2024-2025学年陕西省西安市碑林区铁一中学八年级（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年陕西省西安市碑林区铁一中学八年级（上）开学数学试卷（含答案），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列实数：23、37、0、−π3、0．1⋅6⋅、0.1212212221…(每相邻两个1之间依次多1个2)，其中无理数有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2.石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅有0.00000034米，将数据0.00000034用科学记数法表示为( )
A. 0.34×10−6B. 3.4×10−7C. 3.4×10−8D. 3.4×10−9
3.下列计算正确的是( )
A. (2a−3)(3+2a)=4a2−9B. (−2a2)3=−8a5
C. (3a2b+a)÷a=3abD. (a−2)2=a2−4
4.已知最简二次根式 a+3与 18是同类二次根式，则a的值为( )
A. −1B. 15C. 0D. 不确定
5.如图，已知AB//CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF交CD于点G，如果∠1=50°，则∠2的度数是( )
A. 50°
B. 65°
C. 60°
D. 45°
6.学习了勾股定理之后，老师给大家留了一个作业题，小明看了之后，发现三角形各边都不知道，无从下手，心中着急．请你帮助一下小明．如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为( )
A. 45
B. 85
C. 165
D. 245
7.老师提供6张背面完全相同的卡片，其中蔬菜类有4张，正面分别印有白菜、辣椒、豇豆、茄子图案；水果类有2张，正面分别印有草莓、西瓜图案，每个图案对应该种植项目.把这6张卡片背面朝上洗匀，小明随机抽取一张，他恰好抽中水果类卡片的概率是( )
A. 16B. 14C. 13D. 12
8.在式子y=(m−1)x+n中，若y是x的正比例函数，则m，n应满足的条件是( )
A. m≠1B. m≠1，且n=0
C. m=1，且n=0D. n=0
9.如图，是某蓄水池的横断面示意图，分深水区和浅水区，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度ℎ和时间t之间的关系( )
A. B.
C. D.
10.如图，将矩形ABCD对折，使AB与CD边重合，得到折痕MN，再将点A沿过点D的直线折叠到MN上，对应点为A′，折痕为DE，AB=10，BC=6，则A′N的长度为( )
A. 10−3 3B. 4C. 10−2 3D. 3
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.化简二次根式 50=______．
12.若m=n+3，则2m÷2n= ______．
13.平面直角坐标系中，若点P(4−m,3m)在y轴上，则点P的坐标为______．
14.西安市出租车的收费标准是起步价9元(行程小于或等于3千米)，超过3千米每增加1千米(不足1千米按1千米计算)加收2元，则出租车费y(元)与行程x(千米)(x>3)之间的关系式为______．
15.如图，△ABC的面积为 3cm2，∠B的平分线BP与AP垂直，垂足为点P，AB：BC=2：5，那么△APC的面积为______cm2．
16.如图，已知点B是AC边上的动点(不与A，C重合)，在AC的同侧作等边△ABD和等边△BCE，连接AE，CD，下列结论正确的是______.(填序号)
①△ABE≌△DBC；
②∠CBE=60°；
③GF//AC；
④△BFG是等边三角形；
⑤HB平分∠AHC；
⑥AH=DH+BH；
⑦CH=BH+EH；
⑧∠HGF=∠HBF；
⑨∠HFG=∠GBH；
⑩图中共有2对全等三角形．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算题：
(1)(2a2)3⋅3a2+(−6a5)2+4a2；
(2)(π−3)0+|1− 3|+(−12)−2；
(3) 27− 32+ 48+2 8；
(4) 12× 12− 48÷ 2−3 23．
18.(本小题8分)
先化简，后求值：[(x−2y)2+(2x−3y)(3y+2x)−5x2]÷(−12y)，其中x=12，y=−15．
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，请用尺规作图法，在AB边上求作一点D，使得△BCD的周长等于AB+BC.(保留作图痕迹，不写作法)
20.(本小题8分)
一个正数x的两个不同的平方根分别是2a−1和−a+2．
(1)求a和x的值；
(2)求8x+8a的算术平方根和立方根．
21.(本小题8分)
已知，如图，AB=AE，AB//DE，∠ECB=70°，∠D=110°，求证：AC=ED．
22.(本小题8分)
我国淡水资源相对缺乏，节约用水应成为人们的共识.为了解某小区家庭用水情况，随机调查了该小区50个家庭去年的月均用水量(单位：吨)，绘制出如下未完成的统计图表．
50个家庭去年月均用水量频数分布表
根据上述信息，解答下列问题：
(1)m= ______，n= ______；
(2)这50个家庭去年月均用水量的中位数落在______组；
(3)若该小区有1200个家庭，估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有多少个？
23.(本小题8分)
综合运用：
把完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2适当的变形，如：a2+b2=(a+b)2−2ab=(a−b)2+2ab；(a+b)2=(a−b)2+4ab等，这些变形可解决很多数学问题.例如：若a+b=3，ab=1，求a2+b2的值．
解：因为a+b=3，ab=1；
所以，a2+b2=(a+b)2−2ab=32−2×1=7，
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)计算求值：
①若m+n=8，mn=15，且m>n，求m−n的值；
②我们知道(2−m)−(3−m)=−1，若(2−m)(3−m)=2，求(2−m)2+(3−m)2的值；
(2)如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，AB=7，两正方形的面积和S1+S2=29，设AC=x，BC=y，求图中阴影部分面积．
24.(本小题8分)
【阅读理解】
中线是三角形中的重要线段之一.在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．
【初步感知】
(1)如图1，在△ABC中，AB=6，AC=10，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
延长AD到点E，使DE=AD，连接BE.可以判定△ADC≌△EDB，从而得到AC=EB=10.这样就能把线段AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系，即可求出中线AD的取值范围是______(请直接写出答案)．
【实践应用】
(2)为了测量学校旗杆AB和教学楼CE顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面BC的中点D，用测角仪测得此时∠ADE=90°，测得旗杆高度AB=10.8m，教学楼高度CE=20.2m，求AE的长．
【拓展探究】
(3)如图3，△ABD和△ACE均为等腰直角三角形，连接DE，BC，点F是BC的中点，连接FA并延长，与DE相交于点G.试探究：DE和AF的数量关系和位置关系并说明理由．
参考答案
1.C
2.B
3.A
4.A
5.B
6.C
7.C
8.B
9.C
10.A
11.5 2
12.8
13.(0,12)
14.y=2x+3
15.310 3
16.①②③④⑤⑥⑦⑧⑨
17.解：(1)(2a2)3⋅3a2+(−6a5)2+4a2
=8a6⋅3a2+36a10+4a2
=24a8+36a10+4a2；
(2)(π−3)0+|1− 3|+(−12)−2
=1+ 3−1+4
= 3+4；
(3) 27− 32+ 48+2 8
=3 3−4 2+4 3+4 2
=7 3；
(4) 12× 12− 48÷ 2−3 23
= 12×12− 48÷2−3 23
= 6− 24−3 23
= 6−2 6− 6
=−2 6．
18.解：[(x−2y)2+(2x−3y)(3y+2x)−5x2]÷(−12y)
=(x2−4xy+4y2+4x2−9y2−5x2)÷(−12y)
=(−4xy−5y2)÷(−12y)
=8x+10y，
当x=12，y=−15时，
原式=8×12+10×(−15)
=4−2
=2．
19.解：如图，作线段AC的垂直平分线，交AB于点D，连接CD，
则AD=CD，
∴△BCD的周长为BC+BD+CD=BC+BD+AD=AB+BC，
则点D即为所求．

20.解：(1)∵一个正数x的两个不同的平方根分别是2a−1和−a+2
∴2a−1−a+2=0，
解得a=−1，
∴2a−1=−3，−a+2=1+2=3，
∴x=(±3)2=9；
(2)当a=−1，x=9时，8x+8a=72−8=64，
64=8，364=4，
∴8x+8a的算术平方根是8，立方根是4．
21.证明：由∠ECB=70°得∠ACB=110°，
又∵∠D=110°，
∴∠ACB=∠D，
∵AB//DE，
∴∠CAB=∠E，
在△ABC和△EAD中，
∠ACD=∠D∠CAB=∠EAB=AE，
∴△ABC≌△EAD(AAS)，
∴AC=ED．
22.(1)20；15．
(2)B．
(3)由题意，∵50个家庭中去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有7+20=27(个)，
∴该小区有1200个家庭估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有：1200×2750=648(个)．
23.解：(1)①∵m+n=8，mn=15，
∴(m−n)2=(m+n)2−4mn=82−4×15=64−60=4，
∴m>n，
∴m−n=2；
②设2−m=a，3−m=b，
∵(2−m)−(3−m)=−1，(2−m)(3−m)=2，
∴a−b=−1，ab=2，
∴(2−m)2+(3−m)2=a2+b2=(a−b)2+2ab=(−1)2+2×2=1+4=5；
(2)∵AB=7，两正方形的面积和S1+S2=29，
∴AC+BC=7，AC2+BC2=29，
∴x+y=7，x2+y2=29，
∴图中阴影部分面积=DC⋅BC=AC⋅BC=xy=12[(x+y)2−(x2+y2)]=12(72−29)=10，
∴图中阴影部分面积为10．
24.(1)∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
在△BDE和△CDA中，
BD=CD∠BDE=∠CDADE=AD，
∴△BDE≌△CDA(SAS)，
∴BE=AC，
∵AB=6，AC=10，
∴BE=AC=10，
在△ABE中，BE−AB即10−6∴4∵DE=AD，
∴AE=2AD，
∵4<2AD<16，
∴中线AD的取值范围是：2(2)延长ED交AB的延长线于H，如图2所示：
根据题意得：AB⊥BC，EC⊥BC，
∴∠HBD=∠ECD=90°，
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD，
在△BDH和△CDE中，
∠HBD=∠ECD=90°BD=CD∠BDH=∠CDE，
∴△BDH≌△CDE(ASA)，
∴BH=CE=20.2m，DH=DE，
∴AH=AB+BH=10.8+20.2=31(m)，
∵∠ADE=90°，
∴AD⊥EH，
又∵DH=DE，
∴AD为线段EH的垂直平分线，
∴AE=AH=31m；
(3)DE=2AF，DE⊥AF，理由如下：
延长AF到P，使FP=FA，连接BP，如图3所示：
则AP=2AF，
∵点F是BC的中点，
∴BF=CF，
在△BFP和△CFA中，
BF=CF∠BFP=∠CFAFP=FA，
∴△BFP≌△CFA(SAS)，
∴∠P=∠CAF，BP=AC，
∴BP//AC，
∴∠ABP+∠BAC=180°，
∵△ABD和△ACE均为等腰直角三角形，
∴∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，
∴∠BAD+∠CAE=180°，
∴∠DAE+∠BAC=180°，
∴∠ABP=∠DAE，
∵BP=AC，AC=AE，
∴BP=AE，
在△ABP和△DAE中，
AB=AD∠ABP=∠DAEBP=AE，
∴△ABP≌△DAE(SAS)，
∴AP=DE，∠BAP=∠ADE，
∵AP=2AF，
∴DE=2AF，
∵∠BAD=90°，
∴∠BAP+∠DAG=90°，
∴∠ADE+∠DAG=90°，
∴∠AGE=180°−(∠ADE+∠DAG)=90°，
∴AG⊥DE，
即AF⊥DE．
组别
家庭月均用水量(单位：吨)
频数
A
2.0≤t<3.4
7
B
3.4≤t<4.8
m
C
4.8≤t<6.2
n
D
6.2≤t<7.6
6
E
7.6≤t<9.0
2
合计
50