2024-2025学年福建省福州十二中九年级（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年福建省福州十二中九年级（上）开学数学试卷（含答案），共12页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.化简 12的结果是( )
A. 3 2B. 2 3C. 2 6D. 3 3
2.下列计算正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 2+ 2=2 2C. 3 2− 2=3D. 3 2÷ 2=3
3.在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB的长为( )
A. 6B. 7C. 4D. 5
4.由下列各组线段围成的三角形中，是直角三角形的是( )
A. 1，2，2B. 2，3，4C. 1， 2， 3D. 2， 2， 3
5.甲、乙、丙、丁四名同学进行1分钟跳绳测试，每人5次1分钟跳绳成绩的平均数都是188个，方差分别是S甲2=0.71，S乙2=0.74，S丙2=0.62，ST2=0.69，则这四名同学1分钟跳绳成绩最稳定的是( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
6.将一元二次方程x(x−9)=−3化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数和常数项分别是( )
A. 9，3B. 9，−3C. −9，−3D. −9，3
7.关于x的一元二次方程kx2−2x−1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A. k>−1B. k<1C. k>−1且k≠0D. k<1且k≠0
8.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，对角线BD=4，则菱形ABCD的面积是( )
A. 16
B. 8 3
C. 8 2
D. 4 3
9.下列有关一次函数y=−4x−2的说法中，正确的是( )
A. y的值随着x值的增大而增大B. 函数图象与y轴的交点坐标为(0,2)
C. 当x>0时，y>−2D. 函数图象经过第二、三、四象限
10.在平面直角坐标系中，点A坐标为(−2,0)，点B坐标为(a,−3a+1)，则A，B之间距离的最小值为( )
A. 12 10B. 74 2C. 5D. 710 10
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.二次根式 x−5有意义，则x的取值范围是______．
12.一组数据为2，1，3，2，则这组数据的方差是______．
13.如图，周长为16菱形ABCD的对角线相交于点O，E为AB的中点，
连接OE.则OE的长为______．
14.方程x2−5x+2=0的两个实数根分别是x1，x2，则x1+x2−x1x2的值是______．
15.函数y=kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b>0的解集是______．
16.如图，平行四边形ABCD中，∠B=60°，AB=4，AD=5，E，F分别是边CD，AD上的动点，且CE=DF，则AE+CF的最小值为______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：| 2−2|+ 14×2− (−2)2．
18.(本小题8分)
解下列方程：
(1)2(x−1)2=8；
(2)x2−5x+6=0．
19.(本小题8分)
如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，连接BE，DF，若BE=DF，求证：∠AEB=∠CFD．
20.(本小题8分)
某校为了解学生在学校甲、乙超市的生活消费情况，各随机抽查了20名学生某一周(按周一至周五算)的消费金额(单位：元)，并将数据进行收集、整理和分析.下面给出了部分信息．
a.消费金额的频数分布表如下：
b.乙超市消费金额在70≤x<80这一组的是：70 70 70 71 71 73 75
c.甲、乙两个超市消费金额的平均数、中位数、众数如表：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)求表中m和n的值；
(2)若甲超市该周的学生消费人数为500人，估计甲超市一个月(按4周算)的学生消费总金额．
21.(本小题8分)
已知：如图，在矩形ABCD中，E是边CD上的点，连接AE．
(1)尺规作图，以BC为边，C为顶点作∠BCF=∠DAE，CF交线段AB于点F.(要求：基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论)．
(2)求证：四边形AFCE为平行四边形
22.(本小题8分)
某商店计划采购甲、乙两种不同型号的电视机进行销售．知商店购进甲型电视机1台，乙型电视机2台，需要花费4700元．进甲型电视机2台，乙型电视机1台，需要花费4900元．
(1)求该商店购进甲、乙两种型号的电视机的单价分别为多少元？
(2)该商店购进甲、乙两种型号的电视机共60台，且购买的甲型电视机的数量不多于乙型电视机数量的2倍．甲型电视机的售价为2300元/台，乙型电视机的售价为2000元/台，全部卖出，问：应购进甲种型号的电视机多少台？才能使该商店销售甲、乙两种不同型号的电视机获得的总利润最大，最大总利润是多少？
23.(本小题8分)
综合实践：阅读下列材料，解答问题．
(1)小明的测量方法是通过测量操作得到DA=DB=DE，由此判定AE就是BC边上的高.用你所学的知识说明小明如何判定AE是BC边上的高．
(2)请根据小颖的测量方法和所得到的数据，求出BC边上的高(结果用含字母t，a，b的式子表示)．
24.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，一次函数y=mx−1与y=−x+m(m为常数，且m>0)的图象相交于点C(a,b)．
(1)当m=1时，求点C的坐标；
(2)y与x的关系式记作函数F，函数F满足：当x≤a时，y=mx−1；当x>a时，y=−x+m．
①若函数F的图象与x轴总有两个不同的交点，求m的取值范围；
②在①的条件下，当m−2≤x≤3m+1时，y的最大值与最小值的差为m+4，求m的值．
25.(本小题8分)
如图1，在正方形ABCD中，点E在边CD上(不与点C，D重合)，AE交对角线BD于点G，GF⊥AE交BC于点F．
(1)求证：AG=FG．
(2)若AB=10，BF=4，求BG的长．
(3)如图2，连接AF，EF，若AF=AE，求正方形ABCD与△CEF的面积之比．
参考答案
1.B
2.D
3.D
4.C
5.C
6.D
7.C
8.B
9.D
10.D
11.x≥5
12.0.5
13.2
14.7
15.x>−2
16. 61
17.解：原式=2− 2+12×2−2
=2− 2+1−2
=− 2+1．
18.解：(1)2(x−1)2=8；
(x−1)2=4；
开方得：x−1=±2，
解得：x1=3，x2=−1；
(2)分解因式得：(x−2)(x−3)=0，
解得：x1=2，x2=3．
19.证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=90°，AB=CD，
在Rt△BAE和RtDCF中，
BE=DFAB=CD，
∴Rt△BAE≌RtDCF(HL)，
∴∠AEB=∠CFD．
20.解：(1)m=75×12+85×6+95×220=80(元)，
∵第10和第11个数据为71和73，
∴n=71+732=72(元)，
即表中m的值为80，n的值为72；
(2)500×80×4=160000(元)，
答：估计甲超市一个月(按4周算)的学生消费总金额为160000元．
21.(1)解：如图所示，∠BCF即为所求；

(2)证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，AD=BC，AB//CD，∠B=∠D=90°，
∴AF//CE，
在△ADE和△CBF中，
∠D=∠BAD=BC∠DAE=∠BCF，
∴△ADE≌△CBF(ASA)，
∴DE=BF，
∴CD−DE=AB−BF，
即CE=AF，
∴四边形AECF为平行四边形．
22.解：(1)设商店购进甲种型号的电视机的单价为x元，购进乙种型号的电视机的单价为y元，
根据题意得：x+2y=47002x+y=4900，
解得x=1700y=1500，
答：商店购进甲种型号的电视机的单价为1700元，购进乙种型号的电视机的单价为1500元；
(2)设获得的总利润为W元，购进甲种型号的电视机m台，
∵购买的甲型电视机的数量不多于乙型电视机数量的2倍，
∴m≤2(60−m)，
解得m≤40，
根据题意得W=(2300−1700)m+(2000−1500)(60−m)=100m+30000，
∵100>0，
∴W随m的增大而增大，
∴m=40时，W取最大值，最大值为100×40+30000=34000(元)，
答：购进甲种型号的电视机40台，才能使该商店销售甲、乙两种不同型号的电视机获得的总利润最大，最大总利润是34000元．
23.(1)证明：连接AE，以D为圆心，DB长为半径作圆D，

∵DA=DB=DE，
∴A、E在圆D上，且AB是直径，
∴∠BEA=90°，即AE是BC边上的高；
判定AE是BC边上的高用到的几何知识是：直径所对的圆周角是直角；
(2)解：过点A作AM⊥BC交DE于点N，交BC于点M，则MN=t cm，AM⊥DE，设AM=x cm，则AN=(x−t)cm，

∵S△ABC=S△ADE+S梯形DBCE，即12BC⋅AM=12DE⋅AN+12(DE+BC)⋅MN，
∴12ax=12b(x−t)+12(b+a)t，
∴x=ata−b，
∴BC边上的高AM为ata−bcm．
24.解：(1)当m=1时，一次函数y=mx−1与y=−x+m为y=x−1与y=−x+1，
∴y=x−1y=−x+1，解得x=1y=0，
∴点C的坐标为(1,0)；
(2)①根据题意，得
b=am−1b=−a+m ，
解得a=1b=m−1，
∴点C坐标为(1,m−1)，
∵函数F的图象与x轴总有两个不同的交点，
∴m−1>0
∴m>1；

②由①得m>l，交点C的横坐标为1，即a=1，
∴m−2>−1，3m+1>4，
∴由图象可知，当x≤a时，即当m−2≤1，且3m+1>1时，即0∴x=1时，y最大=m−1，
∴x=m−2时，y=m(m−2)−1=m2−2m−1，
∴x=3m+1时，y=−(3m+1)+m=−2m−1，
∵m2−2m−1−(−2m−1)=m2>0，
∴x=3m+1时，y最小=−2m−1，
∵当m−2≤x≤3m+1时，y的最大值与最小值的差为m+4，
∴m−1−(−2m−1)=m+4，
解得m=2(符合题意)，
当m−2>1时，即m>3，
∴m−2≤x≤3m+1时，函数F的解析式为y=−x+m，
∵−1<0，
∴y随着x的增大而减小，
∴x=m−2时，y最大=−(m−2)+m=2，
∴x=3m+1时，y最小=−(3m+1)+m=−2m−1，
∵当m−2≤x≤3m+1时，y的最大值与最小值的差为m+4，
∴2−(−2m−1)=m+4，
解得m=1(不合题意，舍去)，
综上所述，m的值为2．
25.证明：(1)连接GC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，∠ABD=∠CBD=45°，
又∵BG=BG，
∴△ABG≌△CBG(SAS)，
∴AG=CG，∠BAG=∠BCG，
∵∠ABC+∠BAG+∠AGF+∠BFG=360°，且∠ABC=∠AGF=90°，
∴∠BAG+∠BFG=180°，
∴∠BCG+∠BFG=180°，
∵∠BFG+∠GFC=180°，
∴∠BCG=∠GFC，
∴GC=GF，
∴AG=FG；
(2)如图2，过点G作GH⊥BC于H，
∵AB=10，BF=4，
∴AF2=AB2+BF2=AG2+GF2，
∴GF2=58，
∵∠DBC=45°，GH⊥BC，
∴BH=GH，BG= 2GH，
∵GF2=GH2+FH2，
∴58=GH2+(GH−4)2，
∴GH=7，(负值舍去)，
∴BG=7 2；
(3)如图，在AB上截取BF=BN，连接NF，
∵AG=GF，AG⊥GF，
∴∠EAF=45°，
∵AE=AF，AB=AD，∠ABF=∠ADE=90°，
∴Rt△ABF≌Rt△ADE(HL)，
∴∠BAF=∠DAE=22.5°，BF=DE，
∴CF=CE，
∵BF=BN，∠ABC=90°，
∴NF= 2BF，∠BNF=∠BFN=45°，
∴∠BAF=∠AFN=22.5°，
∴AN=NF= 2BF，
∵AB=BC，
∴BN+AN=BF+FC，
∴FC= 2BF，
∴BC=( 2+1)BF，
∴正方形ABCD与△CEF的面积之比=BC2：12FC2=3+2 2．
消费金额x/元
50≤x<60
60≤x<70
70≤x<80
80≤x<90
90≤x≤100
甲超市
0
0
12
6
2
乙超市
1
4
7
3
5
超市
平均数
中位数
众数
甲
m
76
75
乙
76.85
n
70
任务：如图①，一块锐角三角形木料ABC，现要测量BC边上的高．
工具：如图②，一把刻度尺(宽度为t cm，两端受损，可测量长度大于△ABC的各边长)．
小明的测量过程如下：
步骤一：如图③，测得AB=a cm；
步骤二：在AB边上测得BD=12a cm；
步骤三：测得DE=12a cm(点E在边BC上)；
步骤四：测得AE=b cm．
小颖的测量过程如下：
步骤一：如图④，将刻度尺的一边与BC边重叠，另一边与AB边交点为D，与AC的交点为E；
步骤二：测得BC=a cm；测得DE=b cm．