山西省部分学校2024-2025学年高三8月开学联考数学试卷

这是一份山西省部分学校2024-2025学年高三8月开学联考数学试卷，共12页。试卷主要包含了已知函数的图像关于直线对称，则，已知函数是奇函数，则，已知双曲线，则C的等内容，欢迎下载使用。

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.样本数据26，34，24，20，30，40，22，24，50的中位数和极差分别为（ ）
A.30，24B.26，30C.24，30D.26，24
3.已知复数z在复平面内所对应的点为，则（ ）
A.B.C.D.
4.已知函数的图像关于直线对称，则（ ）
A.B.C.D.
5.已知抛物线的焦点为F，为C上一点，则（ ）
A.B.5C.6D.
6.已知函数是奇函数，则（ ）
A.B.0C.1D.
7.已知递增等比数列的公比为q，且，则的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
8.已知在三棱锥中，除PC外其他各棱长均为2，且二面角的大小为.若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.已知双曲线，则C的（ ）
A.焦点在y轴上B.焦距为3
C.离心率为D.渐近线为
10.小明上学有时乘公交车，有时骑自行车，他各记录了100次乘公交车和骑自行车上学所用的时间，经数据分析得到：乘公交车平均用时20min，样本标准差为6；骑自行车平均用时24min，样本标准差为2.已知若随机变量，则.假设小明乘公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则（ ）
A.
B.
C.若某天有28min可用。小明要想尽可能不迟到应选择骑自行车
D.若某天有25min可用，小明要想尽可能不迟到应选择乘公交车
11.已知的三边长分别为2，3，，O为内一点，且满足.设，，，则（ ）
A.B.
C.D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知展开式中x的系数为80，则______.
13.已知函数在区间有零点，则a的取值范围是______.
14.设，且，记M为，，…，中最大的数，则M的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求的单调区间和极值.
16.（15分）如图，直三棱柱的高为6，，，E，F分别为AB，的中点。G为上一点，且.
（1）证明：平面；
（2）求直线EG与平面所成角的正切值.
17.（15分）某同学进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5，且每次投篮是否命中相互独立.若该同学投篮3次，记其中命中的次数为X.
（1）求X的分布列与期望；
（2）已知有大小相同的红球和黄球各个，从中随机取3个球，记其中红球的个数为Y，若用的值近似表示，且满足误差的绝对值不超过0.01，求n的最小值.
18.（17分）已知椭圆过点，且C的右焦点为.
（1）求C的方程；
（2）设过点的一条直线与C交于P，Q两点，且与线段AF交于点S.
（i）证明：S到直线FP和FQ的距离相等；
（ii）若的面积等于的面积，求Q的坐标.
19.（17分）“割圆术”是利用圆的外切或内接正多边形逼近圆并由此求圆周率的一种方法.设，圆的外切和内接正边形的周长分别为和，其中.
（1）若的半径为1，求的外切正边形的面积；
（2）证明：；
（3）设，，证明：
数学参考答案
1.【答案】c
【解析】因为，且，故.
2.【答案】B
【解析】将样本数据按从小到大的顺序排列，第1个数为20，第5个数为26，第9个数为50，故样本数据的中位数为26，极差为.
3.【答案】D
【解析】，，，故
4.【答案】C
【解析】根据题意有，当k取1时，.
5.【答案】B
【解析】将代入C，解得，由抛物线的定义可知.
6.【答案】A
【解析】
，若是奇函数，则
，即恒成立，故.
7.【答案】B
【解析】方法1：设，由，可得，设，则，故在单调递增，在单调递减，在单调递增，当时，应在区间存在零点，因为，故只需，即；当时，应有大于1的零点，因为，且当时，，故对于任意均存在大于1的零点，故的取值范围是.
方法2：因，所以.因等比数列递增，所以当时，，即；当时，.所以的取值范围为.设，则，故在单调递减，在单调递增，所以的取值范围是.
8.【答案】A
【解析】方法1：如图，设，分别为，的中点，连接，，，且，是边长为的等边三角形，则球心必在线段上，其中，设球的半径为，因为，即.解得，故球的表面积为.
方法2：如图，
设，分别为，的中点，
连接，，，则球心必在线段上，且.设在直线上的射影为，则为正的重心，且底面.所以，，所以，，故球的表面积为.
9.【答案】AC（选对一项给3分）
【解析】的标准方程为，故焦点在轴上，，，，故焦距为，离心率为，渐近线为，故A，C正确.
10.【答案】BCD（选对一项给2分，选对两项给4分）
【解析】根据题意知，，故A错误，B正确；
若有28min可用，分别设随机变量，的平均数和方差为，，，.则
故，小明要想尽可能不迟到应选择骑自行车，故C正确；
若有可用，则，，因为，，故，小明要想尽可能不迟到应选择乘公交车，故D正确.
11.【答案】BCD（选对一项给2分，选对两项给4分）
【解析】，故A错误；不妨设，，，由余弦定理可知，故，，设，，，
则，
又因为，
故，所以，故B正确；由余弦定理可知，
，同理，，故，，故C正确；，故D正确.
12.【答案】-2
【解析】因为的系数为，故.
13.【答案】
【解析】方法1：令，当时，，当且仅当时取等，且，所以若在区间有零点，则的取值范围是.
方法2：根据条件知，，，，
解得，即a的取值范围是.
14.【答案】6
【解析】
，
因为，故，
所以
所以的最小值为6，当，且时成立.
15.（13分）
【解析】（1）根据题意有，2分
故切线的斜率.3分
又，故切点坐标为.4分
所以曲线在点处的切线方程为.6分
（2）由（1）知，当时，；当时，；当时，.
所以的单调递增区间是，；单调递减区间是.9分
当时，取得极大值；11分
当时，取得极小值.13分
16.（15分）
【解析】（1）如图，延长，交于点，连接交于点，连接.
因为为的中点，且，故为的中点.1分
过作，交于点，因为为的中点，故，，因为，故.3分
又因为，故，故，，5分
因为平面，平面，
所以平面.7分
（2）以为坐标原点，直线为轴，直线为轴，直线为轴建立坐标系，
则，，，，故，，
且记.10分
设平面的法向量为，则
不妨取，则.13分
所以，14分
所以直线与平面所成角的正弦值为，正切值为.15分
17.（15分）
【解析】（1）根据题意有，
其中，1分
，2分
，3分
，4分
的分布列为：
5分
方法1：所以7分
方法2：因为，故.7分
（2）根据题意有.10分
由（1）可知，
故应满足.13分
解得.14分
故n的最小值为20.15分
18.（17分）
【解析】（1）根据題意有，1分
且由椭圆的几何性质可知，2分
所以，.3分
所以的方程为.4分
（2）（i）显然的斜率存在，设的方程为，代入的方程有：，其中.6分
设，，则，，7分
若到直线和的距离相等，则直线平分，且易知轴，故只需满足直线与的斜率之和为0.设，的斜率分别为，，则：，10分
代入，，有，故命题得证.12分
（ii）由（i）知直线平分，即.13分
因为的面积等于的面积，故，
即，故.14分
故，，在线段的垂直平分线上.15分
易知线段的垂直平分线为，与的方程联立有，
故的坐标为或.17分
19.（17分）
【解析】（1）根据题设可知，故外切多边形每一条边所对的圆心角为.1分
当的半径时，有.3分
所以圆的外切正边形的面积为.4分
（2）方法1：设的半径为，的内接正边形每一条边所对的圆心角为，则由几何关系可知，且，.6分
故，7分
且，得.8分
所以，即.10分
方法2：设的半径为，则，，6分
所以9分
，即.10分
（3）方法1：在（2）的条件下由几何关系可知，故，
又，故.12分
由（2）可知，且，
故，
故.14分
由（2）可知，15分
又，故.16分
因为，且由得，
故.综上，.17分
方法2：由（2）可知，11分
又，故.
故
.
设，则，单调递减，
故当时，，此时.
所以.