2024-2025学年北京市丰台区九年级数学第一学期开学学业质量监测试题【含答案】

这是一份2024-2025学年北京市丰台区九年级数学第一学期开学学业质量监测试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，三象限D．第二，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，直线y=kx+b（k≠0）经过点A（﹣2，4），则不等式kx+b＞4的解集为（ ）
A．x＞﹣2B．x＜﹣2C．x＞4D．x＜4
2、（4分）下列各式中，能与合并的二次根式是 ( )
A．B．C．D．
3、（4分）若分式有意义，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4、（4分）若分式有意义，则满足的条件是（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）若将直角三角形的两直角边同时扩大2倍，则斜边扩大为原来的
A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．5倍
6、（4分）用反证法证明命题“在中，若，则”时，可以先假设（ ）
A．B．C．D．
7、（4分）坐标平面上,有一线性函数过(-3,4)和(-7,4)两点,则此函数的图象会过( )
A．第一、二象限B．第一、四象限
C．第二、三象限D．第二、四象限
8、（4分）如图，、分别是平行四边形的边、上的点，且，分别交、于点、.下列结论：①四边形是平行四边形；②；③；④，其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个
C．3个D．4个
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）有7个数由小到大依次排列，其平均数是38，如果这组数的前4个数的平均数是33，后4个数的平均数是42，则这7个数的中位数是 ．
10、（4分）菱形ABCD的周长为24，∠ABC=60°，以AB为腰在菱形外作底角为45°的等腰△ABE，连结AC，CE，则△ACE的面积为___________.
11、（4分）在平面直角坐标系中，点A（x，y）在第三象限，则点B（x，﹣y）在第_____象限．
12、（4分）若矩形的边长分别为2和4，则它的对角线长是__．
13、（4分）在△ABC中，BC=a．作BC边的三等分点C1，使得CC1：BC1=1：2，过点C1作AC的平行线交AB于点A1，过点A1作BC的平行线交AC于点D1，作BC1边的三等分点C2，使得C1C2：BC2=1：2，过点C2作AC的平行线交AB于点A2，过点A2作BC的平行线交A1C1于点D2；如此进行下去，则线段AnDn的长度为______________.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）定向越野作为一种新兴的运动项目，深受人们的喜爱. 这种定向运动是利用地图和指北针到访地图上所指示的各个点标，以最短时间按序到达所有点标者为胜. 下面是我区某校进行定向越野活动中，中年男子组的成绩（单位：分:秒）.
9:01 14:45 9:46 19:22 11:20 18:47 11:40 12:32 11:52 13:45
22:27 15:00 17:30 13:22 18:34 10:45 19:24 16:26 21:33 15:31
19:50 14:27 15:55 16:07 20:43 12:13 21:41 14:57 11:39 12:45
12:57 15:31 13:20 14:50 14:57 9:41 12:13 14:27 12:25 12:38
例如，用时最少的赵老师的成绩为9:01，表示赵老师的成绩为9分1秒.
以下是根据某校进行定向越野活动中，中年男子组的成绩中的数据，绘制的统计图表的一部分．
某校中年男子定向越野成绩分段统计表
（1）这组数据的极差是____________；
（2）上表中的a =____________ ,b =____________ , c =____________, d =____________；
（3）补全频数分布直方图.
15、（8分）如图，城气象台测得台风中心在城正西方向的处，以每小时的速度向南偏东的方向移动，距台风中心的范围内是受台风影响的区域.
（1）求城与台风中心之间的最小距离；（2）求城受台风影响的时间有多长？
16、（8分）（1）请计算一组数据的平均数；
（2）一组数据的众数为，请计算这组数据的方差；
（3）用适当的方法解方程．
17、（10分）如图，在△ABC中,∠B=90°,AB=5 cm,BC=7 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,同时点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动.当一个点到达终点时另一点也随之停止运动,运动时间为x秒(x>0).
(1)求几秒后，PQ的长度等于5 cm.
(2)运动过程中，△PQB的面积能否等于8 cm2?并说明理由.
18、（10分）为了加强公民的节水意识,合理利用水资源,各地采用价格调控手段达到节约用水的目的,某市规定如下用水收费标准:每户每月的用水量不超过6立方米时,水费按每立方米a元收费,超过6立方米时,不超过的部分每立方米仍按a元收费,超过的部分每立方米按c元收费,该市某户今年9、10月份的用水量和所交水费如下表所示:
设某户每月用水量x(立方米),应交水费y(元).
（1）求a,c的值；
（2）当x≤6,x≥6时,分别写出y与x的函数关系式；
（3）若该户11月份用水量为8立方米,求该户11月份水费是多少元?
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图所示的圆形工件，大圆的半径为，四个小圆的半径为，则图中阴影部分的面积是_____（结果保留）.
20、（4分）直线y＝2x+6经过点（0，a），则a＝_____．
21、（4分）如图，在中，点分别在上，且，，则___________
22、（4分）如图，正方形OMNP的一个顶点与正方形ABCD的对角线交点O重合，且正方形ABCD、OMNP的边长都是4cm，则图中重合部分的面积是_____cm1．
23、（4分）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则非正整数k的值是______．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）某科技公司研发出一款多型号的智能手表，一家代理商出售该公司的A型智能手表，去年销售总额为8000元，今年A型智能手表的售价每只比去年降了60元，若售出的数量与去年相同，销售总额将比去年减少25%．
(1)请问今年A型智能手表每只售价多少元？
(2)今年这家代理商准备新进一批A型智能手表和B型智能手表共100只，它们的进货价与销售价格如下表，若B型智能手表进货量不超过A型智能手表数量的3倍，所进智能手表可全部售完，请你设计出进货方案，使这批智能手表获利最多，并求出最大利润是多少元？
25、（10分）先化简，再求值：，其中m＝－3，n＝－1．
26、（12分）如图1，有一张长40cm，宽30cm的长方形硬纸片，截去四个小正方形之后，折成如图2所示的无盖纸盒，设无盖纸盒高为xcm．
（1）用关于x的代数式分别表示无盖纸盒的长和宽．
（2）若纸盒的底面积为600cm2，求纸盒的高．
（3）现根据（2）中的纸盒，制作了一个与下底面相同大小的矩形盒盖，并在盒盖上设计了六个总面积为279cm2的矩形图案A﹣F（如图3所示），每个图案的高为ycm，A图案的宽为xcm，之后图案的宽度依次递增1cm，各图案的间距、A图案与左边沿的间距、F图案与右边沿的间距均相等，且不小于0.3cm，求x的取值范围和y的最小值．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
【分析】求不等式kx+b＞4的解集就是求函数值大于4时，自变量的取值范围，观察图象即可得.
【详解】由图象可以看出，直线y=4上方函数图象所对应自变量的取值为x>-2，
∴不等式kx+b＞4的解集是x>-2，
故选A．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式；观察函数图象，比较函数图象的高低（即比较函数值的大小），确定对应的自变量的取值范围．也考查了数形结合的思想．
2、B
【解析】
先化成最简二次根式，再判断即可．
【详解】
解：A、不能与合并，故本选项不符合题意；
B、=，能与合并，故本选项符合题意；
C、=，不能与合并，故本选项不符合题意；
D、=4，不能与合并，故本选项不符合题意.
本题考查了同类二次根式和二次根式的性质等知识点，能理解同类二次根式的定义是解此题的关键．
3、B
【解析】
分式有意义，则，求出x的取值范围即可.
【详解】
∵分式有意义，
∴，
解得：，
故选B.
本题是对分式有意义的考查，熟练掌握分式有意义的条件是解决本题的关键.
4、B
【解析】
根据分式有意义的条件可得x+1≠0，再解即可．
【详解】
解：由题意得：x+1≠0，
解得：x≠-1
故选B．
本题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
5、A
【解析】分析：根据勾股定理知直角三角形的三边满足a2+b2=c2，当直角边扩大2倍依然满足勾股定理：(2a)2+(2b)2=(2c)2，由此确定斜边扩大的倍数.
详解：直角三角形的三边满足勾股定理：a2+b2=c2，如果两直角边扩大为原来的2倍，则(2a)2+(2b)2=(2c)2，所以斜边扩大为原来的2倍.
故选A.
点睛：此题属于勾股定理的应用，勾股定理的内容是：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，当题目中出现直角三角形，常使用勾股定理进行求解，这个定理在几何的计算问题中是经常用到的，尤其是线段的长度以及边的关系，请同学们熟记并且能熟练地运用它.
6、B
【解析】
根据反证法的第一步是假设结论不成立进而解答即可．
【详解】
解：用反证法证明命题“△ABC中，若∠A＞∠B+∠C，则∠A＞90°”时，应先假设∠A≤90°．
故选：B．
本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
7、A
【解析】
根据该线性函数过点（-3，4）和（-7，4）知，该直线是y=4，据此可以判定该函数所经过的象限．
【详解】
∵坐标平面上有一次函数过(-3,4)和(-7,4)两点,
∴该函数图象是直线y=4,
∴该函数图象经过第一、二象限.
故选：A．
本题考查了一次函数的性质．解题时需要了解线性函数的定义：在某一个变化过程中，设有两个变量x和y，如果可以写成y=kx+b（k为一次项系数，b为常数），那么我们就说y是x的一次函数，其中x是自变量，y是因变量．一次函数在平面直角坐标系上的图象为一条直线．
8、D
【解析】
根据平行四边形的性质即可判断.
【详解】
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC,又，
∴四边形是平行四边形①正确；
∴AE=CF,∠EAG=∠FCH,又∠AGE=∠BGC=∠CHF，
∴，②正确；
∴EG=FH,故BE-EG=DF-FH,故，③正确；
∵，∴,故④正确
故选D.
此题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是熟知平行四边形的性质与全等三角形的判定与性质.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、34
【解析】
试题解析：解：设这7个数的中位数是x，
根据题意可得：，
解方程可得：x＝34.
考点：中位数、平均数
点评：本题主要考查了平均数和中位数.把一组数据按照从小到大的顺序或从大到小的顺序排列，最中间的一个或两个数的平均数叫做这组数据的中位数.
10、9或．
【解析】
分两种情况画图，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理矩形计算即可．
【详解】
解：①如图1，延长EA交DC于点F，
∵菱形ABCD的周长为24，
∴AB=BC=6，
∵∠ABC=60°，
∴三角形ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
当EA⊥BA时，△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=AB=AC=6，∠EAC=90°+60°=150°，
∴∠FAC=30°，
∵∠ACD=60°，
∴∠AFC=90°，
∴CF=AC=3，
则△ACE的面积为：AE×CF=×6×3=9；
②如图2，过点A作AF⊥EC于点F，
由①可知：∠EBC=∠EBA+∠ABC=90°+60°=150°，
∵AB=BE=BC=6，
∴∠BEC=∠BCE=15°，
∴∠AEF=45°-15°=30°，∠ACE=60°-15°=45°，
∴AF=AE，AF=CF=AC=，
∵AB=BE=6，
∴AE=，
∴EF=，
∴EC=EF+FC=
则△ACE的面积为：EC×AF=．
故答案为：9或．
本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
11、二
【解析】
根据各象限内点的坐标特征，可得答案．
【详解】
解：由点A（x，y）在第三象限，得
x＜0，y＜0，
∴x＜0，-y＞0，
点B（x，-y）在第二象限，
故答案为：二．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
12、2.
【解析】
根据矩形的性质得出∠ABC＝90°，AC＝BD，根据勾股定理求出AC即可．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AC＝BD，
在Rt△ABC中，AB＝2，BC＝4，由勾股定理得：AC＝,
∴
故答案为：
本题考查了矩形的性质，勾股定理的应用，题目比较好，难度适中．
13、
【解析】
根据平行四边形的判定定理得到四边形A1C1CD1为平行四边形，根据平行四边形的性质得到A1D1=C1C，总结规律，根据规律解答．
【详解】
∵A1C1∥AC，A1D1∥BC，
∴四边形A1C1CD1为平行四边形，
∴A1D1=C1C=a=，
同理，四边形A2C2C1D2为平行四边形，
∴A2D2=C1C2=a=，
……
∴线段AnDn=，
故答案为：．
本题考查的是平行四边形的判定和性质、图形的变化规律，掌握平行四边形的判定定理和性质定理是解题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、见解析
【解析】
（1）先找出这组成绩的最大值与最小值，计算即可得；
（2）根据分组“9≤x＜11”的频数与频率可求得a的值，然后用a乘0.275可求得b的值，用6除以a可得d，把所有频率相加可求得c，据此填空即可；
（3）根据b的值补全图形即可.
【详解】
（1）这组数据的最大值为22:27，最小值为9:01，
所以极差为：22：27-9：01=13：26，
故答案为：13:26或 13分26秒；
（2）a=4÷0.1=40，b=40×0.275=11，d=6÷40=0.15，
c=0.1+0.275+0.225+0.15+0.075+0.1+0.075=1，
故答案为：40，11，1，0.15.
（3）如图所示.
本题考查了极差、频数分布表、频数分布直方图，熟练掌握频数、频率与总数间的关系是解题的关键.
15、（1）城与台风中心之间的最小距离是；（2）城遭受这次台风影响的时间为小时.
【解析】
（1）城与台风中心之间的最小距离即为点A到OB的垂线段的长，作，根据直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半求解即可；
（2）设上点，千米，则还有一点，有千米,则在DG范围内，城遭受这次台风影响，所以求出DG长，除以台风移动的速度即为时间.
【详解】
解：作
在中，
，则
答：城与台风中心之间的最小距离是
设上点，千米，则还有一点，有
千米
是等腰三角形，
是的垂直平分线，
在中，千米，千米
由勾股定理得，（千米）
千米，遭受台风影响的时间是：（小时）
答：城遭受这次台风影响个时间为小时
本题考查了含直角三角形的性质、等腰三角形的性质及勾股定理，正确理解题意是解题的关键.
16、（1）4；（2）；（3）
【解析】
（1）根据算数平均数公式求解即可；
（2）根据众数的概念求得x的值，然后利用方差公式计算进行即可；
（3）用因式分解法解一元二次方程．
【详解】
解：（1）
∴这组数据的平均数为4；
（2）由题意可知：x=2
∴

∴这组数据的方差为；
（3）
或
∴
本题考查平均数，众数，方差的概念及计算，考查因式分解法解一元二次方程，掌握相关概念和公式，正确计算是解题关键．
17、 (1)1秒后PQ的长度等于5 cm；(1)△PQB的面积不能等于8 cm1.
【解析】
（1）根据PQ=5，利用勾股定理BP1+BQ1=PQ1，求出即可；
（1）通过判定得到的方程的根的判别式即可判定能否达到8cm1．
【详解】
解:(1)根据题意,得BP=(5-x),BQ=1x.
当PQ=5时,在Rt△PBQ中,BP1+BQ1=PQ1,
∴(5-x)1+(1x)1=51,
5x1-10x=0,
5x(x-1)=0,
x1=0(舍去),x1=1,
答:1秒后PQ的长度等于5 cm.
(1)设经过x秒以后,△PBQ面积为8,
×(5-x)×1x=8.
整理得x1-5x+8=0,
Δ=15-31=-7<0,
∴△PQB的面积不能等于8 cm1.
此题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到等量关系，列出方程并解答．
18、 (1)1.5；6；（2）y=6x-27，（x＞6）;(3)21元.
【解析】
（1）根据表格中的数据，9月份属于第一种收费，5a=7.5；10月份属于第二种收费，6a+（9-6）c=27；即可求出a、c的值；（2）就是求分段函数解析式；（3）代入解析式求函数值．
【详解】
解：(1)由题意5a=7.5，解得a=1.5；
6a+(9−6)c=27，解得c=6.
∴a=1.5，c=6
(2)依照题意，
当x≤6时，y=1.5x；
当x≥6时，y=6×1.5+6×(x−6)=9+6(x−6)=6x−27，
(3)将x=8代入y=6x−27(x>6)得y=6×8−27=21(元).
答：该户11 月份水费是21元.
主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义准确的列出解析式，再把对应值代入求解．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、3080π.
【解析】
用大圆的面积减去4个小圆的面积即可得到剩余部分的面积，然后把R和r的值代入计算出对应的代数式的值．
【详解】
依题意得：65.41π-17.31π×4=4177.16π-1197.16π=3080π（mm1）．
答：剩余部分面积为3080πmm1．
故答案为：3080π.
本题考查了列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．也考查了求代数式的值．
20、6
【解析】
直接将点（0，a）代入直线y＝2x+6，即可得出a＝6.
【详解】
解：∵直线y＝2x+6经过点（0，a），将其代入解析式
∴a＝6.
此题主要考查一次函数解析式的性质，熟练掌握即可得解.
21、
【解析】
根据相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴,
∴ ，
故答案为:.
此题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
22、2．
【解析】
根据题意可得：△AOG≌△DOF（ASA），所以S四边形OFDG=S△AOD=S 正方形ABCD，从而可求得其面积．
【详解】
解：如图，∵正方形ABCD和正方形OMNP的边长都是2cm，

∴OA=OD，∠AOD=∠POM=90°，∠OAG=∠ODF=25°，
∴∠AOG＝∠DOF，
在△AOG和△DOF中，
∵ ，
∴△AOG≌△DOF（ASA），
∴S四边形OFDG=S△AOD=S 正方形ABCD=× =2；
则图中重叠部分的面积是2cm1，
故答案为：2．
本题考查正方形的性质，题中重合的部分的面积是不变的，且总是等于正方形ABCD面积的．
23、-1
【解析】
根据判别式的意义及一元二次方程的定义得到，且，然后解不等式即可求得k的范围，从而得出答案．
【详解】
解：根据题意知，且，
解得：且，
则非正整数k的值是，
故答案为：．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）180元；（2）方案为A型手表25只，B型手表75只，获利最多，最大利润是7250元．
【解析】
（1）设今年A型智能手表每只售价x元，则去年售价每只为（x+60）元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可；
（2）设今年新进A型a只，则B型（100-a）只，获利y元，由条件表示出W与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出W的最大值．
【详解】
解：（1）今年A型智能手表每只售价x元，去年售价每只为（x+60）元，
根据题意得 ，解得：x=180，
经检验，x=180是原方程的根，
答：今年A型智能手表每只售价180元；
（2）设新进A型手表a只，全部售完利润是W元，则新进B型手表（100-a）只，
根据题意得，W=（180-130）a+(230-150）（100-a）=-30a+8000，
∵100-a≤3a，∴a≥25，
∵-30＜0，W随a的增大而减小，
∴当a=25时，W增大=-30×25+8000=7250元，
此时，进货方案为新进A型手表25只，新进B型手表75只，
答：方案为A型手表25只，B型手表75只，获利最多，最大利润是7250元．
此题考查分式方程的应用，一次函数的运用，解题关键在于由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关键．
25、
【解析】
先对原式进行化简，然后代入求值即可。
【详解】
解：
=
=
=
当m＝－3，n＝－1时，
原式==
故答案为:
本题考查了多项式的化简求值问题，其中化简是解题的关键。
26、（1）长，宽，（2）高为5cm，（3）x的取值范围为：，y的最小值为1．
【解析】
根据长两个小正方形的长，宽两个小正方形的宽即可得到答案，
根据面积长宽，列出关于x的一元二次方程，解之即可，
设各图案的间距、A图案与左边沿的间距、F图案与右边沿的间距为m，关于x的一元一次不等式，解之即可，根据面积长宽，列出y关于x的反比例函数，根据反比例函数的增减性求最值．
【详解】
根据题意得：长，宽，
根据题意得：
整理得：
解得：舍去，，
纸盒的高为5cm，
设各图案的间距、A图案与左边沿的间距、F图案与右边沿的间距为m，
，
，
解得：，
根据题意得：，
，
y随着x的增大而减小，
当取到最大值时，y取到最小值，
即当时，，
x的取值范围为：，y的最小值为1．
本题考查二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键：(2)根据等量关系列出一元二次方程(3)根据数量关系列出不等式和反比例函数并利用反比例函数的增减性求最值.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
分组/分
频数
频率
9≤x＜11
4
0.1
11≤x＜13
b
0.275
13≤x＜15
9
0.225
15≤x＜17
6
d
17≤x＜19
3
0.075
19≤x＜21
4
0.1
21≤x＜23
3
0.075
合计
a
c

A型智能手表
B型智能手表
进价
130元/只
150元/只
售价
今年的售价
230元/只