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初中数学浙教版（2024）七年级上册（2024）第6章 图形的初步知识6.7 角的和差优秀达标测试
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这是一份初中数学浙教版（2024）七年级上册（2024）第6章 图形的初步知识6.7 角的和差优秀达标测试，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图，在同一平面内，∠AOB=90°，若∠AOC=∠BOD=30°，则∠COD的度数不可能为 ( )
A. 30°B. 90°C. 120°D. 150°
2.如图，将一张长方形纸片ABCD沿BD折叠后，点C落在点E处，连接BE交AD于F，再将三角形DEF沿DF折叠后，点E落在点G处，若DG刚好平分∠ADB，则∠EDF的度数是( )
A. 18°B. 30°C. 36°D. 20°
3.如图，∠AOB=90°，OA平分∠COD，OE平分∠BOD，若∠BOE=23°，则∠BOC的度数是( )
A. 113°B. 134°C. 136°D. 144°
4.如图，AD//BC，∠B=∠D，延长BA至点E，连接CE，∠EAD和∠ECD的角平分线交于点P，下列三个结论：①AB//CD;②∠AOC=12∠EAD+∠ECD;③若∠E=60°，∠APC=70°，则∠D=80°，其中结论正确的个数有( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
5.如图，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB=74°，∠COD=10°.则∠AOD度数为( )
A. 17°
B. 27°
C. 37°
D. 64°
6.如图所示，AB，CD相交于M，ME平分∠BMC，且∠AME=104°，则∠AMC的度数为( )
A. 38°B. 32°C. 28°D. 24°
7.如图，∠AOB=90°，OC是∠AOB内任意一条射线，OB，OD分别平分∠COD，∠BOE，下列结论错误的是( )
A. ∠COD=∠BOE
B. ∠COE=3∠BOD
C. ∠AOC+∠BOD=90°
D. ∠BOE=∠AOC
8.如图，∠ABC=∠ACB，BD、CD、AD分别平分∠ABC、∠ACF、∠EAC.以下结论，其中正确的是( )
①AD//BC；②∠ADB=12∠ACB；③∠BAC=2∠BDC；④∠ADC+∠ABD=90°．
A. ①②B. ②③④C. ①③④D. ①②③④
9.如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF//BC交AC于点M.若CM=5，则CE2+CF2等于( )
A. 75B. 100C. 120D. 125
10.如图，AP，CP分别是四边形ABCD的外角∠DAM，∠DCN的平分线，设∠ABC=α，∠APC=β，则∠ADC的度数为 ( )
A. 180°−α−βB. α+βC. α+2βD. 2α+β
11.如图，AB//CD，∠BAC与∠DCA的平分线相交于点G，GE⊥AC于点E，F为AC上的一点，且AF=FC，GH⊥CD于点H.下列说法：①AG⊥CG；②∠BAG=∠CGE；③S△AFG=S△CFG；④若∠EGH：∠ECH=2：7，则∠EGH=40°.其中正确的有( )
A. ①②③④B. ②③④C. ①③④D. ①②④
12.如图，在△ABC中，∠A=60°，∠B=70°，CD是∠ACB的平分线，CH⊥AB于点H，则∠DCH的度数是( )
A. 5°B. 10°C. 15°D. 20°
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.从点O出发的三条射线OA，OB，OC，使得∠AOB=2∠AOC，且∠AOB=50°，则∠BOC的度数为 ．
14.已知射线OC、OE在∠AOB内部，OC平分∠AOB，∠AOB=110°，∠EOC=10°，则∠AOE= ______．
15.如图，∠AOB=110°，∠COD=70°，OA平分∠EOC，OB平分∠DOF，则∠EOF是______度.
16.我们定义：若两个角差的绝对值等于60°，则称这两个角互为“正角”，其中一个角是另一个角的“正角”.如：∠1=110°，∠2=50°，|∠1−∠2|=60°，则∠1和∠2互为“正角”.如图，已知∠AOB=120°，射线OC平分∠AOB，∠EOF在∠AOB的内部，若∠EOF=60°，则图中互为“正角”的共有______对．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图，已知∠BOC=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD=20∘，求∠AOB的度数．
18.(本小题8分)
如图，已知∠AOC:∠BOC=1:4，OD平分∠AOB，且∠COD=36∘，求∠AOB的度数．
19.(本小题8分)
综合与探究
如图1，∠AOB与∠BOC有一条公共边OB，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC．
(1)如果∠AOB=80°，∠BOC=40°，则∠MON的度数为______°；
(2)如图2，∠AOB+∠BOC=180°，求∠MON的度数；
(3)设∠AOB=α，∠BOC=β，其他条件不变，请利用图1求∠MON的度数(用含α，β的式子表示)．
20.(本小题8分)
已知，O为直线AB上一点，∠DOE=90°．
(1)如图1，若∠AOC=140°，OD平分∠AOC．
①求∠BOD= ______；
②请通过计算说明OE是否平分∠BOC．
(2)如图2，若∠BOE：∠AOE=2：7，求∠AOD的度数．
21.(本小题8分)
如图，已知直线AB与直线CD相交于点O，夹角∠BOD=α，射线OE，∠BOE与∠AOC互补，ON是∠AOC的角平分线．
(1)∠BOD和∠AOE度数相等吗？请说明理由．
(2)射线OM平分∠AOD，求∠MON的度数．
(3)在(2)的条件下，若∠EOM=13∠MON，求夹角α的度数．
22.(本小题8分)
如图，射线OM在∠AOC内，∠AOB=140°，∠COM=2∠BON，OC是∠AOB的角平分线，OD是∠AOM的角平分线．
(1)若∠BON=6°，求∠MON的度数；
(2)求证：∠CON=2∠AOD+∠BON；
(3)作射线OE满足∠DOE=2∠AOD，若∠COD：∠COM=4：1，求∠BOE的度数．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】当射线OC，OD都在∠AOB的内部时，如图1. 因为∠AOB=90°，∠AOC=∠BOD=30°， 所以∠COD=∠AOB−∠AOC−∠BOD=30°．
当射线OC在∠AOB的内部，射线OD在∠AOB的外部时，如图2. 因为∠AOB=90°，∠AOC=∠BOD=30°， 所以∠COD=∠AOB+∠BOD−∠AOC=90°. 当射线OC在∠AOB的外部，射线OD在∠AOB的外部时，如图3. 因为∠AOB=90°，∠AOC=∠BOD=30°， 所以∠COD=∠AOB+∠BOD+∠AOC=150°．
当射线OC在∠AOB的外部，射线OD在∠AOB的内部时，如图4. 因为∠AOB=90°，∠AOC=∠BOD=30°， 所以∠COD=∠AOB+∠AOC−∠BOD=90°. 综上所述，∠COD的度数不可能为120°．
2.【答案】A
【解析】【分析】
根据折叠可得∠BDC=∠BDE，∠EDF=∠GDF，由角平分线的定义可得∠BDA=∠GDF+∠BDG=2∠GDF，∠BDE=∠EDF+∠GDF+∠BDG=3∠GDF，然后根据∠BDC+∠BDA=90°进行计算即可．
此题考查的是折叠背景下、角的运算和角平分线的定义等，是常考题型．
【解答】
解：由折叠可知，∠BDC=∠BDE，∠EDF=∠GDF，
因为DG平分∠ADB，
所以∠BDG=∠GDF，
所以∠EDF=∠BDG=∠GDF，
所以∠BDE=∠EDF+∠GDF+∠BDG=3∠GDF，
所以∠BDC=∠BDE=3∠GDF，∠BDA=∠GDF+∠BDG=2∠GDF，
因为∠BDC+∠BDA=90°=3∠GDF+2∠GDF=5∠GDF，
所以∠GDF=18°，
所以∠EDF=18°．
故选：A．
3.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查了角的计算，以及角平分线的定义和求法，要熟练掌握．
首先根据OE平分∠BOD，∠BOE=23°，求出∠BOD的度数是多少；然后根据∠AOB是直角，求出∠AOD的度数，再根据OA平分∠COD，求出∠COD的度数，据此求出∠BOC的度数是多少即可．
【解答】
解：因为OE平分∠BOD，∠BOE=23°，
所以∠BOD=23°×2=46°，
因为∠AOB=90°，
所以∠AOD=90°−46°=44°，
又因为OA平分∠COD，
所以∠COD=2∠AOD=2×44°=88°，
所以∠BOC=∠BOD+∠COD=46°+88°=134°．
故选：B．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了平行线的判定与性质、角的平分线与角的计算的知识点．
根据平行线的判定与性质即可判定①；在点O下方作OF//AB，再次根据平行线的性质可得∠AOF=∠EAO=12∠EAD，∠FOC=∠ECD，即可判定②；设∠EAP=∠PAD=x，∠ECP=∠PCD=y，根据(2)的结论即可求出∠APC=x+y=70∘，继而求得∠ECD=2y=∠E=60∘，解得x和y的度数，即可判定③．
【解答】
解：AD//BC，
∴∠EAD=∠B=∠D，
∴ AB//CD，故 ①正确;
如图，过点O作OF//AB交BC于点F，
∵AB//CD，
∴OF//CD，
∴ ∠AOF=∠EAO=12∠EAD，∠FOC=∠ECD，
∴∠AOC= ∠AOF+∠FOC=12∠EAD+∠ECD，故 ②正确;
设∠EAP=∠PAD=x，∠ECP=∠PCD=y，
由②得∠AOC=∠EAO+∠OCD=x+2y，
同理∠APC=∠EAO+ ∠PCD=x+y=70∘，
∵AB//CD，
∴∠ECD=2y=∠E=60∘，
∴y =30∘，
∴x=70∘−y=40∘，
∴∠EAD=2x=80∘，
∵∠EAD=∠D，
∴∠D=80∘，故 ③正确．
故选D．
5.【答案】B
【解析】解：∵OC是∠AOB的角平分线，
∴∠AOC=∠BOC=12∠AOB，
∵∠AOB=74°，
∴∠AOC=37°，
∵∠COD=10°，
∴∠AOD=∠AOC−∠COD
=37°−10°
=27°．
故选：B．
OC是∠AOB的角平分线，∠AOB=74°，求出∠AOC=37°，∠COD=10°，∠AOD=∠AOC−∠COD=27°．
本题考查了角平分线，角的和差，关键是找出∠AOD等于∠AOC与∠COD的差．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查角平分线的知识点，以及角的计算．利用角平分线的概念和角的和差关系计算．
【解答】
解：∵∠AME=104°，∠AME+∠BME=180°
∴∠BME=180−104=76°
∵ME平分∠BMC，∴∠EMC=∠BME=76°
∴∠AMC=∠AME−∠EMC=104−76=28°
故选C．
7.【答案】D
【解析】解：∵OB，OD分别平分∠COD，∠BOE，
∴∠COB=∠BOD=∠DOE，
∴∠COB+∠BOD=∠BOD+∠DOE，
即：∠COD=∠BOE，因此A正确，不符合题意；
∠COE=∠COB+∠BOD+∠DOE=3∠BOD，因此B正确，不符合题意；
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOC=90°=∠AOC+∠BOD，因此C正确，不符合题意；
∵OC是∠AOB内任意一条射线，
∴∠AOC 不一定会等于2∠BOC，即∠AOC 不一定会等于∠BOE，因此D不正确，符合题意；
故选：D．
根据角平分线的定义，互余的意义和等量代换，逐个结论进行判断即可得出答案．
本题考查角平分线的定义、互为余角的意义，掌握角平分线的定义是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查平行线的判定和性质，三角形的外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
根据平行线的判定和性质，角平分线的定义一一判断即可．
【解答】
解：∵∠EAC=∠ABC+∠ACB，
∵∠ABC=∠ACB，∠EAD=∠DAC，
∴∠EAD=∠ABC，
∴AD//BC，故①正确；
∴∠ADB=∠DBC，
∵∠ABD=∠DBC，
∴∠ACB=∠ABC=2∠DBC=2∠ADB，
∴∠ADB=12∠ACB，故②正确；
∵∠BAC+∠ABC=∠ACF，
∴12∠BAC+12∠ABC=12∠ACF，
∵∠BDC+∠DBC=12∠ACF，
∴12∠BAC+12∠ABC=∠BDC+∠DBC，
∵∠DBC=12∠ABC，
∴12∠BAC=∠BDC，即∠BDC=12∠BAC，
∴∠BAC=2∠BDC，故③正确；
∵∠ADC=180°−(∠DAC+∠DCA)
=180°−12(∠EAC+∠FCA)
=180°−12(∠ABC+∠ACB+∠ABC+∠BAC)
=90°−12∠ABC
=90°−∠ABD，
∴∠ADC+∠ABD=90°，故④正确．
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查角平分线的定义，直角三角形的判定以及勾股定理的运用，解题的关键是首先证明出△ECF为直角三角形．根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理即可求得CE2+CF2=EF2，进而可求出CE2+CF2的值．
【解答】
解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ACE=12∠ACB，∠ACF=12∠ACD，即∠ECF=12(∠ACB+∠ACD)=90°，
∴△EFC为直角三角形，
又∵EF//BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF，
∴CM=EM=MF=5，EF=10，
由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=100．
故选B．
10.【答案】C
【解析】解：在四边形ABCD中，
∠ADC=360°−α−(∠DCB+∠DAB)
=360°−α−(360°−2∠PCD−2∠PAD)
=2(∠PCD+∠PAD)−α
=2(∠ADC−β)−α，
∴∠ADC=α+2β，
故选：C．
根据三角形的内角和，四边形的内角和定理，以及三角形的外角的意义，得出∠ADC与α、β的关系．
本题考查多边形的内角和、外角和定理，通过图形直观，得出各个角之间的关系是正确解答的前提．
11.【答案】A
【解析】解：∵AB//CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∵∠BAC与∠DCA的平分线相交于点G，
∴∠GAC+∠GCA=12∠BAC+12∠ACD=12×180°=90°，
∴∠AGC=90°，
∴AG⊥CG，故①正确；
∵AG⊥CG，GE⊥AC，
∴∠CGE+∠AGE=90°，∠AGE+∠GAE=90°，
∴∠CGE=∠GAE，
∵AG平分∠BAC，
∴∠BAG=∠GAE，
∴∠BAG=∠CGE，故②正确；
∵∠FGC=∠FCG，
∴FG=FC，
∵∠FGC+∠AGF=90°，∠FCG+∠GAC=90°，
∴∠AGF=∠GAC，
∴AF=FG，
∴AF=FC，
∴S△AFG=S△CFG，故③正确；
∵GE⊥AC，GH⊥CD，
∴∠EGH+∠ECH=180°．
又∠EGH：∠ECH=2：7，
∴∠EGH=180°×29=40°，故④正确．
所以正确的是①②③④．
故选：A．
灵活利用平行线的性质、等角的余角相等、四边形的内角和、等边对等角、三角形的面积公式、角平分线的性质进行分析．
本题考查平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
12.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
根据∠DCH=∠DCB−∠HCB，求出∠DCB，∠HCB即可．
【解答】
解：∵∠ACB=180°−∠A−∠B=50°，
又∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB=12×50°=25°，
∵CH⊥AB，
∴∠CHB=90°，
∴∠HCB=90°−70°=20°，
∴∠DCH=∠DCB−∠HCB=25°−20°=5°．
故选A．
13.【答案】25°或75°
【解析】略
14.【答案】45°或65°
【解析】解：
如图，∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=110°÷2=55°，
∴∠AOE=55°−10°或∠AOE=55°+10°，
∴∠AOE=45°或65°．
故答案为：45°或65°．
根据角平分线求出∠AOC的度数，再分OE所在的位置求出两种结果．
本题考查了角平分线和角的计算，解题的关键是分两种情况来解答出角的度数．
15.【答案】150
【解析】解：∵∠AOB=110°，∠COD=70°，
∴∠AOC+∠BOD=110°−70°=40°，
∵OA平分∠EOC，OB平分∠DOF，
∴∠AOE=∠AOC，∠BOF=∠BOD，
∴∠AOE+∠BOF=∠AOC+∠BOD，
∴∠AOE+∠BOF=40°，
∴∠EOF=∠AOB+∠AOE+∠BOF=110°+40°=150°．
故答案为150．
要求∠EOF的度数，根据已知条件，只需求出∠AOE+∠BOF，而OA平分∠EOC，OB平分∠DOF，所以∠AOE+∠BOF=∠AOC+∠BOD．
在解决角与角之间的关系时，通常是以数据来衡量；在计算角的大小时，通常是以方程来解决；它们是数形结合的思想和方程的思想，这两种思想在数学中举足轻重，要好好灵活运用．
16.【答案】7
【解析】解：因为∠AOB=120°，射线OC平分∠AOB，
所以∠AOC=∠BOC=12∠AOB=60°，
所以∠AOB−∠AOC=60°，∠AOB−∠BOC=60°，
又因为∠EOF=60°，
所以∠AOB−∠EOF=60°，
因为∠EOF=∠AOC=60°，
所以∠AOF−∠AOE=60°，∠AOF−∠COF=60°，∠BOE−∠EOC=60°，∠BOE−∠BOF=60°
所以图中互为“正角”的共有∠AOB与∠AOC，∠AOB与∠BOC，∠AOB与∠EOF，∠AOF与∠AOE，∠AOF与∠COF，∠BOE与∠EOC，∠BOE与∠BOF共7对．
故答案为：7
根据“正角”的定义解答即可．
本题考查了角平分线的定义，新定义，理清题意是解答本题的关键．
17.【答案】120∘
【解析】略
18.【答案】120∘
【解析】略
19.【答案】60
【解析】解：(1)∵射线OM平分∠AOB，∠AOB=80°，
∴∠BOM=12∠AOB=40°，
∵射线ON平分∠BOC，∠BOC=40°，
∴∠BON=12∠BOC=20°，
∴∠MON=∠BOM+∠BON=40°+20°=60°，
故答案为：60；
(2)∵射线OM平分∠AOB，
∴∠BOM=12∠AOB，
∵射线ON平分∠BOC，
∴∠BON=12∠BOC，
∴∠MON=∠BOM+∠BON=12∠AOB+12∠BOC=12(∠AOB+∠BOC)=12×180°=90°；
(3)∵射线OM平分∠AOB，∠AOB=α，
∴∠BOM=12∠AOB=12α，
∵射线ON平分∠BOC，∠BOC=β，
∴∠BON=12∠BOC=12β，
∴∠MON=∠BOM+∠BON=12∠AOB+12∠BOC=12α+12β．
(1)首先根据角平分线定义可得∠BOM=12∠AOB=40°，再根据角平分线定义可得∠BON=12∠BOC=20°，即可得∠MON的度数；
(2)根据角平分线定义可得∠BOM=12∠AOB，再根据角平分线定义可得∠BON=12∠BOC，即可得∠MON=12∠AOC=90°．
(3)根据角平分线定义可得∠BOM=12∠AOB=12α，再根据角平分线定义可得∠BON=12∠BOC=12β，即可得结果．
此题主要考查了角平分线定义及角的运算，关键是掌握角平分线把角分成相等的两部分．
20.【答案】110°
【解析】解：(1)①∵∠AOC=140°，OD平分∠AOC，
∴∠AOD=∠COD=70°，
∵∠DOE=90°，
∴∠COE=90°−70°=20°，∠BOE=180°−70°−90°=20°，
∴∠COE=∠BOE，
∴OE是否平分∠BOC；
∴∠BOD=∠BOE+∠DOE=110°；
故答案为：110°；
②∵∠AOC=140°，
∴∠BOC=180°−140°=40°，
∵∠DOE=90°，∠DOC=12∠AOC=70°，
∴∠COE=90°−70°=20°=12∠BOC，
∴OE是否平分∠BOC；
(2)设∠AOD=x，则∠BOE=90−x，
∵∠BOE：∠AOE=2：7，
∴90−x90+x=27，解得：x=50°．
(1)①利用角平分线定义计算∠AOD=70°，即可得到本题答案；②通过计算得到∠COE和∠BOE度数，两个度数相等即可得到本题答案；
(2)根据题意设∠AOD=x，则∠BOE=90−x，再利用题干信息列出等式即可得到本题答案．
本题考查角度计算，邻补角定义，角平分线定义，熟练掌握以上知识点是关键．
21.【答案】解：(1)∠BOD=∠AOE，理由如下：
∵∠BOE+∠AOE=180°，
∠BOE+∠AOC=180°，
∴∠AOC=∠AOE，
又∵∠AOC=∠BOD，
∴∠BOD=∠AOE ；
(2)如图，∵ON平分∠AOC，
∴∠AON=12∠AOC，
同理：∠AOM=12∠AOD，
∴∠AON+∠AOM=12(∠AOD+∠AOC)=90°，
即∠MON=90°，
;
(3)∵∠EOM=13∠MON
∴∠EOM=30°，
设∠AON=x
则∠AOM=90°−x，∠AOE=2x
∴∠EOM=|∠AOM −∠AOE|=|90°−3x|=30°
∴90°−3x=30°或3x−90°=30°
∴x=20°或40°
∴夹角为α=20°或40°
【解析】本题主要考查补角，对顶角，角的计算，角的平分线，掌握角之间的关系是解题的关键．
(1)根据题意和邻补角的概念列式即可证明结论；
(2)根据角平分线的定义得出∠AON=12∠AOC，∠AOM=12∠AOD，进而可求出∠MON的度数；
(3)先求出∠EOM，设∠AON=x，则∠AOM=90°−x，∠AOE=2x，然后根据∠EOM=|∠AOM −∠AOE|=|90°−3x|=30°求解即可．
22.【答案】(1)解：∵∠AOB=140°，OC是∠AOB的角平分线，
∴∠BOC=∠AOC=12∠AOB=70°，
∵∠BON=6°，
∴∠COM=2∠BON=12°，∠CON=∠BOC−∠BON=70°−6°=64°，
∴∠MON=∠COM+∠CON=12°+64°=76°；
(2)证明：设∠BON=α，则∠COM=2∠BON=2α，
∵∠BOC=∠AOC=70°，
∴∠CON=∠BOC−∠BON=70°−α，∠AOM=∠AOC−∠COM=70°−2α，
∵OD是∠AOM的角平分线，
∴∠AOM=2∠AOD=70°−2α，
∴2∠AOD+∠BON=70°−2α+α=70°−α，
∴∠CON=2∠AOD+∠BON；
(3)∵∠COD：∠COM=4：1，
设∠COD=4β，∠COM=β，
∴∠DOM=∠COD−∠COM=4β−β=3β，
∵OD是∠AOM的角平分线，
∴∠AOD=∠DOM=3β，∠AOM=2∠DOM=6β，
∴∠AOC=∠AOM+∠COM=6β+β=7β，
∵∠BOC=∠AOC=70°，
∴7β=70°，
∴β=10°，
∴∠AOD=∠DOM=3β=30°，∠AOM=6β=60°，∠COD=4β=40°，
作射线OE满足∠DOE=2∠AOD，有以下两种情况：
①当射线OE在∠AOB内部时，如图1所示：
∵∠DOE=2∠AOD=60°，
∴∠COE=∠DOE−∠COD=60°−40°=20°，
∴∠BOE=∠BOC−∠COE=70°−20°=50°；
②当射线OE在∠AOB外部时，如图2所示：
∵∠DOE=2∠AOD=60°，
∵∠AOE=∠DOE−∠AOD=60°−30°=30°，
∴∠BOE=∠AOE+∠AOB=30°+140°=170°，
综上所述：∠BOE的度数为50°或170°．
【解析】(1)根据角平分线定义得∠BOC=∠AOC=70°，根据∠BON=6°，得∠COM=12°，∠CON=∠BOC−∠BON=64°，再根据∠MON=∠COM+∠CON可得出答案；
(2)设∠BON=α，则∠COM=2∠BON=2α，∠CON=70°−α，∠AOM=70°−2α，根据角平分线定义得∠AOM=2∠AOD=70°−2α，由此即可得出结论；
(3)先根据∠COD：∠COM=4：1可求出∠AOD=∠DOM=3β=30°，∠AOM=6β=60°，∠COD=4β=40°，有以下两种情况：①当射线OE在∠AOB内部时，根据∠DOE=2∠AOD=60°得∠COE=20°，然后根据∠BOE=∠BOC−∠COE可得出答案；②当射线OE在∠AOB内部时，根据∠DOE=2∠AOD=60°得∠AOE=30°，然后根据∠BOE=∠AOE+∠AOB可得出答案，综上所述即可得出∠BOE的度数．
此题主要考查了角的计算，角平分线的定义，准确识图，理解角平分线的定义，熟练掌握掌握角的计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．
1.如图，在同一平面内，∠AOB=90°，若∠AOC=∠BOD=30°，则∠COD的度数不可能为 ( )
A. 30°B. 90°C. 120°D. 150°
2.如图，将一张长方形纸片ABCD沿BD折叠后，点C落在点E处，连接BE交AD于F，再将三角形DEF沿DF折叠后，点E落在点G处，若DG刚好平分∠ADB，则∠EDF的度数是( )
A. 18°B. 30°C. 36°D. 20°
3.如图，∠AOB=90°，OA平分∠COD，OE平分∠BOD，若∠BOE=23°，则∠BOC的度数是( )
A. 113°B. 134°C. 136°D. 144°
4.如图，AD//BC，∠B=∠D，延长BA至点E，连接CE，∠EAD和∠ECD的角平分线交于点P，下列三个结论：①AB//CD;②∠AOC=12∠EAD+∠ECD;③若∠E=60°，∠APC=70°，则∠D=80°，其中结论正确的个数有( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
5.如图，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB=74°，∠COD=10°.则∠AOD度数为( )
A. 17°
B. 27°
C. 37°
D. 64°
6.如图所示，AB，CD相交于M，ME平分∠BMC，且∠AME=104°，则∠AMC的度数为( )
A. 38°B. 32°C. 28°D. 24°
7.如图，∠AOB=90°，OC是∠AOB内任意一条射线，OB，OD分别平分∠COD，∠BOE，下列结论错误的是( )
A. ∠COD=∠BOE
B. ∠COE=3∠BOD
C. ∠AOC+∠BOD=90°
D. ∠BOE=∠AOC
8.如图，∠ABC=∠ACB，BD、CD、AD分别平分∠ABC、∠ACF、∠EAC.以下结论，其中正确的是( )
①AD//BC；②∠ADB=12∠ACB；③∠BAC=2∠BDC；④∠ADC+∠ABD=90°．
A. ①②B. ②③④C. ①③④D. ①②③④
9.如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF//BC交AC于点M.若CM=5，则CE2+CF2等于( )
A. 75B. 100C. 120D. 125
10.如图，AP，CP分别是四边形ABCD的外角∠DAM，∠DCN的平分线，设∠ABC=α，∠APC=β，则∠ADC的度数为 ( )
A. 180°−α−βB. α+βC. α+2βD. 2α+β
11.如图，AB//CD，∠BAC与∠DCA的平分线相交于点G，GE⊥AC于点E，F为AC上的一点，且AF=FC，GH⊥CD于点H.下列说法：①AG⊥CG；②∠BAG=∠CGE；③S△AFG=S△CFG；④若∠EGH：∠ECH=2：7，则∠EGH=40°.其中正确的有( )
A. ①②③④B. ②③④C. ①③④D. ①②④
12.如图，在△ABC中，∠A=60°，∠B=70°，CD是∠ACB的平分线，CH⊥AB于点H，则∠DCH的度数是( )
A. 5°B. 10°C. 15°D. 20°
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.从点O出发的三条射线OA，OB，OC，使得∠AOB=2∠AOC，且∠AOB=50°，则∠BOC的度数为 ．
14.已知射线OC、OE在∠AOB内部，OC平分∠AOB，∠AOB=110°，∠EOC=10°，则∠AOE= ______．
15.如图，∠AOB=110°，∠COD=70°，OA平分∠EOC，OB平分∠DOF，则∠EOF是______度.
16.我们定义：若两个角差的绝对值等于60°，则称这两个角互为“正角”，其中一个角是另一个角的“正角”.如：∠1=110°，∠2=50°，|∠1−∠2|=60°，则∠1和∠2互为“正角”.如图，已知∠AOB=120°，射线OC平分∠AOB，∠EOF在∠AOB的内部，若∠EOF=60°，则图中互为“正角”的共有______对．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图，已知∠BOC=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD=20∘，求∠AOB的度数．
18.(本小题8分)
如图，已知∠AOC:∠BOC=1:4，OD平分∠AOB，且∠COD=36∘，求∠AOB的度数．
19.(本小题8分)
综合与探究
如图1，∠AOB与∠BOC有一条公共边OB，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC．
(1)如果∠AOB=80°，∠BOC=40°，则∠MON的度数为______°；
(2)如图2，∠AOB+∠BOC=180°，求∠MON的度数；
(3)设∠AOB=α，∠BOC=β，其他条件不变，请利用图1求∠MON的度数(用含α，β的式子表示)．
20.(本小题8分)
已知，O为直线AB上一点，∠DOE=90°．
(1)如图1，若∠AOC=140°，OD平分∠AOC．
①求∠BOD= ______；
②请通过计算说明OE是否平分∠BOC．
(2)如图2，若∠BOE：∠AOE=2：7，求∠AOD的度数．
21.(本小题8分)
如图，已知直线AB与直线CD相交于点O，夹角∠BOD=α，射线OE，∠BOE与∠AOC互补，ON是∠AOC的角平分线．
(1)∠BOD和∠AOE度数相等吗？请说明理由．
(2)射线OM平分∠AOD，求∠MON的度数．
(3)在(2)的条件下，若∠EOM=13∠MON，求夹角α的度数．
22.(本小题8分)
如图，射线OM在∠AOC内，∠AOB=140°，∠COM=2∠BON，OC是∠AOB的角平分线，OD是∠AOM的角平分线．
(1)若∠BON=6°，求∠MON的度数；
(2)求证：∠CON=2∠AOD+∠BON；
(3)作射线OE满足∠DOE=2∠AOD，若∠COD：∠COM=4：1，求∠BOE的度数．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】当射线OC，OD都在∠AOB的内部时，如图1. 因为∠AOB=90°，∠AOC=∠BOD=30°， 所以∠COD=∠AOB−∠AOC−∠BOD=30°．
当射线OC在∠AOB的内部，射线OD在∠AOB的外部时，如图2. 因为∠AOB=90°，∠AOC=∠BOD=30°， 所以∠COD=∠AOB+∠BOD−∠AOC=90°. 当射线OC在∠AOB的外部，射线OD在∠AOB的外部时，如图3. 因为∠AOB=90°，∠AOC=∠BOD=30°， 所以∠COD=∠AOB+∠BOD+∠AOC=150°．
当射线OC在∠AOB的外部，射线OD在∠AOB的内部时，如图4. 因为∠AOB=90°，∠AOC=∠BOD=30°， 所以∠COD=∠AOB+∠AOC−∠BOD=90°. 综上所述，∠COD的度数不可能为120°．
2.【答案】A
【解析】【分析】
根据折叠可得∠BDC=∠BDE，∠EDF=∠GDF，由角平分线的定义可得∠BDA=∠GDF+∠BDG=2∠GDF，∠BDE=∠EDF+∠GDF+∠BDG=3∠GDF，然后根据∠BDC+∠BDA=90°进行计算即可．
此题考查的是折叠背景下、角的运算和角平分线的定义等，是常考题型．
【解答】
解：由折叠可知，∠BDC=∠BDE，∠EDF=∠GDF，
因为DG平分∠ADB，
所以∠BDG=∠GDF，
所以∠EDF=∠BDG=∠GDF，
所以∠BDE=∠EDF+∠GDF+∠BDG=3∠GDF，
所以∠BDC=∠BDE=3∠GDF，∠BDA=∠GDF+∠BDG=2∠GDF，
因为∠BDC+∠BDA=90°=3∠GDF+2∠GDF=5∠GDF，
所以∠GDF=18°，
所以∠EDF=18°．
故选：A．
3.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查了角的计算，以及角平分线的定义和求法，要熟练掌握．
首先根据OE平分∠BOD，∠BOE=23°，求出∠BOD的度数是多少；然后根据∠AOB是直角，求出∠AOD的度数，再根据OA平分∠COD，求出∠COD的度数，据此求出∠BOC的度数是多少即可．
【解答】
解：因为OE平分∠BOD，∠BOE=23°，
所以∠BOD=23°×2=46°，
因为∠AOB=90°，
所以∠AOD=90°−46°=44°，
又因为OA平分∠COD，
所以∠COD=2∠AOD=2×44°=88°，
所以∠BOC=∠BOD+∠COD=46°+88°=134°．
故选：B．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了平行线的判定与性质、角的平分线与角的计算的知识点．
根据平行线的判定与性质即可判定①；在点O下方作OF//AB，再次根据平行线的性质可得∠AOF=∠EAO=12∠EAD，∠FOC=∠ECD，即可判定②；设∠EAP=∠PAD=x，∠ECP=∠PCD=y，根据(2)的结论即可求出∠APC=x+y=70∘，继而求得∠ECD=2y=∠E=60∘，解得x和y的度数，即可判定③．
【解答】
解：AD//BC，
∴∠EAD=∠B=∠D，
∴ AB//CD，故 ①正确;
如图，过点O作OF//AB交BC于点F，
∵AB//CD，
∴OF//CD，
∴ ∠AOF=∠EAO=12∠EAD，∠FOC=∠ECD，
∴∠AOC= ∠AOF+∠FOC=12∠EAD+∠ECD，故 ②正确;
设∠EAP=∠PAD=x，∠ECP=∠PCD=y，
由②得∠AOC=∠EAO+∠OCD=x+2y，
同理∠APC=∠EAO+ ∠PCD=x+y=70∘，
∵AB//CD，
∴∠ECD=2y=∠E=60∘，
∴y =30∘，
∴x=70∘−y=40∘，
∴∠EAD=2x=80∘，
∵∠EAD=∠D，
∴∠D=80∘，故 ③正确．
故选D．
5.【答案】B
【解析】解：∵OC是∠AOB的角平分线，
∴∠AOC=∠BOC=12∠AOB，
∵∠AOB=74°，
∴∠AOC=37°，
∵∠COD=10°，
∴∠AOD=∠AOC−∠COD
=37°−10°
=27°．
故选：B．
OC是∠AOB的角平分线，∠AOB=74°，求出∠AOC=37°，∠COD=10°，∠AOD=∠AOC−∠COD=27°．
本题考查了角平分线，角的和差，关键是找出∠AOD等于∠AOC与∠COD的差．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查角平分线的知识点，以及角的计算．利用角平分线的概念和角的和差关系计算．
【解答】
解：∵∠AME=104°，∠AME+∠BME=180°
∴∠BME=180−104=76°
∵ME平分∠BMC，∴∠EMC=∠BME=76°
∴∠AMC=∠AME−∠EMC=104−76=28°
故选C．
7.【答案】D
【解析】解：∵OB，OD分别平分∠COD，∠BOE，
∴∠COB=∠BOD=∠DOE，
∴∠COB+∠BOD=∠BOD+∠DOE，
即：∠COD=∠BOE，因此A正确，不符合题意；
∠COE=∠COB+∠BOD+∠DOE=3∠BOD，因此B正确，不符合题意；
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOC=90°=∠AOC+∠BOD，因此C正确，不符合题意；
∵OC是∠AOB内任意一条射线，
∴∠AOC 不一定会等于2∠BOC，即∠AOC 不一定会等于∠BOE，因此D不正确，符合题意；
故选：D．
根据角平分线的定义，互余的意义和等量代换，逐个结论进行判断即可得出答案．
本题考查角平分线的定义、互为余角的意义，掌握角平分线的定义是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查平行线的判定和性质，三角形的外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
根据平行线的判定和性质，角平分线的定义一一判断即可．
【解答】
解：∵∠EAC=∠ABC+∠ACB，
∵∠ABC=∠ACB，∠EAD=∠DAC，
∴∠EAD=∠ABC，
∴AD//BC，故①正确；
∴∠ADB=∠DBC，
∵∠ABD=∠DBC，
∴∠ACB=∠ABC=2∠DBC=2∠ADB，
∴∠ADB=12∠ACB，故②正确；
∵∠BAC+∠ABC=∠ACF，
∴12∠BAC+12∠ABC=12∠ACF，
∵∠BDC+∠DBC=12∠ACF，
∴12∠BAC+12∠ABC=∠BDC+∠DBC，
∵∠DBC=12∠ABC，
∴12∠BAC=∠BDC，即∠BDC=12∠BAC，
∴∠BAC=2∠BDC，故③正确；
∵∠ADC=180°−(∠DAC+∠DCA)
=180°−12(∠EAC+∠FCA)
=180°−12(∠ABC+∠ACB+∠ABC+∠BAC)
=90°−12∠ABC
=90°−∠ABD，
∴∠ADC+∠ABD=90°，故④正确．
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查角平分线的定义，直角三角形的判定以及勾股定理的运用，解题的关键是首先证明出△ECF为直角三角形．根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理即可求得CE2+CF2=EF2，进而可求出CE2+CF2的值．
【解答】
解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ACE=12∠ACB，∠ACF=12∠ACD，即∠ECF=12(∠ACB+∠ACD)=90°，
∴△EFC为直角三角形，
又∵EF//BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF，
∴CM=EM=MF=5，EF=10，
由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=100．
故选B．
10.【答案】C
【解析】解：在四边形ABCD中，
∠ADC=360°−α−(∠DCB+∠DAB)
=360°−α−(360°−2∠PCD−2∠PAD)
=2(∠PCD+∠PAD)−α
=2(∠ADC−β)−α，
∴∠ADC=α+2β，
故选：C．
根据三角形的内角和，四边形的内角和定理，以及三角形的外角的意义，得出∠ADC与α、β的关系．
本题考查多边形的内角和、外角和定理，通过图形直观，得出各个角之间的关系是正确解答的前提．
11.【答案】A
【解析】解：∵AB//CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∵∠BAC与∠DCA的平分线相交于点G，
∴∠GAC+∠GCA=12∠BAC+12∠ACD=12×180°=90°，
∴∠AGC=90°，
∴AG⊥CG，故①正确；
∵AG⊥CG，GE⊥AC，
∴∠CGE+∠AGE=90°，∠AGE+∠GAE=90°，
∴∠CGE=∠GAE，
∵AG平分∠BAC，
∴∠BAG=∠GAE，
∴∠BAG=∠CGE，故②正确；
∵∠FGC=∠FCG，
∴FG=FC，
∵∠FGC+∠AGF=90°，∠FCG+∠GAC=90°，
∴∠AGF=∠GAC，
∴AF=FG，
∴AF=FC，
∴S△AFG=S△CFG，故③正确；
∵GE⊥AC，GH⊥CD，
∴∠EGH+∠ECH=180°．
又∠EGH：∠ECH=2：7，
∴∠EGH=180°×29=40°，故④正确．
所以正确的是①②③④．
故选：A．
灵活利用平行线的性质、等角的余角相等、四边形的内角和、等边对等角、三角形的面积公式、角平分线的性质进行分析．
本题考查平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
12.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
根据∠DCH=∠DCB−∠HCB，求出∠DCB，∠HCB即可．
【解答】
解：∵∠ACB=180°−∠A−∠B=50°，
又∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB=12×50°=25°，
∵CH⊥AB，
∴∠CHB=90°，
∴∠HCB=90°−70°=20°，
∴∠DCH=∠DCB−∠HCB=25°−20°=5°．
故选A．
13.【答案】25°或75°
【解析】略
14.【答案】45°或65°
【解析】解：
如图，∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=110°÷2=55°，
∴∠AOE=55°−10°或∠AOE=55°+10°，
∴∠AOE=45°或65°．
故答案为：45°或65°．
根据角平分线求出∠AOC的度数，再分OE所在的位置求出两种结果．
本题考查了角平分线和角的计算，解题的关键是分两种情况来解答出角的度数．
15.【答案】150
【解析】解：∵∠AOB=110°，∠COD=70°，
∴∠AOC+∠BOD=110°−70°=40°，
∵OA平分∠EOC，OB平分∠DOF，
∴∠AOE=∠AOC，∠BOF=∠BOD，
∴∠AOE+∠BOF=∠AOC+∠BOD，
∴∠AOE+∠BOF=40°，
∴∠EOF=∠AOB+∠AOE+∠BOF=110°+40°=150°．
故答案为150．
要求∠EOF的度数，根据已知条件，只需求出∠AOE+∠BOF，而OA平分∠EOC，OB平分∠DOF，所以∠AOE+∠BOF=∠AOC+∠BOD．
在解决角与角之间的关系时，通常是以数据来衡量；在计算角的大小时，通常是以方程来解决；它们是数形结合的思想和方程的思想，这两种思想在数学中举足轻重，要好好灵活运用．
16.【答案】7
【解析】解：因为∠AOB=120°，射线OC平分∠AOB，
所以∠AOC=∠BOC=12∠AOB=60°，
所以∠AOB−∠AOC=60°，∠AOB−∠BOC=60°，
又因为∠EOF=60°，
所以∠AOB−∠EOF=60°，
因为∠EOF=∠AOC=60°，
所以∠AOF−∠AOE=60°，∠AOF−∠COF=60°，∠BOE−∠EOC=60°，∠BOE−∠BOF=60°
所以图中互为“正角”的共有∠AOB与∠AOC，∠AOB与∠BOC，∠AOB与∠EOF，∠AOF与∠AOE，∠AOF与∠COF，∠BOE与∠EOC，∠BOE与∠BOF共7对．
故答案为：7
根据“正角”的定义解答即可．
本题考查了角平分线的定义，新定义，理清题意是解答本题的关键．
17.【答案】120∘
【解析】略
18.【答案】120∘
【解析】略
19.【答案】60
【解析】解：(1)∵射线OM平分∠AOB，∠AOB=80°，
∴∠BOM=12∠AOB=40°，
∵射线ON平分∠BOC，∠BOC=40°，
∴∠BON=12∠BOC=20°，
∴∠MON=∠BOM+∠BON=40°+20°=60°，
故答案为：60；
(2)∵射线OM平分∠AOB，
∴∠BOM=12∠AOB，
∵射线ON平分∠BOC，
∴∠BON=12∠BOC，
∴∠MON=∠BOM+∠BON=12∠AOB+12∠BOC=12(∠AOB+∠BOC)=12×180°=90°；
(3)∵射线OM平分∠AOB，∠AOB=α，
∴∠BOM=12∠AOB=12α，
∵射线ON平分∠BOC，∠BOC=β，
∴∠BON=12∠BOC=12β，
∴∠MON=∠BOM+∠BON=12∠AOB+12∠BOC=12α+12β．
(1)首先根据角平分线定义可得∠BOM=12∠AOB=40°，再根据角平分线定义可得∠BON=12∠BOC=20°，即可得∠MON的度数；
(2)根据角平分线定义可得∠BOM=12∠AOB，再根据角平分线定义可得∠BON=12∠BOC，即可得∠MON=12∠AOC=90°．
(3)根据角平分线定义可得∠BOM=12∠AOB=12α，再根据角平分线定义可得∠BON=12∠BOC=12β，即可得结果．
此题主要考查了角平分线定义及角的运算，关键是掌握角平分线把角分成相等的两部分．
20.【答案】110°
【解析】解：(1)①∵∠AOC=140°，OD平分∠AOC，
∴∠AOD=∠COD=70°，
∵∠DOE=90°，
∴∠COE=90°−70°=20°，∠BOE=180°−70°−90°=20°，
∴∠COE=∠BOE，
∴OE是否平分∠BOC；
∴∠BOD=∠BOE+∠DOE=110°；
故答案为：110°；
②∵∠AOC=140°，
∴∠BOC=180°−140°=40°，
∵∠DOE=90°，∠DOC=12∠AOC=70°，
∴∠COE=90°−70°=20°=12∠BOC，
∴OE是否平分∠BOC；
(2)设∠AOD=x，则∠BOE=90−x，
∵∠BOE：∠AOE=2：7，
∴90−x90+x=27，解得：x=50°．
(1)①利用角平分线定义计算∠AOD=70°，即可得到本题答案；②通过计算得到∠COE和∠BOE度数，两个度数相等即可得到本题答案；
(2)根据题意设∠AOD=x，则∠BOE=90−x，再利用题干信息列出等式即可得到本题答案．
本题考查角度计算，邻补角定义，角平分线定义，熟练掌握以上知识点是关键．
21.【答案】解：(1)∠BOD=∠AOE，理由如下：
∵∠BOE+∠AOE=180°，
∠BOE+∠AOC=180°，
∴∠AOC=∠AOE，
又∵∠AOC=∠BOD，
∴∠BOD=∠AOE ；
(2)如图，∵ON平分∠AOC，
∴∠AON=12∠AOC，
同理：∠AOM=12∠AOD，
∴∠AON+∠AOM=12(∠AOD+∠AOC)=90°，
即∠MON=90°，
;
(3)∵∠EOM=13∠MON
∴∠EOM=30°，
设∠AON=x
则∠AOM=90°−x，∠AOE=2x
∴∠EOM=|∠AOM −∠AOE|=|90°−3x|=30°
∴90°−3x=30°或3x−90°=30°
∴x=20°或40°
∴夹角为α=20°或40°
【解析】本题主要考查补角，对顶角，角的计算，角的平分线，掌握角之间的关系是解题的关键．
(1)根据题意和邻补角的概念列式即可证明结论；
(2)根据角平分线的定义得出∠AON=12∠AOC，∠AOM=12∠AOD，进而可求出∠MON的度数；
(3)先求出∠EOM，设∠AON=x，则∠AOM=90°−x，∠AOE=2x，然后根据∠EOM=|∠AOM −∠AOE|=|90°−3x|=30°求解即可．
22.【答案】(1)解：∵∠AOB=140°，OC是∠AOB的角平分线，
∴∠BOC=∠AOC=12∠AOB=70°，
∵∠BON=6°，
∴∠COM=2∠BON=12°，∠CON=∠BOC−∠BON=70°−6°=64°，
∴∠MON=∠COM+∠CON=12°+64°=76°；
(2)证明：设∠BON=α，则∠COM=2∠BON=2α，
∵∠BOC=∠AOC=70°，
∴∠CON=∠BOC−∠BON=70°−α，∠AOM=∠AOC−∠COM=70°−2α，
∵OD是∠AOM的角平分线，
∴∠AOM=2∠AOD=70°−2α，
∴2∠AOD+∠BON=70°−2α+α=70°−α，
∴∠CON=2∠AOD+∠BON；
(3)∵∠COD：∠COM=4：1，
设∠COD=4β，∠COM=β，
∴∠DOM=∠COD−∠COM=4β−β=3β，
∵OD是∠AOM的角平分线，
∴∠AOD=∠DOM=3β，∠AOM=2∠DOM=6β，
∴∠AOC=∠AOM+∠COM=6β+β=7β，
∵∠BOC=∠AOC=70°，
∴7β=70°，
∴β=10°，
∴∠AOD=∠DOM=3β=30°，∠AOM=6β=60°，∠COD=4β=40°，
作射线OE满足∠DOE=2∠AOD，有以下两种情况：
①当射线OE在∠AOB内部时，如图1所示：
∵∠DOE=2∠AOD=60°，
∴∠COE=∠DOE−∠COD=60°−40°=20°，
∴∠BOE=∠BOC−∠COE=70°−20°=50°；
②当射线OE在∠AOB外部时，如图2所示：
∵∠DOE=2∠AOD=60°，
∵∠AOE=∠DOE−∠AOD=60°−30°=30°，
∴∠BOE=∠AOE+∠AOB=30°+140°=170°，
综上所述：∠BOE的度数为50°或170°．
【解析】(1)根据角平分线定义得∠BOC=∠AOC=70°，根据∠BON=6°，得∠COM=12°，∠CON=∠BOC−∠BON=64°，再根据∠MON=∠COM+∠CON可得出答案；
(2)设∠BON=α，则∠COM=2∠BON=2α，∠CON=70°−α，∠AOM=70°−2α，根据角平分线定义得∠AOM=2∠AOD=70°−2α，由此即可得出结论；
(3)先根据∠COD：∠COM=4：1可求出∠AOD=∠DOM=3β=30°，∠AOM=6β=60°，∠COD=4β=40°，有以下两种情况：①当射线OE在∠AOB内部时，根据∠DOE=2∠AOD=60°得∠COE=20°，然后根据∠BOE=∠BOC−∠COE可得出答案；②当射线OE在∠AOB内部时，根据∠DOE=2∠AOD=60°得∠AOE=30°，然后根据∠BOE=∠AOE+∠AOB可得出答案，综上所述即可得出∠BOE的度数．
此题主要考查了角的计算，角平分线的定义，准确识图，理解角平分线的定义，熟练掌握掌握角的计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．
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