2024-2025学年广西南宁二中九年级（上）开学数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年广西南宁二中九年级（上）开学数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.实数3的相反数是( )
A. 3B. −3C. 13D. −13
2.下列运动项目标志的图案中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，进入预定轨道，飞行乘组状态良好，发射取得成功.据报道，长征二号F遥十八运载火箭的起飞质量大约是480000kg.将数据480000用科学记数法表示，结果是( )
A. 0.48×106B. 0.48×105C. 4.8×105D. 48×104
4.如图，已知经过原点的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=−1，下列结论中：
①ab>0，②a+b+c>0，③当−2正确的个数是( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
5.用配方法解方程x2−6x−7=0，下列配方正确的是( )
A. (x−3)2=16B. (x+3)2=16C. (x−2)2=7D. (x−3)2=2
6.在学校艺术节文艺汇演中，甲、乙两个舞蹈队队员的身高的方差分别是S甲2=1.5，S乙2=2.5，那么身高更整齐的是( )队．
A. 甲B. 乙C. 甲和乙D. 无法判定
7.下列运算正确的是( )
A. 4ab÷2a=2abB. (3x2)3=9x6C. a3⋅a4=a7D. 6÷ 3=2
8.如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
9.已知关于x的一元二次方程(m−1)x2+4x+1=0有实数根，则m的取值范围为( )
A. m≤5 B. m<5C. m<5且m≠1D. m≤5且m≠1
10.已知实数x1、x2满足x1+x2=4，x1x2=−3，则以x1、x2为根的一元二次方程是( )
A. x2−4x−3=0B. x2+4x−3=0C. x2−4x+3=0D. x2+4x+3=0
11.某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x.则所列方程为( )
A. 30(1+x)2=50B. 30(1−x)2=50C. 30(1+x2)=50D. 30(1−x2)=50
12.已知在平行四边形ABCD中，AC=6，E是AD上一点，△DCE的周长是平行四边形ABCD周长的一半，且EC=4，连接EO，则EO的长为( )
A. 3B. 5C. 2 5D. 7
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
13.计算： 9= ______．
14.抛物线y=(x+1)2−3的顶点坐标是______．
15.如图是二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)和一次函数y2=mx+n(m≠0)的图象，y1与y2交点的横坐标分别是−2和1，则当y2>y1时，x的取值范围是______．
16.将抛物线y=x2−2x−3向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到抛物线的解析式为______．
17.如图有一个三角形点阵，从上向下有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第n行有n个点，容易发现，10是三角点阵中前4行的点数之和.当三角点阵中点数之和是300时，则三角点阵点的行数为______．
18.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动(不与点C重合).如果P、Q分别从A、B同时出发.设运动的时间为x s，四边形APQC的面积为y m2.则y关于x的函数解析式为______．
三、解答题：本题共8小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
计算：(− 5)2−|−7|− 12× 3+ 16÷ 2．
20.(本小题6分)
解方程：x2+4x+2=0．
21.(本小题10分)
小强同学想画出二次函数y=−2x2−4x的图象，并根据图象研究它的性质．
(1)请你帮小强先将该二次函数化成y=a(x−h)2+k形式(在下面空白处写出过程)，并完成下表，然后在平面直角坐标系中画出它的图象．
(2)根据图象回答问题：
①该图象是一条抛物线，也是______图形，它的对称轴是______；
②该图象的顶点坐标为______，该函数有最______值(填“大”、“小”)；
③当x ______时，y随x的增大而减小．
22.(本小题10分)
为了了解某校初中各年级学生每天的平均睡眠时间(单位：h，精确到1h)，抽样调查了部分学生，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图．
请你根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)求出扇形统计图中百分数a的值为______，所抽查的学生人数为______．
(2)求出平均睡眠时间为8小时的人数，并补全频数直方图．
(3)求出这部分学生的平均睡眠时间的众数和平均数．
(4)如果该校共有学生1200名，请你估计睡眠不足(少于8小时)的学生数．
23.(本小题10分)
如图，在▱ABCD中，∠ABC=60°，BE平分∠ABC且交AD于点E，DF/​/BE且交BC于点F．
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
(2)求∠FDC的大小．
24.(本小题10分)
元旦期间，某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．
(1)若房价定为200元时，求宾馆每天的利润；
(2)房价定为多少时，宾馆每天的利润最大？最大利润是多少？
25.(本小题8分)
【问题背景】新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的．
【实验操作】为了解某品牌新能源汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下新能源汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验．
实验一：探究电池充电状态下新能源汽车仪表盘增加的电量y(%)与时间t(分钟)的关系．
数据记录如表1：
实验二：探究充满电量状态下新能源汽车行驶过程中仪表盘显示电量e(%)与行驶里程s(千米)的关系．
数据记录如表2：
【建立模型】
(1)观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，求出y关于t的函数解析式及e关于s的函数解析式；
【解决问题】
(2)该品牌新能源汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点460千米处的目的地，若新能源汽车行驶240千米后，在途中的服务区充电30分钟，充电后该新能源汽车是否有足够的电量行驶到目的地．
26.(本小题8分)
【探究与证明】折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．
【动手操作】如图1，将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，展平纸片，得到折痕EF：折叠纸片，使点B落在EF上，并使折痕经过点A，得到折痕AM，点B，E的对应点分别为B′E展平纸片，连接AB′，BB′，BE′.请完成：
(1)观察图1中∠1，∠2和∠3，试猜想这三个角的大小关系；
(2)证明(1)中的猜想；
【类比操作】如图2，N为矩形纸片ABCD的边AD上的一点，连接BN，在AB上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B，P分别落在EF，BN上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为B′，P′，展平纸片，连接BB′，P′B′.请完成：
(3)证明BB′是∠NBC的一条三等分线．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：实数3的相反数是：−3．
故选：B．
直接利用相反数的定义分析得出答案．
此题主要考查了相反数的定义，正确掌握相反数的定义是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：A，B，D不是轴对称图形，C是轴对称图形，
故选：C．
一个平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，若折叠后直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形即为轴对称图形，据此进行判断即可．
本题考查轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：480000=4.8×105．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
①由抛物线的开口向上，对称轴在y轴左侧，判断a，b与0的关系，得到ab>0；故①正确；
②由x=1时，得到y=a+b+c>0；故②正确；
③根据对称轴和抛物线与x轴的一个交点，得到另一个交点，然后根据图象确定答案即可．
【解答】
解：①∵抛物线的开口向上，
∴a>0，
∵对称轴在y轴的左侧，
∴b>0，
∴ab>0；故①正确；
②∵观察图象知，当x=1时y=a+b+c>0，
∴②正确；
③∵抛物线的对称轴为x=−1，与x轴交于(0,0)，
∴另一个交点为(−2,0)，
∴当−2故选D．
5.【答案】A
【解析】解：原方程移项，
得x2−6x=7，
等式两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方32，
x2−6x+32=7+32，
∴(x−3)2=16；
故选：A．
配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方．
本题考查了配方法解一元二次方程，掌握用配方法解一元二次方程的步骤是关键．
6.【答案】A
【解析】解：由于S甲2∴两队中身高更整齐的是甲队．
故选：A．
方差是用来衡量一组数据波动大小的量，故由甲乙的方差可作出判断．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
7.【答案】C
【解析】解：A、原式=2b，错误；
B、原式=27x6，错误；
C、原式=a7，正确；
D、原式= 2，错误，
故选C
A、原式利用单项式除以单项式法则计算得到结果，即可做出判断；
B、原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；
C、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；
D、原式利用二次根式的除法法则计算得到结果，即可做出判断．
此题考查了整式的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，以及二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：过D点作DE⊥BC于E．
∵∠A=90°，AB=4，BD=5，
∴AD= BD2−AB2= 52−42=3，
∵BD平分∠ABC，∠A=90°，
∴点D到BC的距离=AD=3．
故选：A．
先根据勾股定理求出AD的长度，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答．
本题利用勾股定理和角平分线的性质．
9.【答案】D
【解析】解：∵关于x的一元二次方程(m−1)x2+4x+1=0有实数根，
∴m−1≠0，Δ=42−4(m−1)≥0，
解得：m≤5且m≠1．
故选：D．
根据方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，确定出m的范围即可．
此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系与方程解的情况之间的关系是解本题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵x1+x2=4，x1x2=−3，
∴以x1，x2为根的一元二次方程可为x2−4x−3=0．
故选：A．
直接利用根与系数的关系求解．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．
11.【答案】A
【解析】解：设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x，
由题意得，30(1+x)2=50．
故选：A．
若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x，某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，则二月份的口罩产量是30(1+x)万个，三月份的口罩产量是30(1+x)2万个，根据三月份的口罩产量是50万个，列出方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出各月的产量是解题关键．
12.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC、BD互相平分，
∴O是AC的中点．
∴OA=OC=12AC=3，
∵△DCE的周长是平行四边形ABCD周长的一半，
∴△DCE的周长=CD+CE+DE=CD+AD，
∴CE+DE=AD，
∵AE+DE=AD，
∴AE=CE，
∴OE是线段AC的中垂线，
∴OE⊥BD，
∵AE=EC=4，OA=3，
∴EO= AE2−OA2= 16−9= 7．
故选：D．
根据平行四边形的性质和△DCE的周长是平行四边形ABCD周长的一半，可证明OE是线段AC的中垂线，根据勾股定理即可求出EO的长．
此题主要考查了平行四边形的性质，中垂线的判定及性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
13.【答案】3
【解析】解： 9=3．
故答案为：3．
根据算术平方根的定义计算即可．
本题主要考查了算术平方根，掌握算术平方根的求法是解答本题的关键．
14.【答案】(−1,−3)
【解析】解：抛物线y=(x+1)2−3的顶点坐标是(−1,−3)．
故答案为(−1,−3)．
根据二次函数的顶点式，易得二次函数y=(x+1)2−3图象的顶点坐标．
本题考查了二次函数的性质：二次函数的图象为抛物线，若顶点坐标为(k,h)，则其解析式为y=a(x−k)2+h．
15.【答案】−2【解析】解：∵y2>y1，
∴一次函数的图象在抛物线的上方，
由图象可知，当−2∴当−2y1，
故答案为：−2根据图象找出一次函数图象在抛物线图象上方的部分对应的x的范围即可得出答案．
本题主要考查二次函数与不等式的关系，关键是要能根据图象的位置得出函数值的大小关系．
16.【答案】y=x2−6x+8．
【解析】解：∵物线y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴将抛物线y=x2−2x−3向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到抛物线的解析式为y=(x−1−2)2−4+3，即y=x2−6x+8．
故答案为：y=x2−6x+8．
先将抛物线解析式化为顶点式，再根据平移法则“左加右减、上加下减”，即可得出答案．
本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解题的关键．
17.【答案】24
【解析】解：设三角点阵中前n行的点数的和为300，则有12n(n+1)=300，
整理这个方程，得：n2+n−600=0，
解方程得：n1=24，n2=−25，
根据问题中未知数的意义确定n=24，即三角点阵中前24行的点数的和是300．
故答案为：24．
由于第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…，则前n行共有(1+2+3+4+5+…+n)个点，然后求它们的和，前n行共有n(n+1)2个点，则n(n+1)2=300，然后解方程得到n的值；
此题主要考查了一元二次方程的应用以及规律型：图形的变化，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
18.【答案】y=4(t−3)2+108(0≤t<6)
【解析】解：设P、Q同时出发后经过的时间为t s，四边形APQC的面积为ymm2，
则有：y=S△ABC−S△PBQ
=12×12×24−12×4t×(12−2t)
=4t2−24t+144
=4(t−3)2+108．
∴y=4(t−3)2+108(0≤t<6)．
故答案为：y=4(t−3)2+108(0≤t<6)．
根据等量关系“四边形APQC的面积=三角形ABC的面积−三角形PBQ的面积”列出函数关系即可．
本题考查了函数关系式，搞清楚四边形APQC的面积=三角形ABC的面积−三角形PBQ的面积是关键．
19.【答案】解：(− 5)2−|−7|− 12× 3+ 16÷ 2
=5−7− 36+ 8
=5−7−6+2 2
=−8+2 2．
【解析】先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】解：∵x2+4x+2=0
∴x2+4x=−2
∴x2+4x+4=−2+4
∴(x+2)2=2
∴x=−2± 2
∴x1=−2+ 2，x2=−2− 2
【解析】配方法的一般步骤：
(1)把常数项移到等号的右边；
(2)把二次项的系数化为1；
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
此题可以采用配方法，解题时注意配方法的解题步骤．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
21.【答案】−2 2 轴对称 直线x=−1 (−1,2) 大 >−1
【解析】解：(1)y=−2x2−4x=−2(x+1)2+2；
画出函数的图象如图：
(2)由图象可知：
①该图象是一条抛物线，也是轴对称图形，它的对称轴是直线x=−1；
②该图象的顶点坐标为(−1,2)，该函数有最大值；
③当x>−1时，y随x的增大而减小．
故答案为：轴对称，直线x=−1；(−1,2)，大；x>−1．
(1)利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式；列表、描点，连线即可确定函数的图象；
(2)观察图象即可得到．
本题考查了二次函数的三种表现形式，二次函数的图象及二次函数的性质，二次函数的最值，作二次函数的图象时，关键是抓住几个关键点．
22.【答案】(1)45%；60；
(2)平均睡眠时间为8小时的人数为：60×30%=18(人)；
平均睡眠时间为7小时的人数为：60×45%=27(人)
补全频数直方图如图：
(3)这部分学生的平均睡眠时间的众数是7，
平均数=12×6+27×7+8×18+9×360=7.2(小时)；
(4)1200名睡眠不足(少于8小时)的学生数=12+2760×1200=780(人)．
【解析】解：(1)a=1−20%−30%−5%=45%；
所抽查的学生人数为：3÷5%=60(人)；
故答案为：45%；60；
(2)见答案；
(3)见答案；
(4)见答案；
(1)根据扇形统计图中的数据，可以得到a的值，然后根据平均睡眠时间为9小时的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数;
(2)根据统计图中的数据和(1)中的结果，可以求得平均睡眠时间为8小时的人数和7小时的人数，然后即可将直方图补充完整;
(3)根据直方图中的数据，可以得到这部分学生的平均睡眠时间的众数和平均数;
(4)根据直方图中的数据，可以计算出睡眠不足(少于8小时)的学生数．
此题考查了频数(率)分布直方图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴ED/​/BF，
∵DF/​/BE，
∴四边形BEDF是平行四边形；
(2)解：∵∠ABC=60°，BE平分∠ABC，
∴∠EBF=12∠ABC=30°，
∵四边形BEDF是平行四边形，
∴∠EDF=∠EBF=30°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC=∠ABC=60°，
∴∠FDC=60°−30°=30°．
【解析】(1)根据平行四边形的性质得出AD//BC，根据平行四边形的判定得出即可；
(2)求出∠EBF=30°，根据平行四边形的性质得出∠ADC=∠ABC=60°，∠EDF=∠EBF=30°，即可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行四边形的对边互相平行，平行四边形的对角分别相等．
24.【答案】解：(1)若房价定为200元时，宾馆每天的利润为：(200−20)×(50−2)=8640(元)，
答：宾馆每天的利润为8640；
(2)设总利润为y元，则y=(50−x−18010)(x−20)
=−110x2+70x+1360
=−110(x−350)2+10890
故房价定为350时，宾馆每天的利润最大，最大利润是10890元．
【解析】(1)根据每天游客居住的房间数量等于50−减少的房间数即可解决问题；
(2)构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题．
本题考查了二次函数的应用、解题的关键是构建二次函数解决实际问题中的最值问题，属于中考常考题型．
25.【答案】解：(1)由表格中的数据可知，y关于t的函数解析式为y=t；
设e关于s的函数解析式为e=k2s+b(k2、b为常数，且k2≠0)．
将s=0，e=100和s=160，e=6(0分)别代入e=k2s+b，
得b=100160k2+b=60，
解得k2=−14b=100，
∴e关于s的函数解析式为e=−14s+100．
(2)当s=240时，e=−14×240+100=40，
当t=30时，y=30，
40+30=70，
∴在途中的服务区充电30分钟后，仪表盘显示电量是70%．
当e=70时，70=−14s+100，解得s=120，
∴当仪表盘显示电量为70%时还能行驶120千米．
剩余路程为460−240=220(千米)，
∵120<220，
∴充电后该新能源汽车没有足够的电量行驶到目的地．
【解析】(1)根据表1中数据变化规律直接写出y关于t的函数解析式，利用待定系数法求出e关于s的函数解析式即可；
(2)将s=240代入e关于s的函数解析式，求出剩余电量；将t=30代入y关于t的函数解析式，求出充入的电量，从而求出在途中的服务区充电30分钟后仪表盘显示的电量，将它代入e关于s的函数解析式，求出能够行驶的距离并与剩余的路程相比即可得出结论．
本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键．
26.【答案】(1)解：∠1=∠2=∠3；
(2)证明：如图1，

设AM，EF交于点O，
由题意得：EF是AB的垂直平分线，AM是BB′的垂直平分线，AB=AB′，
∴AB′=BB′，OA=OB=OB′，
∴AB′=BB′=AB，O为外心，
∴∠ABB′=60°，
∴∠1=∠2=30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴∠3=90°−60°=30°，
∴∠1=∠2=∠3；
(3)证明：如图2，

同理(2)得：OB=OB′=OP=OP′，BP′=PB′=BB′，
∴∠P′BO=∠B′BO，∠OBB′=∠BB′O，
∵EF/​/BC，
∴∠OB′B=∠B′BC，
∴∠P′BO=∠B′BO=∠B′BC，
∴BB′是∠NBC的一条三等分线．
【解析】(1)猜想∠1=∠2=∠3；
(2)可推出点O是等边三角形ABB′的外心，从而得出∠1=∠2=30°，进一步得出结论；
(3)同理(2)可得OB=OB′=OP=OP′，BP′=PB′=BB′，从而∠P′BO=∠B′BO，∠OBB′=∠BB′O，根据EF/​/BC得出∠OB′B=∠B′BC，进一步得出结论．
本题考查了轴对称的性质，矩形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握轴对称的性质．x
…
−72
−3
______
−1
0
1
32
…
y
…
−212
−6
0
______
0
−6
−212
…
电池充电状态
时间t(分钟)
0
10
30
60
增加的电量y(%)
0
10
30
60
新能源汽车行驶过程
已行驶里程s(千米)
0
160
200
280
显示电量e(%)
100
60
50
30
x
…
−72
−3
−2
−1
0
1
32
…
y
…
−212
−6
0
2
0
−6
−212
…