2023-2024学年内蒙古赤峰实验中学高二（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年内蒙古赤峰实验中学高二（下）开学数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.直线 3x+y+2023=0的倾斜角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
2.抛物线x2=16y的焦点到点(2,5)的距离为( )
A. 2B. 5C. 7D. 4
3.如图，在长方体ABCB−A1B1C1D1中，AB=BC=2，CC1=1，则直线AD1和B1D夹角的余弦值为( )
A. − 33
B. 33
C. − 55
D. 55
4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6+a7+a8+a9+a10=20，则S15=( )
A. 150B. 120C. 75D. 60
5. 2+1与 2−1两数的等比中项是．( )
A. 1B. −1C. ±1D. 12
6.已知双曲线C：y24−x2m=1的一个焦点为(0, 5)，则该双曲线的渐近线方程为( )
A. y=±2xB. y=±4xC. y=±14xD. y=±12x
7.已知a=(−2,−3,1)，b=(2,0,4)，c=(−4,−6,2)，则下列结论正确的是( )
A. a/​/c，b/​/cB. a/​/b，a⊥c
C. a/​/c，a⊥bD. 以上都不对
8.与椭圆x225+y216=1有公共焦点，且离心率e=32的双曲线的方程为( )
A. x25−y24=1B. x24−y25=1C. x24−y213=1D. x24−y29=1
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A. 若直线y=kx+b经过第一、二、四象限，则(k,b)在第二象限
B. 直线y=ax−3a+2过定点(3,2)
C. 过点(2,−1)斜率为− 3的点斜式方程为y+1=− 3(x−2)
D. 斜率为−2，在y轴截距为3的直线方程为y=−2x±3．
10.设抛物线y2=4x，F为其焦点，P为抛物线上一点，则下列结论正确的是( )
A. 若P(1,2)，则|PF|=2
B. 若P到焦点的距离为3，则P的坐标为(2,2 2)
C. 若A(2,3)，则|PA|+|PF|的最小值为 10
D. 若过A点F作斜率为2的直线与抛物线相交于A、B两点．则|AB|=6
11.已知空间中三点A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(−1,3,1)，则下列结论正确的有( )
A. AB⊥ACB. 与AB共线的单位向量是(1,1,0)
C. AB与BC夹角的余弦值是 5511D. 平面ABC的一个法向量是(1,−2,5)
12.已知方程x24−t+y2t−1=1表示的曲线为C.给出以下四个判断，其中正确的是( )
A. 当1B. 当t>4或t<1时，曲线C表示双曲线
C. 若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1D. 若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t>4
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知圆C1：x2+y2+2x+8y−8=0，圆C2：x2+y2−4x−4y−2=0，则圆C1与圆C2的位置关系是______．
14.两平行直线3x− 7y+2=0和6x−2 7y+3=0的距离为______．
15.已知直线x=3与椭圆x225+y216=1交于A，B两点，F1是椭圆的左焦点，则ΔABF1的周长是______．
16.如图，设O为平行四边形ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若AE=12OD+xOB+yOA，则x+y= ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知数列{an}是等差数列，a2=5，a3+a5=22．
(1)求{an}的通项公式；
(2)记{an}的前n项的和为Sn，若Sn=155，求n的值．
18.(本小题12分)
已知直线l：x−y+3=0被圆C：(x−a)2+(y−2)2=4(a>0)截得的弦长为2 2．
(1)求a的值；
(2)求过点(3,5)与圆相切的直线的方程．
19.(本小题12分)
如图，在三棱台ABC−A1B1C1中，∠BAC=90°，A1A⊥平面ABC，AB=AC=2A1C1=2，且D为BC中点．
(1)证明：BC⊥平面A1AD；
(2)若A1A= 3，求此时平面ABC和平面A1CD所成角的余弦值．
20.(本小题12分)
已知在数列{an}中，a1=3，a2=8，且{ann}为等差数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为数列{1an}的前n项和，证明：Sn<34．
21.(本小题12分)
如图，若F1，F2是双曲线x29−y216=1的两个焦点．
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|⋅|PF2|=32，试求△F1PF2的面积．
22.(本小题12分)
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(− 3,0)，F2( 3,0)，且过点P( 3,12)．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过椭圆E的左焦点F1且斜率为1的直线与椭圆E交于A，B两点，求△PAB的面积．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由直线 3x+y+2023=0可得直线的斜率k=− 3，
设直线的倾斜角为α，α∈[0,π)，
可得tanα=k=− 3，
解得α=2π3．
故选：C．
求出直线的斜率，进而求出直线的倾斜角的大小．
本题考查直线的倾斜角的大小的求法，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：抛物线x2=16y的焦点为F(0,4)，
所以点(2,5)到焦点的距离d= 22+(5−4)2= 5．
故选：B．
首先求出焦点坐标，再利用距离公式计算可得．
本题考查了抛物线的性质，重点考查了点与点的距离公式，属基础题．
3.【答案】D
【解析】解：如图，以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，A(2,0,0)，D1(0,0,1)，B1(2,2,1)，
所以AD1=(−2,0,1)，B1D=(−2,−2,−1)，
所以cs〈AD1,B1D〉=AD1⋅B1D|AD1|⋅|B1D|=4−1 5× 4+4+1= 55，
所以直线AD1和B1D夹角的余弦值为 55．
故选：D．
以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AD1和B1D夹角的余弦值．
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】D
【解析】解：在等差数列{an}中，由a6+a7+a8+a9+a10=20，
得5(a1+7d)=20，即a8=a1+7d=4，
∴S15=(a1+a15)2×15=15a8=60．
故选：D．
由已知求得a8，再由S15=15a8求解．
本题考查等差数列的前n项和，考查等差数列的性质，是基础题．
5.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查学生掌握等比数列的性质，属于基础题．
设出两数的等比中项为x，根据等比中项的定义可知，x的平方等于两数之积，得到一个关于x的方程，求出方程的解即可得到两数的等比中项．
【解答】
解：设两数的等比中项为x，根据题意可知：x2=( 2+1)( 2−1)，即x2=1，
解得x=±1．
故选C．
6.【答案】A
【解析】解：双曲线C：y24−x2m=1(m>0)的一个焦点为(0, 5)，
可得 4+m= 5，解得m=1，
则该双曲线的渐近线方程为y=±2x．
故选：A．
由双曲线的焦点坐标，解方程可得m，可得渐近线方程．
本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：∵a=(−2,−3,1)，b=(2,0,4)，c=(−4,−6,2)，
∴a⋅b=−4+0+4=0，∴a⊥b．
∵−4−2=−6−3=21，∴a//c．
故选：C．
利用空间向量平行与垂直的性质求解．
本题考查空间向量平行与垂直的判断，是基础题，解题时要注意空间向量平行与垂直的性质的合理运用．
8.【答案】B
【解析】解：∵椭圆x225+y216=1的焦点为(±3,0)，
∴双曲线的焦点在x轴上，且c=3，
∵e=32，
∴a=2，
∵c2=a2+b2，
∴b2=9−4=5，
∴双曲线的方程为x24−y25=1．
故选：B．
利用椭圆的三个参数的关系求出其焦点坐标，利用双曲线的离心率公式求出双曲线中的参数a，利用双曲线的三个参数的关系求出b，得到双曲线的方程．
本题主要考查了求双曲线的标准方程，属于基础题．
9.【答案】ABC
【解析】解：对于A：直线y=kx+b经过第一、二、四象限，则k<0，b>0，故(k,b)在第二象限，故A正确；
对于B：直线y=ax−3a+2，转换为y−2=a(x−3)，由于a为任意实数，故x−3=0 y−2=0 ，解得x=3 y=2 ，故该直线过定点(3,2)，故B正确；
对于C：过点(2,−1)斜率为− 3的点斜式方程为y+1=− 3(x−2)，故C正确；
对于D：斜率为−2，在y轴截距为3的直线方程为y=−2x+3，故D错误．
故选：ABC．
直接利用直线方程的性质和直线的方程的求法的应用判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识要点：直线的方程的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：∵抛物线方程为y2=4x，
∴p=2，焦点F(1,0)，
对A选项，∵P(1,2)在抛物线y2=4x上，∴|PF|=p2+1=2，∴A选项正确；
对B选项，∵P到焦点F的距离为p2+xP=1+xP=3，
∴xP=2，将其代入y2=4x中，可得yP2=8，∴yP=±2 2，
∴P的坐标为(2,±2 2)，∴B选项错误；
对C选项，∵A(2,3)在抛物线y2=4x外，
∴|PA|+|PF|≥|AF|= 1+9= 10，当且仅当A，P，F三点共线时，等号成立，
∴|PA|+|PF|的最小值为 10，∴C选项正确；
对D选项，∵过点F且斜率为2的直线方程为y=2(x−1)，
联立y=2(x−1)y2=4x，可得x2−3x+1=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则x1+x2=3，
∴|AB|=|AF|+|BF|=p2+x1+p2+x2=p+x1+x2=2+3=5，∴D选项错误．
故选：AC．
根据抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系及弦长公式，即可分别求解．
本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，属中档题．
11.【答案】AD
【解析】解：对于A,AB=(2,1,0),AC=(−1,2,1)，AB⋅AC=−2+2=0，所以AB⊥AC，所以A正确；
对于B，因为AB=(2,1,0)，所以与AB共线的单位向量为(2 55, 55,0)或(−2 55,− 55,0)，所以B错误；
对于C，向量AB=(2,1,0),BC=(−3,1,1)，所以cs=AB⋅BC|AB|⋅|BC|=− 5511，所以C错误；
对于D，设平面ABC的法向量是n=(x,y,z)，因为AB=(2,1,0),AC=(−1,2,1)，所以n⋅AB=0n⋅AC=0，即2x+y=0−x+2y+z=0，令x=1，则n=(1,−2,5)，所以D正确．
故选：AD．
由向量垂直的性质，即可判断A，根据单位向量的定义判断B，由向量数量积的定义求得向量夹角余弦值判断C，利用法向量定义求得法向量判断D．
本题考查空间向量的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
12.【答案】BCD
【解析】解：方程x24−t+y2t−1=1表示的曲线为C.当1当t>4时，曲线C是双曲线，t<1时，曲线C是双曲线，所以B正确；
曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，可得4−t>t−1>0，解得1曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，可得1−t<0，并且4−t<0，解得t>4，所以D正确；
故选：BCD．
结合t的范围判断选项A，B，利用曲线的形状，求解t的范围判断C，D．
本题考查曲线与方程的应用，双曲线以及椭圆的简单性质的应用，是基础题．
13.【答案】相交
【解析】解：圆C1：x2+y2+2x+8y−8=0，即(x+1)2+(y+4)2=25，
其圆心C1为(−1,−4)，半径r1=5，
圆C2：x2+y2−4x−4y−2=0，即(x−2)2+(y−2)2=10，
其圆心C1为(2,2)，半径r2= 10，
则圆心距|C1C2|= 32+62=3 5，5− 10<3 5<5+ 10，
即r1−r2<|C1C2|故圆C1与圆C2的位置关系是相交．
故答案为：相交．
根据题意，分析两个圆的圆心与半径，求出圆心距，进而由圆与圆的位置关系分析可得答案．
本题考查圆与圆位置关系的判断，注意分析圆的圆心与半径，属于基础题．
14.【答案】18
【解析】解：直线6x−2 7y+3=0可化为3x− 7y+32=0，
所以两平行线的距离d=|2−32| 32+(− 7)2=18．
故答案为：18．
直接利用距离公式计算可得．
本题考查两平行直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题．
15.【答案】20
【解析】解：由椭圆x225+y216=1可得a2=25，b2=16，
∴c2=a2−b2=25−16=9，∴c=3，
∴椭圆的右焦点坐标为(3,0)，
∴直线x=3过椭圆的右焦点，
∴ΔABF1的周长为4a=20．
故答案为：20．
由题意可得直线x=3过椭圆的右焦点，可求ΔABF1的周长．
本题考查椭圆的几何性质，属基础题．
16.【答案】−1
【解析】解：根据题意，AE=12(AO+AC)
=12(AO+AB+AD)
=12(−OA+OB−OA+OD−OA)
=12OD+12OB−32OA
∴x=12,y=−32；
∴x+y=−1．
故答案为：−1．
根据向量加法的平行四边形法则便有AE=12(AO+AC)，AC=AD+AB，再根据向量减法的几何意义，及向量的数乘运算便可得到AE=12OD+12OB−32OA，这样便可求出x，y，从而求出x+y的值．
考查向量加法的平行四边形法则，向量加法、减法和数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，平面向量基本定理．
17.【答案】解：(1)因为数列{an}是等差数列，a2=5，a3+a5=2a4=22，
所以a4=11，d=a4−a24−2=11−52=3，
故an=a2+3(n−2)=5+3n−6=3n−1；
(2)因为Sn=2n+n(n−1)2×3=155，
则3n2+n−310=0，
解得n=10．
【解析】(1)由已知结合等差数列的性质先求出公差d，然后结合等差数列的通项公式即可求解；
(2)结合等差数列的求和公式即可求解．
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)根据题意，圆C：(x−a)2+(y−2)2=4，其圆心为(a,2)，半径r=2，
直线l：x−y+3=0被圆C：(x−a)2+(y−2)2=4(a>0)截得的弦长为2 2．
则圆心到直线的距离d= r2−( 2)2= 2，
则有|a−2+3| 2= 2，解得a=1或a=−3(舍)，
故a=1；
(2)由(1)的结论，a=1，则圆C的方程为(x−1)2+(y−2)2=4，
若切线的斜率不存在，此时切线的方程为x=3，符合题意，
若切线的斜率存在，设切线的方程为y−5=k(x−3)，即kx−y−3k+5=0，
则有|k−2−3k+5| 1+k2=2，解得k=512，
此时切线的方程为y−5=512(x−3)，即5x−12y+45=0
所以切线的方程为x=3或5x−12y+45=0．
【解析】本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的切线方程的计算，属于基础题．
(1)根据题意，由直线与圆的位置关系可得d= r2−( 2)2，结合点到直线的距离公式可得|a−2+3| 2= 2，再求出a的值，
(2)根据题意，由(1)的结论可得圆C的方程，分切线斜率是否存在两种情况讨论，求出切线的方程，综合可得答案．
本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的切线方程的计算．
19.【答案】解：(1)证明：因为A1A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以A1A⊥BC．
又因为AB=AC，D为BC中点，所以AD⊥BC，
又A1A∩AD=A，且A1A，AD⊂平面A1AD，
所以BC⊥平面A1AD；
(2)依题意，以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz，

则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0, 3),D(1,1,0)，
所以A1D=(1,1,− 3),A1C=(0,2,− 3)，
设平面A1CD的一个法向量为n=(x1,y1,z1)，则A1D⋅n=0,A1C⋅n=0，
所以x1+y1− 3z1=02y1− 3z1=0，可取y1=1，则n=( 3, 3,2)，
又平面ABC的一个法向量为m=(0,0,1)，
设平面ABC和平面A1CD所成角为θ，
则csθ=|cs〈m,n〉|=|m⋅n||m||n|=21× 3+3+2= 22，
故平面ABC和平面A1CD所成角的余弦值为 22．
【解析】(1)利用线面垂直的性质定理与判定定理即可得证；
(2)依题意建立空间直角坐标系，分别求得平面A1CD和平面ABC的法向量，再利用空间向量法即可得解．
本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查运算求解能力，属中档题．
20.【答案】(1)解：由a1=3，a2=8，可得a11=3，a22=4，
所以{ann}是首项为3，公差为1的等差数列，
所以ann=3+(n−1)=n+2，
所以an=n2+2n．
(2)证明：1an=1n2+2n=12(1n−1n+2)，
Sn=12(1−13+12−14+13−15+…+1n−1−1n+1+1n−1n+2)=12(1+12−1n+1−1n+2)，
因为n∈N*，所以1n+1+1n+2>0，
故Sn<12×(1+12)=34．
【解析】(1)根据等差数列的定义即可求解；
(2)用裂项相消法即可求解．
本题考查了等差数列的通项公式，裂项相消法，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由题意，设M到两个焦点的距离分别为m，16，则|16−n|=2×3，解得n=10或22；
(2)根据双曲线的方程可知，a=3，b=4，c=5
则|F1F2|=2c=10，|PF1|−|PF2|=2a=2×3=6
∴|PF1|2+|PF2|2−2|PF1||PF2|=36，
∴|PF1|2+|PF2|2=100=|F1F2|2，
∴∠F1PF2=90°，
∴△F1PF2的面积为12|PF1|⋅|PF2|=32×12=16．
【解析】(1)根据双曲线的定义解答；
(2)利用双曲线的方程求得|F1F2|和|PF1|−|PF2|，进而利用配方法求得|PF1|2+|PF2|2的值代入余弦定理求得cs∠F1PF2的值进而求得∠F1PF2．
本题开考查了双曲线的定义以及性质的运用，关键是利用性质正确得到|PF1|、|PF2|的位置关系，从而求面积．
22.【答案】解：(1)已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(− 3,0)，F2( 3,0)，且过点P( 3,12)，
则2a=|PF1|+|PF2|= 12+14+ 0+14=4，∴a=2，
又c= 3，得b=1，
∴椭圆E的标准方程为：x24+y2=1；
(2)过椭圆E的左焦点F1且斜率为1的直线与椭圆E交于A，B两点，
易得过椭圆E的左焦点F1且斜率为1的直线方程为y=x+ 3，
由y=x+ 3x2+4y2=4，得5x2+8 3x+8=0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，有x1+x2=−8 35，x1x2=85，
∴|AB|= 1+12 (x1+x2)2−4x1x2=85，
又点P到直线AB的距离d=4 6− 24，
∴△PAB面积S=12|AB|d=4 6− 25．
【解析】(1)根据椭圆的定义得到a=2，根据椭圆的焦点坐标得到c= 3，即可求解；
(2)直线与椭圆联立得到5x2+8 3x+8=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，利用弦长公式求得|AB|，利用点到直线的距离公式求得点P到直线AB的距离，即可求解．
本题考查了直线与椭圆的综合运用，属于中档题．