2024-2025学年四川省攀枝花外国语学校本部八年级（上）开学数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年四川省攀枝花外国语学校本部八年级（上）开学数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求。
1.如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD( )
A. ∠B=∠CB. BE=CD
C. BD=CED. AD=AE
2.如图：若△ABE≌△ACF，且AB=5，AE=2，则EC的长为( )
A. 2
B. 2.5
C. 3
D. 5
3.如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1=40°，则∠AED的度数是( )
A. 70°
B. 68°
C. 65°
D. 60°
4.如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD.若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为( )
A. 105°
B. 100°
C. 95°
D. 90°
5.如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是( )
A. 4
B. 5
C. 1
D. 2
6.如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于( )
A. 1：1：1B. 1：2：3C. 2：3：4D. 3：4：5
7.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．
如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是( )
A. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D. 以上均不正确
8.在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形(即顶点恰好是正方形的顶点)，则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
9.已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6.延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC−CD−DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为( )秒时．△ABP和△DCE全等．
A. 1B. 1或3C. 1或7D. 3或7
10.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD平分∠BAC交BC于点D，CE平分∠ACB交AB于点E，AD、CE交于点F.则下列说法正确的个数为( )
①∠AFC=120°；②S△ABD=S△ADC，③若AB=2AE，则CE⊥AB；
④CD+AE=AC；⑤S△AEF：S△FDC=AF：FC．
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的逆命题为______．
12.如图，△ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为______．
13.如图，在△ABC中，BD和CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线，EF过点D，且EF//BC，若BE=3，CF=4，则EF的长为______．
14.如图，已知点P是射线ON上一动点(即P可在射线ON上运动)，∠O=30°，当∠A= ______时，△AOP为等腰三角形．
三、解答题：本题共4小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题14分)
如图，已知：在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，∠B=∠D，AD//BC.求证：AD=BC．
16.(本小题14分)
如图所示，△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CE=CD．
(1)用尺规作图的方法，过D点作DM⊥BE，垂足是M；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)求证：BM=EM．
17.(本小题14分)
如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE．
(1)求证：△DEF是等腰三角形；
(2)当∠A=40°时，求∠DEF的度数．
18.(本小题16分)
【模型熟悉】
(1)如图1，已知△ABC和△DCE，点B、C、E在一条直线上，且∠B=∠ACD=∠E，AC=CD，求证：BC=DE；
【模型运用】
(2)如图2，在等边△ABC中，M、N分别为BC，AB边上的点，且ND=NM，∠DNM=60°，连接AD.若∠DAN=30°，求证：CM=2BN；
【能力提升】
(3)如图3，等边△ABC的面积是25，AB=6，点D、F分别为AC、BC边上的动点，AD=2CF，连接DF，以DF为边在△ABC内作等边△DEF，连接BE，当点D从点A运动到点C，请在图3中作出点E的运动轨迹，并求出点E的运动路程．
答案解析
1.B
【解析】解：∵AB=AC,∠A为公共角，
A、如添加∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；
B、如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，两边一角要想证明全等则角必须为夹角，所以此选项不能作为添加的条件；
C、如添BD=CE，等量关系可得AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
D、如添AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD。
故选：B。
2.C
【解析】解：∵△ABE≌△ACF，AB=5，
∴AC=AB=5，
∵AE=2，
∴EC=AC−AE=5−2=3，
故选C．
3.A
【解析】解：∵△ABC≌△AED，
∴∠AED=∠B，AE=AB，∠BAC=∠EAD，
∴∠1=∠BAE=40°，
∴△ABE中，∠B=180°−40°2=70°，
∴∠AED=70°，
故选A．
4.A
【解析】解：∵CD=AC，∠A=50°，
∴∠ADC=∠A=50°，
∴∠ACD=180°−50°−50°=80°．
∵由作图可知，MN是线段BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
∴∠BCD=∠B=12∠ADC=25°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=80°+25°=105°．
故选：A．
5.C
【解析】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠AEH=90°，
∵∠AHE=∠CHD，
∴∠BAD=∠BCE，
∵在△HEA和△BEC中，
∠BAD=∠BCE∠AEH=∠BEC=90°EH=EB，
∴△HEA≌△BEC(AAS)，
∴AE=EC=4，
则CH=EC−EH=AE−EH=4−3=1．
故选C
由AD垂直于BC，CE垂直于AB，利用垂直的定义得到一对角为直角，再由一对对顶角相等，利用三角形的内角和定理得到一对角相等，再由一对直角相等，以及一对边相等，利用AAS得到三角形AEH与三角形EBC全等，由全等三角形的对应边相等得到AE=EC，由EC−EH，即AE−EH即可求出HC的长．
此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
6.C
【解析】解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵点O是三条角平分线交点，
∴OE=OF=OD，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=12⋅AB⋅OE：12⋅BC⋅OF：12⋅AC⋅OD=AB：BC：AC=2：3：4，
故选：C．
7.A
【解析】解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，
因为两把完全相同的长方形直尺，
所以PE=PF，
所以OP平分∠AOB(角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上)．
故选：A．
8.D
【解析】解：如图所示：
以BC为公共边的三角形有3个，以AB为公共边的三角形有0个，以AC为公共边的三角形有1个．
故选D．
9.C
【解析】解：因为AB=CD，若∠ABP=∠DCE=90°，BP=CE=2，根据SAS证得△ABP≌△DCE，
由题意得：BP=2t=2，
所以t=1，
因为AB=CD，若∠BAP=∠DCE=90°，AP=CE=2，根据SAS证得△BAP≌△DCE，
由题意得：AP=16−2t=2，
解得t=7．
所以，当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等．
故选：C．
10.C
【解析】解：①在△ABC中，∠ABC=60°，
∴∠ACB+∠CAB=120°，
∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，
∴∠FCA=12∠ACB，∠FAC=12∠CAB，
∴∠AFC=180°−(∠FCA+∠FAC)=180°−12(∠ACB+∠CAB)=120°，故①正确；
②当AD是△ABC的中线时，S△ABD=S△ADC，
而AD平分∠BAC，故②错误；
③∵AB=2AE，
∴CE为△ABC的中线，
∵CE为角平分线，
∴AC=BC，
∴△ABC为等边三角形，
∴CE⊥AB，故③正确；
④如图，作∠AFC的平分线交AC于点G，
由①得∠AFC=120°，
∴∠AFG=∠CFG=60°，
∴∠AFE=60°，
∴∠AFG=∠CFG=∠AFE=60°，
∵∠EAF=∠GAF，∠DCF=∠GCF，
∴△AEF≌△AGF(ASA)，△CDF≌△CGF(ASA)，
∴AE=AG，CD=CG，
∴CD+AE=CG+AG=AC，故④正确；
⑤过G作GM⊥FC，GH⊥AF于点G，H，
由④知，FG为∠AFC的角平分线，
∴GH=GM，
∴S△AGF：S△FGC=AF：FC，
∵△AEF≌△AGF，△CDF≌△CGF，
∴S△AEF：S△FDC=AF：FC，故⑤正确．
综上所述：正确的有①③④⑤，共4个，
故选：C．
①根据三角形内角和定理可得可得∠ACB+∠CAB=120°，然后根据AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，可得∠FCA=12∠ACB，∠FAC=12∠CAB，再根据三角形内角和定理即可进行判断；
②当AD是△ABC的中线时，S△ABD=S△ADC，进而可以进行判断；
③根据AB=2AE，证明△ABC为等边三角形，根据三线合一的性质进而可以进行判断；
④作∠AFC的平分线交AC于点G，可得∠AFG=∠CFG=∠AFE=60°，证明△AEF≌△AGF(ASA)，△CDF≌△CGF(ASA)，可得AE=AG，CD=CG，进而可以判断；
⑤过G作GM⊥FC，GH⊥AF于点G，H，由④知，FG为∠AFC的角平分线，可得GH=GM，所以可得S△AGF：S△FGC=AF：FC，根据△AEF≌△AGF，△CDF≌△CGF，进而可以进行判断．
本题考查了角平分线的定义，三角形全等的性质和判定，作辅助线，构建三角形全等是关键，有难度．
11.如果a，b互为相反数，那么a+b=0
【解析】解：命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的逆命题为：
如果a，b互为相反数，那么a+b=0；
故答案为：如果a，b互为相反数，那么a+b=0．
12.13
【解析】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
则△BCE的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13，
故答案为：13．
根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，根据三角形的周长公式计算即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
13.7
【解析】解：∵BD和CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠ABD=∠DBC，∠ACD=∠DCB，
∵EF/​/BC，
∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，
∴∠ABD=∠EDB，∠ACD=∠FDC，
∴EB=ED=3，FD=FC=4，
∴EF=ED+DF=3+4=7，
故答案为：7．
根据角平分线与平行两个条件，可证出等腰三角下即可解答．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握角平分线与平行两个条件，可以证明等腰三角形是解题的关键．
14.75°或120°或30°
【解析】解：分三种情况：
①OA=OP时，
则∠A=∠OPA=12(180°−∠O)=12(180°−30°)=75°；
②AO=AP时，
则∠APO=∠O=30°，
∴∠A=180°−∠O−∠APO=120°；
③PO=PA时，
则∠A=∠O=30°；
综上所述，当∠A为75°或120°或30°时，△AOP为等腰三角形，
故答案为：75°或120°或30°．
15.证明：∵AD/​/BC，
∴∠A=∠C，
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
即AF=CE，
∵在△ADF和△CBE中
∠D=∠B∠A=∠CAF=CE,
∴△ADF≌△CBE(AAS)，
∴AD=BC．
【解析】本题考查了平行线的性质和全等三角形的性质和判定的应用，判定两三角形全等的方法有：SAS、ASA、AAS、SSS、HL．
根据平行线求出∠A=∠C，求出AF=CE，根据AAS证出△ADF≌△CBE即可解答．
16.(1)解：作图如下：
(2)证明：∵△ABC是等边三角形，D是AC的中点，
∴BD平分∠ABC(三线合一)，
∴∠ABC=2∠DBE，
∵CE=CD，
∴∠CED=∠CDE，
又∵∠ACB=∠CED+∠CDE，
∴∠ACB=2∠E，
又∵∠ABC=∠ACB，
∴2∠DBC=2∠E，
∴∠DBC=∠E，
∴BD=DE，
又∵DM⊥BE
∴BM=EM．
【解析】(1)按照过直线外一点作已知直线的垂线的步骤来作图；
(2)要证BM=EM可证BD=DE，根据三线合一得出BM=EM．
本题考查了过直线外一点作已知直线的垂线及等边三角形和等腰三角形的性质；作图题要注意保留做题痕迹．证得BD=DE是正确解答本题的关键．
17.(1)证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
在△DBE和△CEF中
BE=CF∠ABC=∠ACBBD=CE，
∴△DBE≌△CEF，
∴DE=EF，
∴△DEF是等腰三角形；
(2)解：如图所示：
∵△DBE≌△CEF，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B=12(180°−40°)=70°
∴∠1+∠2=110°
∴∠3+∠2=110°
∴∠DEF=70°．

【解析】本题考查了等腰三角形的判定和性质的运用，三角形内角和定理的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
(1)由AB=AC，∠ABC=∠ACB，BE=CF，BD=CE.利用边角边定理证明△DBE≌△CEF，然后即可求证△DEF是等腰三角形．
(2)根据∠A=40°可求出∠ABC=∠ACB=70°根据△DBE≌△CEF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数．
18.(1)证明：∵∠B=∠ACD，∠ACE=∠ACD+∠DCE=∠B+∠BAC，
∴∠BAC=∠DCE，
在△ABC和△CED中，
∠B=∠E∠BAC=∠DCEAC=CD，
∴△ABC≌△CED(SAS)，
∴BC=DE．
(2)证明：在AB上截取AF=DF，连接DF，
∵∠DAN=30°，
∴∠DAN=∠ADF=30°，
∴∠DFN=60°=∠B，
∵∠ANM=∠AND+∠DNM=∠PMN+∠B，且∠DNM=∠B=60°，
∴∠AND=∠BMN，
在△FDN和△BNM中，
∠DFN=∠P∠DNF=∠PMNND=NM，
∴△FDN≌△BNM(AAS)，
∴FD=BN，FN=BM，
∴AF=BN，
∵AB=BC，
∴AB−NF=BC−BM，即AF+BN=CM，
∴CM=2BN．

(3)解：如图，在BC上截取BM=CF，连接EM，
∵AD=2CF=BM+CF，且AC=BC，
∴CD=FM，
∵△DEF是等边三角形，
∴DF=EF，∠DFE=60°，
∵∠DFM=∠CDF+∠C=∠MFE+∠DFE，且∠C=∠DFE=60°，
∴∠CDF=∠MFE，
∴△DFC≌△FEM(SAS)，
∴∠FME=∠C=60°，EM=CF，
∵BM=CF，
∴BM=EM，
∴∠EBM=30°，
∴BE平分∠ABC，
∴如图所示，点E在△ABC的内角∠ABC的角平分线上BN上运动．
∴点E的运动路程也就是BN的长度，
∵△ABC是等边三角形，BN是角平分线，
∴BN⊥AC，
∴S△ABC=12AC⋅BN=25，
∵AC=6，
∴BN=253，
即点E的运动路程为253．

【解析】(1)证△ABC≌△CED即可得证；
(2)在AB上截取AF=DF构造△FDN≌△BNM(AAS)，从而证出FD=BN=AF，FN=BM，再用线段和差即可得证；
(3)类比探究，根据前问思路，构造“一线三等角”的全等，证明BE平分∠ABC，即可得出点E的运动轨迹，再利用面积法求出BN的长度即可．
本题主要考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识和添加合适的辅助线是解题的关键．