长沙市长郡中学2025届高三数学复习小题精练7

这是一份长沙市长郡中学2025届高三数学复习小题精练7，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知复数满足，则在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
4．若从1，2，3，…，9这9个整数中取出4个不同的数排成一排，依次记为a，b，c，d，则使得为偶数的不同排列方法有（ ）
A．1224种B．1800种C．984种D．840种
5．根据国家规定：100mL血液中酒精含量达20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定的酒后，其血液酒精含量上升到了1.2mg/mL．如果停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时20%的进度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（ ）（结果取整，参考数据：，）
A．7B．8C．10D．11
6．双曲线的左､右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与曲线在第一象限交于点，且，则曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，，E为AB的中点，将与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P−DCE的外接球的体积为（ ）
A．43π24B．6π2C．D．6π24
8．设函数，若对于任意实数，函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知，为异面直线，平面，平面.若直线满足，，，，则下面结论错误的是（ ）
A．，B．与相交，且交线平行于
C．，D．与相交，且交线垂直于
10．已知数列的前项和分别为，若，则（ ）
A．B．
C．的前10项和为D．的前10项和为
11．已知椭圆左右两个焦点分别为和，动直线经过椭圆左焦点与椭圆交于两点，且恒成立，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．离心率D．若，则
三、填空题
12．△ABC的内角、、所对边长分别为，面积为，且，则角 .
13．在平面直角坐标系中，为原点，，动点满足，则的最大值是
14．已知函数，若且，有恒成立，则实数a的取值范围是 ．
参考答案
1．A
【分析】根据对数函数的性质求得，再根据集合的交集运算定义求解即可．
【详解】由题可知，，
所以，
故选：A．
2．D
【分析】先求等式右边复数的模长，然后由复数的除法求出，根据共轭复数得到，然后由复数的几何意义进行判断.
【详解】根据复数的模长公式，，
则，故，故，
根据复数的几何意义，在复平面上对应点是，在第四象限.
故选：D
3．B
【分析】令，用分别乘两边再用均值不等式求解即可.
【详解】因为，且为正实数
所以
，当且仅当即时等号成立.
所以.
故选：B.
4．A
【分析】考虑为偶数和为奇数两种情况，判断的奇偶性，根据中偶数的个数计算得到答案.
【详解】当为偶数，则为偶数，有；
当为奇数，则为奇数，四个数均为奇数，有.
所以不同排列方共有1224种．
故选：A
5．B
【分析】设经过个小时才能驾驶，则，再根据指数函数的性质及对数的运算计算可得.
【详解】设经过个小时才能驾驶，则，
即，
由于在定义域上单调递减，
所以，
∴他至少经过8小时才能驾驶.
故选：B.
6．A
【分析】设，求出及，由三角形面积及三角函数值得到，由双曲线定义得到，在中，由余弦定理得到方程，求出，得到离心率.
【详解】设切点为，，连接，则，，
过点作⊥轴于点E，则，故，
因为，解得，
由双曲线定义得，所以，
在中，由余弦定理得，
化简得，又，
所以，方程两边同时除以得，
解得，所以离心率.
故选：A
【点睛】本题考查双曲线的几何性质及其应用，对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率或离心率的取值范围).
7．C
【分析】根据题意可得三棱锥P−DCE为正四面体，且棱长为1，则点在底面的投影为等边的中心，设为，所以正三棱锥P−DCE外接球的球心必在上，从而可求出球的半径，进而可求出球的体积.
【详解】因为在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，，E为AB的中点，
所以△ADE,△CDE,△BCE都为等边三角形，且边长均为1，
所以三棱锥P−DCE为正四面体，且棱长为1，
所以点在底面的投影为等边的中心，设为，则
DG=CG=EG=23×32×1=33，
在Rt△PDG中，PG2=PD2−DG2=1−13=23，所以PG=63，
正三棱锥P−DCE外接球的球心必在上，设球心为，
则OP=OD=OC=OE，设外接球的半径为，则
OP=OD=OC=OE=R，
则在中，OD2=OG2+DG2，则
R2=63−R2+332，解得，
所以三棱锥P−DCE的外接球的体积为
43πR3=43π×643=6π8.
故选：C
8．C
【分析】根据为任意实数，转化为研究函数在任意一个长度为的区间上的零点问题，求出函数在轴右侧靠近坐标原点处的零点，得到相邻四个零点之间的最大距离为，相邻五个零点之间的距离为，根据相邻四个零点之间的最大距离不大于，相邻五个零点之间的距离大于，列式可求出结果.
【详解】因为为任意实数，故函数的图象可以任意平移，从而研究函数在区间上的零点问题，即研究函数在任意一个长度为的区间上的零点问题，
令，得，则它在轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为，，，，，，
则它们相邻两个零点之间的距离分别为，，，，，
故相邻四个零点之间的最大距离为，相邻五个零点之间的距离为，
所以要使函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则需相邻四个零点之间的最大距离不大于，相邻五个零点之间的距离大于，
即，解得.
故选：C
【点睛】关键点点睛：在求解复杂问题时，要善于将问题进行简单化，本题中的以及区间是干扰因素，所以排除干扰因素是解决问题的关键所在.
9．ACD
【分析】AC选项，可反证法判断；BD选项，作出辅助线，由线面垂直的判断，性质和线线平行关系得到B正确，D错误.
【详解】A选项，假设，因为平面，平面，则，
这与直线，为异面直线矛盾，故A错误；
C选项，假设，因为平面，所以，这与矛盾，故C错误；
BD选项，设，作，使得与相交，记与构成平面，如图，
因为平面，，则，又，故，
同理：，而与构成平面，所以；
因为，又，故，又，与构成平面，所以，
故而，即与的交线平行于，故B正确，D错误；
故选：ACD
10．ABD
【分析】本题首先根据题意判断出数列an、bn分别是等差数列、等比数列，求出等比数列bn的通项公式，进而分析也是等比数列并求出其通项公式，可解决选项A、B、D的问题，再依据裂项法，可解决选项C的问题.
【详解】，所以an是首项，公差的等差数列，
，故选项A正确.
令，则，
，
又，，
，故选项C错误.
又，，
又，，，
bn是首项为，公比的等比数列，
，故选项B正确.
又，
是首项为，公比为的等比数列，
，故选项D正确.
故选：ABD.
11．AB
【分析】根据椭圆定义利用通径长可求得，由椭圆性质可得，且离心率，联立直线和椭圆方程可知当，方程无解，因此D错误.
【详解】如下图所示：
易知，由椭圆定义可知，
因为恒成立，所以，
当轴，即AB为通径时，AB最小，所以，
解得，所以A正确；
当AB为长轴时，AB最大，此时，所以，即B正确；
可得椭圆方程为，易知，所以离心率，即C错误；
因为，可设直线的方程为，Ax1,y1,Bx2,y2，
联立，整理可得，
因此；
若，可得，即，所以；
整理得，此时方程无解，因此D错误.
故选：AB
12．/
【分析】将的面积，及，代入条件计算即可.
【详解】的面积，因为，所以，
所以，又，所以.
故答案为：
13．/
【分析】由题意可设，由向量线性运算、模的坐标公式结合辅助角公式即可得解.
【详解】动点的轨迹为以为圆心的单位圆，则设为，
则
.
等号成立当且仅当，且规定是锐角，.
故答案为：.
14．
【分析】将条件转化为在0,+∞上单调递增，再转化为在0,+∞上恒成立，利用导数求函数的最小值，可得结论.
【详解】不妨设，则不等式可化为，
所以，
设，由已知可得在0,+∞上单调递增，
所以在0,+∞上恒成立，
所以在0,+∞上恒成立，
所以在0,+∞上恒成立，
设，则，
设，则，
所以函数在0,+∞上单调递增，
又，，
所以存在，满足，
即，所以，
设，则，
所以在0,+∞上单调递增，又，
所以，
所以当时，，ℎ′x>0，函数在上单调递增，
当时，，ℎ′x<0，函数在上单调递减，
所以，又，
所以，
所以，所以，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于将条件转化为在0,+∞上单调递增，进一步转化为在0,+∞上恒成立.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
B
A
B
A
C
C
ACD
ABD
题号
11









答案
AB