选：B
变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，集合，则以下命题为真命题的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【解析】由题知，集合，集合，
所以是的真子集，
所以，或，或，，
只有A选项符合要求，
故选：A.
变式9．（2023·河南郑州·高三校联考阶段练习）下列命题中的假命题是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【解析】对于A，，，，A正确；
对于B，当时，，B正确；
对于C，当时，，C错误；
对于D，值域为，，，D正确.
故选：C.
命题方向四：全称量词命题与存在量词命题的否定
【通性通解总结】
1、全称量词命题与存在量词命题的否定是将条件中的全称量词和存在量词互换，结论变否定．
2、全称量词命题和存在量词命题的否定要注意否定是全否，而不是半否．
例10．（2023·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【解析】由存在量词命题的否定知：原命题的否定为，.
故选：D.
例11．（2023·四川达州·统考二模）命题p：，，则为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【解析】因为对全称量词的否定用存在量词，
所以命题p：，的否定为：，.
故选：D
例12．（2023·全国·模拟预测）已知命题，，则为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【解析】由题意知，，
所以：，.
故选：B．
变式10．（2023·全国·高三专题练习）命题“a，b>0，a＋≥2和b＋≥2至少有一个成立”的否定为（ ）
A．a，b>0，a＋<2和b＋<2至少有一个成立
B．a，b>0，a＋≥2和b＋≥2都不成立
C．a，b>0，a＋<2和b＋<2至少有一个成立
D．a，b>0，a＋≥2和b＋≥2都不成立
【答案】D
【解析】“a，b>0，a＋≥2和b＋≥2至少有一个成立”的否定为：
a，b>0，a＋≥2和b＋≥2都不成立.
故选：D
变式11．（2023·河南郑州·统考二模）命题：，的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【解析】由全称命题的否定为存在量词命题，则原命题的否定为，.
故选：D
命题方向五：根据命题的真假求参数的取值范围
【通性通解总结】
1、在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，如果哪个是假命题，去求真命题的补级即可．
2、全称量词命题和存在量词命题的求参数问题相对较难，要注重端点出点是否可以取到．
例13．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知命题，若为真命题，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】若为真命题，等价于，
∵，当且仅当时，等号成立，
∴，即，
可得，故实数的取值范围是.
故答案为：.
例14．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为___________.（用区间表示）
【答案】
【解析】因为，即函数的值域为，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
例15．（2023·上海徐汇·统考二模）命题“若，则”是真命题，实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】由可得：，解得：或，
“若，则”是真命题，则能推出或成立，
则.故实数的取值范围是.
故答案为：
变式12．（2023·吉林·统考二模）命题“，”为假命题，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【解析】由题意可知，命题“，”为真命题.
当时，由可得，不合乎题意；
当时，由题意可得，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
变式13．（2023·河南·统考模拟预测）设命题：，.若是假命题，则实数的取值范围是_________.
【答案】
【解析】因为是假命题，
所以是真命题，
因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
所以实数的取值范围是，
故答案为：
变式14．（2023·河南郑州·统考一模）若“”为假命题，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【解析】由条件可知“”为真命题，
则，即.
故答案为：
变式15．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）命题“，使得”为假命题，则a的取值范围为________.
【答案】
【解析】若“，使得”为假命题，
可得当时，恒成立，只需.
又函数在上单调递增，所以.
故答案为：
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·四川成都·石室中学校考三模）已知，则“”是“有两个不同的零点”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若有两个不同的零点，则，解得或，所以“”是“有两个不同的零点”的充分不必要条件.
故选：A
2．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）已知圆和圆，其中，则使得两圆相交的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由且半径，且半径，结合a大于0，
所以时，两圆相交，则，
由选项可得A选项为的充要条件；
B、D选项为的必要不充分条件；
C选项为的充分不必要条件；
故选：C
3．（2023·四川德阳·统考模拟预测）已知，q：任意，则p是q成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】命题：一元二次不等式对一切实数x都成立，
当时，,符合题意；
当时，有，即，解为，
∴：．又：，
设，则是的真子集，
所以p是q成立的充分非必要条件，
故选：A．
4．（2023·河南·校联考模拟预测）已知命题：，命题：，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由题意得，命题：，命题：，故是的必要不充分条件.
故选:B.
5．（2023·安徽·校联考三模）给出下列四个命题，其中正确命题为（ ）
A．“，”的否定是“，”
B．“”是“”的必要不充分条件
C．，，使得
D．“”是“”的充分不必要条件
【答案】C
【解析】对于A，“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，该命题的否定为，，A错误；
对于B，“若，则”是假命题，如，而，B错误；
对于C，取，则，C正确；
对于D，因为函数是R上的增函数，则“”是“”的充要条件，D错误．
故选：C
6．（2023·福建·统考模拟预测）已知，恒成立，则的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，，得，A是的必要不充分条件，B是的必要不充分条件，C：是的充要条件，D：是的充分不必要条件．
故选：D．
7．（2023·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）条件，，则的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】若，使得，则，可得，则，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
且，
故当时，，即，
所以，的一个必要不充分条件是.
故选：A.
8．（2023·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为命题“，”为真命题，
所以，命题“，”为真命题，
所以，时，，
因为，，
所以，当时，，当且仅当时取得等号.
所以，时，，即实数的取值范围是
故选：C
二、多选题
9．（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知：，恒成立；：，恒成立.则（ ）
A．“”是的充分不必要条件B．“”是的必要不充分条件
C．“”是的充分不必要条件D．“”是的必要不充分条件
【答案】BC
【解析】已知：，恒成立，则方程无实根，
所以恒成立，即，故“”是的必要不充分条件，故A错误，B正确；
又：，恒成立，所以在时恒成立，
又函数的最大值为，
所以，故“”是的充分不必要条件，故C正确，D错误.
故选：BC.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知平面α，β，直线l，m，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，则“”是“”的充分不必要条件
D．若，，则“”是“”的必要不充分条件
【答案】ACD
【解析】由面面垂直的性质定理可知A正确,
对于B,若，，则,或者异面，故B错误,
对于C,若,则,故充分性成立,但是，，不能得到，故C正确，
对于D,若，，,不能得到,因为有可能异面，但是，，，则，故D正确，
故选：ACD
11．（2023·全国·高三专题练习）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】因为为真命题，
所以或，
所以是命题“”为真命题充分不必要条件，A对，
所以是命题“”为真命题充要条件，B错，
所以是命题“”为真命题充分不必要条件，C对，
所以是命题“”为真命题必要不充分条件，D错，
故选：AC
12．（2023·云南德宏·高三统考期末）在整数集中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，，则下列结论正确的为（ ）
A．B．
C．D．整数属于同一“类”的充要条件是“”
【答案】BCD
【解析】对于A，由得，故A错误；
对于B，由得，故B正确；
对于C，所有整数被4除所得的余数只有四种情况，即刚好分成共4类，故，故C正确.
对于D，若整数属于同一“类”，则，
故，所以；
反之，不妨设，则，
若，则，即，所以整数属于同一“类”；
故整数属于同一“类”的充要条件是“”，即D正确.
故选：BCD.
三、填空题
13．（2023·山东潍坊·统考二模）若“”是“”的一个充分条件，则的一个可能值是__________.
【答案】（只需满足即可）
【解析】由可得，则，
所以，，解得，
因为“”是“”的一个充分条件，故的一个可能取值为.
故答案为：（只需满足即可）.
14．（2023·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考阶段练习）“”是“”的_________条件．（请从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中选择一个）
【答案】充分不必要．
【解析】若，则，
反之，若，则，则，则，
则”是“”的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要．
15．（2023·高三课时练习）已知是的充分非必要条件，是的必要条件，是的必要条件，那么的一个______条件是．
【答案】必要非充分
【解析】用双箭头符号表示的关系: ,即，即，又不能推出，故是的一个必要非充分条件.
故答案为：必要非充分
16．（2023·全国·模拟预测）若“”是“函数对一切恒有意义”的充分条件，则a的取值范围是______．
【答案】
【解析】函数对一切恒有意义，
即在上恒成立，
即恒成立．
由“”是“函数对一切恒有意义”的充分条件，
故在上恒成立，
令，为关于b的一次函数，
要使在上恒成立，只需，
即，注意到，
解得．
所以a的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题
17．（2023·河南许昌·高三校考期末）已知集合，．
(1)求A；
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求m的取值范围．
【解析】（1）由，可得，
所以，所以集合.
（2）若“”是“”的充分不必要条件，
则集合是集合的真子集，
由集合不是空集，故集合也不是空集，
所以，
当时，满足题意，
当时，满足题意，
故，即m的取值范围为.
18．（2023·河北·高三学业考试）已知命题：实数满足，其中，命题：实数满足．
(1)若，则是的什么条件？
(2)若是的必要条件，求的取值范围．
【解析】（1）由，得，记集合，
，记集合．
因为B是A的真子集，所以是的必要不充分条件．（注：必要条件也正确）
故是的必要不充分条件．
（2），记集合，
，记集合，
因为是的必要条件，
所以，即 所以．
所以a的取值范围为.
19．（2023·高三课时练习）已知命题，命题，且是的充分非必要条件，求实数m的取值范围．
【解析】由是的充分非必要条件，
则真包含于，
得且等号不同时成立，解得，
即实数m的取值范围为．
20．（2023·全国·高三对口高考）已知，，其中．
(1)若，且、同时为真命题，求的取值范围；
(2)若是的充分非必要条件，求实数的取值范围．
【解析】（1）解不等式，可得，
所以，p为真命题时实数x的取值范围是，
因为，即q：，解不等式，可得，
所以，q为真命题时，实数x的取值范围是，
p、q同时为真命题，则，
即时，p、q同时为真命题，x的取值范围是；
（2）因为，解不等式，可得，
因为p是q的充分非必要条件，则集合为集合的真子集，
所以，解得，故实数的取值范围是．
21．（2023·江苏扬州·高三校联考期末）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并回答下列问题.设全集，______，
(1)若，求；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
【解析】（1）若选①：
，
，
所以，
，
，
故.
若选②：
，
所以，
，
，
故.
若选③：
，
，
所以，
，
，
故.
（2）由（1）知，
，
因为“”是“”的充分不必要条件，
（i）若，即，
此时，
所以
等号不同时取得，
解得.
故.
（ii）若，则，不合题意舍去；
（iii）若，即，
此时，
等号不同时取得，
解得.
综上所述，a的取值范围是.
22．（2023·全国·高三专题练习）在，，存在集合，非空集合，使得这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
问题：求解实数，使得命题，，命题：______都是真命题．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】若选条件，由命题为真，可得在上恒成立．
因为，所以，所以．
由命题q为真，则方程有解．
所以，所以．
又因为都为真命题，所以，所以．所以实数的值为1．
若选条件，由命题为真，可得在上恒成立．
因为，所以．所以．
由命题为真，可得或，因为非空集合，所以必有，
所以或，
又因为都为真命题，所以，解得．
所以实数a的取值范围是．
p是q的充分条件
p是q的必要条件
p是q的充要条件
且
p是q的充分不必要条件
且
是的必要不充分条件
且
是的既不充分也不必要条件
且
且