湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期一轮复习小题精练数学6试卷（Word版附解析）

这是一份湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期一轮复习小题精练数学6试卷（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知复数z满足，则（ ）
A．1B．C．2D．
2．在等差数列中，若，则=
A．13B．14C．15D．16
3．已知正三棱柱与以△ABC的外接圆为底面的圆柱的体积相等，则正三棱柱与圆柱的高的比值为（ ）
A．B．C．334πD．
4．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
5．如图所示的矩形中，，满足，，为的中点，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
6．双曲线的左､右焦点分别为，过作轴垂线交双曲线于两点，为正三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用表示小球落入格子的号码，则（ ）
A．B．
C．D．
8．若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(为非零常数，则（ ）
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
10．已知点，，动点在圆：上，则（ ）
A．直线截圆所得的弦长为
B．的面积的最大值为15
C．满足到直线的距离为的点位置共有3个
D．的取值范围为
11．已知函数的部分图象如图1所示，分别为图象的最高点和最低点，过作轴的垂线，交轴于，点为该部分图象与轴的交点.将绘有该图象的纸片沿轴折成直二面角，如图2所示，此时，则下列四个结论正确的有（ ）
A．
B．
C．图2中，
D．图2中，是及其内部的点构成的集合.设集合，则表示的区域的面积大于
三、填空题
12．《九章算术》中将正四梭台（上､下底面均为正方形）称为“方亭”.现有一方亭，高为2，上底面边长为2，下底面边长为4，则此方亭的表面积为 .
13．在数列中，且，当时，，则实数的取值范围为 ．
14．已知点、为椭圆的左、右顶点，点为轴上一点，过作轴的垂线交椭圆于、两点，过作的垂线交于点，则 ．
参考答案
1．A
【分析】根据求出1+iz，求出iz，求出，求出.
【详解】由，有1+iz=42+i=42−i2+i2−i=85−4i5，
∴iz=35−4i5，∴z=5i3−4i=5i3+4i3−4i3+4i=−45+3i5，
∴z=1.
故选：B．
2．A
【分析】因为数列是是等差数列，所以可将用首项和公差表示为，即，然后用首项和公差表示，即，进而整体代入便可得结果．
【详解】解：因为数列是是等差数列，设首项为，公差为
所以可转化为，即
所以
故选A
【点睛】等差数列问题常见的解法是利用等差数列的基本量来进行求解，也可以利用等差数列的性质来进行解题，解题时应灵活运用．
3．D
【分析】设正三棱柱的底面边长为，高为，设圆柱的高为，表示出棱柱和圆柱的体积，由两体积相等化简可求出棱柱与圆柱的高的比值
【详解】设正三棱柱的底面边长为，高为，
等边的面积为12a·32a=34a2，
则正三棱柱的体积为34a2ℎ，
设的外接圆半径为，则R=32a·23=33a，故R=33a，
设圆柱的高为，则圆柱的体积πR2m=π3a2m，
由题意得34a2ℎ=π3a2m，解得ℎm=4π33=43π9.
故选：D.
4．A
【分析】将指数式化为对数式，求得，根据对数的性质比较出的大小关系.
【详解】由得，，由于，所以.由于，所以.由于，所以，即.综上所述，.
故选：A
【点睛】本小题主要考查指数式化为对数式，考查对数比较大小，属于基础题.
5．A
【分析】根据已知条件结合平面向量基本定理将用表示出出来，从而可求得的值
【详解】因为为的中点，，，
所以，
因为，所以，
所以．
故选：A
6．C
【分析】利用点在双曲线上代入可得三角形的边长AB=2b2a，再利用双曲线的性质构造离心率的齐次方程，求出即可.
【详解】
设，
代入双曲线方程可得，
所以AB=2b2a即正三角形的边长，
所以正三角形的高为，
所以
，
故选：C.
7．D
【分析】设Y=X-1，分析出，从而求出的可能取值及相应的概率，求出期望和方差，得到正确答案.
【详解】设A=“向右下落”，则=“向左下落”，且，
设Y=X-1，因为小球在下落过程中共碰撞5次，所以，
于是（）.
所以，A错误；
，
，
所以，B错误；
，C错误，D正确
故选：D
8．B
【分析】设公切线与曲线的切点为，，利用导数的几何意义分别求和上的切线方程，由所得切线方程的相关系数相等列方程求参数关系，进而构造函数并利用导数研究单调性求参数范围.
【详解】设公切线与曲线和的交点分别为，，其中，
对于有，则上的切线方程为，即，
对于有，则上的切线方程为，即，
所以，有，即，
令，，
令，得，
当时，，g(x)单调递增，
当时，，g(x)单调递减，
所以，故，即.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：应用导数几何意义求两条曲线的含参切线方程，由公切线对应系数相等得到相关参数方程，进而构造函数研究单调性求参数范围.
9．CD
【分析】A、C利用两组数据的线性关系有、，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B、D的正误.
【详解】A：且，故平均数不相同，错误；
B：若第一组中位数为，则第二组的中位数为，显然不相同，错误；
C：，故方差相同，正确；
D：由极差的定义知：若第一组的极差为，则第二组的极差为，故极差相同，正确；
故选：CD
10．BCD
【分析】根据点到直线的距离公式，结合勾股定理即可求解弦长判断A，根据三角形的面积公式，结合圆的性质即可求解B，根据圆上的点到直线的距离的范围，即可求解C，根据向量的数量积的运算量，结合坐标运算即可求解D.
【详解】对于A，因为，，所以直线的方程为，圆心到直线的距离为，又因为圆的半径，
所以直线截圆所得的弦长为，A错误．
对于B，易知，要想的面积最大，只需点到直线的距离最大，而点到直线的距离的最大值为，
所以的面积的最大值为，B正确．
对于C，当点在直线上方时，点到直线的距离的范围是，即，由对称性可知，此时满足到直线的距离为的点位置有2个．
当点在直线下方时，点到直线的距离的范围是，即，此时满足到直线的距离为的点位置只有1个．
综上所述，满足到直线的距离为的点位置共有3个，C正确．
对于D，由题意知．
又因为，，，所以，，
故，．
设点满足，
则，故解得即，．
所以．
又因为，
所以，即的取值范围为，，D正确．
故选：BCD
11．AC
【分析】在图2中，以点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立空间直角坐标系，根据已知条件求出的值，即可判断A；结合的取值范围求出的值，可判断B；利用空间向量数量积的坐标运算可判断C；求出，结合扇形的面积公式可判断D.
【详解】函数的最小正周期为，
在图2中，以点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
设点，则点、，
，因为，解得，故A正确；
所以，，则，可得，
又因为函数在附近单调递减，且，所以，，故B错误；
因为，可得，
又因为点是函数的图象在轴左侧距离轴最近的最高点，则，可得，
所以，，
因为点是函数在轴右侧的第一个对称中心，所以，，可得，
翻折后，则有、、、，
所以，，，
所以，在图2中，，故C正确；
在图2中，设点，，
可得，
，，，
易知为锐角，则，
所以，区域是坐标平面内以点为圆心，半径为，且圆心角为的扇形及其内部，
故区域的面积，故D错误.
故选：AC
【点睛】关键点点睛：本题考查翻折问题，解题的关键在于建立空间直角坐标系，通过空间向量法来求解相应问题.
12．
【分析】先利用勾股定理求出正四棱台侧面的高，再根据多面体的表面积公式即可得解.
【详解】如图所示，分别是正四梭台不相邻两个侧面的高，，
则即为正四梭台的高，，
由，得，
所以此方亭的表面积为.
故答案为：.

13．
【分析】由数列的递推式可得，求和后结合条件可得，求出即可.
【详解】因为，，所以，
当时，，所以，所以，
所以
，
因为，
所以，所以，解得.
所以实数的取值范围为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是由数列的递推式可得，然后利用累加法求和求解范围即可.
14．
【分析】设点，则，，写出直线和的方程，联立这两条直线的方程，求出点的坐标，即可得出的值.
【详解】如下图所示，设，则，，
由题设知且，直线的斜率，直线斜率.
直线的方程为，直线的方程为.
联立，解得.
又点在椭圆上，得，.
又，，.
故答案为.
【点睛】本题考查椭圆中三角形的面积比的计算，解题的关键就是要求出点的坐标，同时也要注意点的坐标满足椭圆方程，结合等式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.