湖南省长沙市长郡中学2023届高三数学下学期模拟试卷（一）（一模）（Word版附解析）

长郡中学2023届模拟试卷（一）

数 学

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。

4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合 A={x,xR} ,,则 等于

A. B.   C.  D.

2.某工厂的一台流水线生产质量稳定可靠,已知在正常工作状态下生产线上生产的零件内径尺寸Z（单位:m）服从正态分布N（60,4）.甲、乙两名同学正进行尺寸测量练习,甲、乙对各自抽取的5个零件测量内径尺寸（单位:m）如下,甲同学测量数据：59,60,62,63,65;乙同学测量数据:52,53,55,57,62,则可以判断

A.甲、乙两个同学测量都正确   B.甲、乙两个同学测量都错误

C.甲同学测量正确,乙同学测量错误  D.甲同学测量错误,乙同学测量正确

3.函数在上的大致图象为

A.    B.

C.    D.

4.最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该书第二章为“天时类”,收录了有关降水量计算的四个例子,分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪” .其中“天池测雨”法是下雨时用一个圆台形的天池盆收集雨水.已知天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸,当盆中积水深九寸（注：1尺=10寸）时,平地的降雨量是

A.9寸  B.6寸 C.4寸 D.3寸

5.为调查某地区中学生每天睡眠时间,釆用样本量比例分配的分层随机抽样,现抽取初中生800 人,其每天睡眠时间均值为9小时,方差为1,抽取高中生1200人,其每天睡眠时间均值为8小时,方差为0.5,则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为

A. 0.94 B. 0.96 C. 0.75 D. 0.78

6.已知,则m,n不可能满足的关系是

A.  B.  C.  D.

7.已知,则的最大值为

A. B. C. D.

8.已知O为坐标原点,双曲线C:的左、右焦点分别是F1,F2,离心率为,点是C的右支上异于顶点的一点,过F2作的平分线的垂线,垂足是M,,若双曲线C上一点T满足,则点T到双曲线C的两条渐近线距离之和为

A.  B. C.  D.

二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.已知复数z=a+bi（a,bR）,其共轴复数为,则下列结果为实数的是

A. B. C. D.

10.平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线,它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系xOy中,M（-2,0）,N（2,0）,动点P满足,则下列结论正确的是

A.点P的横坐标的取值范围是[-,]

B.|OP|的取值范围是[1,3]

C.△PMN面积的最大值为

D.的取值范围是[2,5]

11.已知函数,则下列说法正确的有

A.是偶函数

B.是周期函数

C.在区间上,有且只有一个极值点

D.（0,0）作y=的切线,有无数条

12.在直平行六面体中,,为的中点, 点Q满足.下列结论正确的是

A.若,则四面体的体积为定值

B.若平面,则AQ的最小值为

C.若的外心为E,则为定值2

D.若,则点Q的轨迹长度为

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.已知,若,则 t 的值为     .

14.已知 a>0,若,且a5 = 126,则a=     .

15.已知函数的一条对称轴为,且在上单调,则的最大值为       .

16.如图,椭圆与双曲线有公共焦点,,椭圆的离心率为,双曲线的离心率为,点P为两曲线的一个公共点,且,则    ;若I为的内心,三点共线,0,x轴上点A,B满足,则的最小值为               .

四、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=2,C=.

(1)当 2sin 2A+sin(2B+C) = sin C 时,求△ABC 的面积;

(2)求△ABC周长的取值范围.

18.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,O为AB的中点,平面POC平面ABCD.AD//BC, ABBC,PA=PB=BC=AB=2,AD=3.

(1)求证:平面PAB平面ABCD;

(2)求二面角O-PD-C的余弦值.

19.(12分)市教育局计划举办某知识竞赛,先在A,B,C,D四个赛区举办预赛,每位参赛选手先参加“赛区预赛”,预赛得分不低于100分就可以成功晋级决赛,每个赛区预赛中,成功晋级并且得分最高的选手获得一次决赛中的“错题重答”特权.赛区预赛的具体规则如下:每位选手可以在以下两种答题方式中任意选择一种答题.

方式一:每轮必答2个问题,共回答6轮,每轮答题只要不是2题都错,则该轮次中参赛选手得20分,否则得0分,各轮答题的得分之和即为预赛得分;

方式二:每轮必答3个问题,共回答4轮,在每一轮答题中,若答对不少于2题,则该轮次中参赛选手得30分,如果仅答对1题,则得20分,否则得0分.各轮答题的得分之和即为预赛得分.记某选手每个问题答对的概率均为p(0<p<1).

(1)若,该选手选择方式二答题,求他晋级的概率;

(2)证明:该选手选择两种方式答题的得分期望相等.

20.(12分)已知数列满足,当时,.

(1)求数列的通项公式;

(2)已知数列,证明：.

21.(12分)已知抛物线过点C(l,2),在E上任取不同于C的点A,直线AC与直线,y=x+3交于点P,过点P作x轴的平行线交抛物线于点B.

(1)求证:直线AB过定点;

(2)求ABC面积的最小值.

22.(12 分)已知函数.

(1) 讨论函数的单调性;

(2) 记的零点为x0,的极小值点为x1,当(1,4)时,判断x0与x1的大小关系,并说明理由.

长郡中学2023届模拟试卷(一)

数学参考答案

一、二、选择题

1.B【解析】集合A,B都是数集,,则,故选B.

2.C【解析】根据正态分布的3原则,=60,=2,合格的内径尺寸范围是(54,66),则甲同学测量正确,乙同学测量错误,故选C.

3.B 【解析】,而,且,即函数既不是奇函数也不是偶函数,其图象关于原点、y轴不对称,排除C、D;而,排除A,故选B.

4.D【解析】由已知天池盆上底面半径是14寸,下底面半径是6寸,高为18寸,由积水深9寸知水面半径为 (14+6) = 10寸,则盆中水体积为(立方寸),所以平地降雨量为3(寸),故选D.

5.A【解析】该地区中学生每天睡眠时间的平均数为:(小时),该地区中学 生每天睡眠时间的方差为：.故选A.

6.C 【解析】,即,即.

对于 A, 成立.

对于 B, ,成立.

对于 C, ,即.

对于 D, 成立.故选 C.

7.B【解析】,

,

,

即,

即,

所以,

当且仅当,即时,等号成立,取得最大值.故选B.

8.A【解析】设半焦距为c,延长交于点N,由于PM是∠F1PF2的平分线,F2MPM, 所以△NPF2是等腰三角形,所以Q|PN| = |PF2|,且M是NF2的中点.

根据双曲线的定义可知,即,由于是的中点,

所以MO是△NF1F2的中位线,所以,又双曲线的离心率为,

所以,所以双曲线C的方程为.

所以,双曲线C的渐近线方程为,

设到两渐近线的距离之和为S,则,

由,即 u2+v2=8,

又T在上,则,即,解得,

由,故,即距离之和为.故选A.

9.BCD【解析】对于A,z2=a2-b2+2abi,不一定为实数;

对于 B, ;

对于 C,;

对于 D,.故选 BCD.

10.BC【解析】设点,依题意得,

对于A,,当且仅当时取等号,解不等式,得,即点P的横坐标的取值范围是,则A错误;

对于B,,则,显然,因此,B 正确;

对于 C,. 的面积,当且仅当时取等号,当时,点P在以线段MN为直径的圆上,由解得所以面积的最大值为,C正确;

对于D,点(3,0)在动点P的轨迹上,当点P为此点时,|PM| + |PN| =5+1 = 6,D错误.故选BC.

11. AC【解析】显然,A正确;B错误;

对于 C,,当时,,则 单调递减,又,故在上只有一个解,C正确;

对于 D,设切点为 ,则切线方程为,代入(0,0),有,得t= 0或.若 ,则切线方程为;若,则切线方程为,故有且仅有3 条切线,D错误.故选AC.

12.ABD【解析】对于 A,因为,所以三点共线,即 点Q在CD1上,因为CD1//A1B,CD1平面A1BP,A1B平面A1BP,所以CD1//平面A1BP,所以点Q到平面A1BP的距离为定值,因为△A1BP的面积为定值,所以四面体A1BPQ的体积为定值,A正确;

对于B,取DD1,DC的中点分别为M,N,连接AM,MN,AN,则AM//BP,因为平面A1BP,BP平面A1BP,所以 AM平面A1BP,因为 MNCD1 ,A1BCD1 ,所以MNA1B,因为 MN平面A1BP,平面A1BP,所以MN平面A1BP,因为MNAM=M,MN,AM平面AMN,所以平面AMN平面A1BP,因为AQ平面A1BP,所以AQ平面AMN,又Q在平面CDD1C1 上,故点Q在线段MN上,所以当 AQMN 时,AQ 最小,因为,所以 AM = , MN =,AN =,所以,所以 Q,M 重合,所以AQ的最小值为,B正确;

对于C,若的外心为E,过E作EH于H,因为,所以,C 错误;

对于D,过A1 作于点O,因为DD1平面,平面,所以DD1,因为 平面所以平面, 在 DD1,D1C1 上取点 A3 ,A2,使得,则,所以若 A1Q,则Q在以O为圆心,2为半径的圆弧上运动,因为 ,所以,则圆弧等于,D正确.故选ABD.

三、填空题

13. -1 【解析】,故可得,

,

,即,整理得,解得.

14.2 【解析】因为,

将原式变形为,通项为,

对应的系数,故得到,系数为或2.故正实数a的值为2.

15. 【解析】函数的对称轴可以表示为在上单调,则,使得,解得,由,得,当时,的最大值为.

16.4 1+(第一空2分,第二空3分)

【解析】不妨设 P 在第一象限,,则,

在 中,,

即.

由,

由,知,又平分,可得出PB是的外角平分线,又,

,

,

当且仅当取得最小值.

故最小值为.

四、解答题

17.【解析】（1）由,得 ,

即,

即,

当 时,,得;

当时,,由正弦定理得,联立. 解得,

故三角形的面积为.

（2）法一：由余弦定理可得:,

由得,当且仅当a=b取等号.

又,即.

即周长的取值范围是（4,6］.

法二:,

中,由正弦定理有,

.

即周长的取值范围是（4,6].

说明:未分cos A=0,扣1分.

18.q【解析】（1）,

,

由勾股定理逆定理,,又平面POC平面ABCD,

又平面平面ABCD=OC,∴CD平面POC,又PO平面POC,

为 AB 的中点,,又 AB,CD 相交,:.PO平面 ABCD,

∵PO平面PAB,∴平面PAB平面ABCD.

（2）如图建立空间直角坐标系O-xyz,则P（0,0,）,D（-1,3,0）,C(l,2,0),

.

设平面OPD的一个法向量为,平面PCD的一个法向量为,

则由可得取得,即,

由可得取,得,

即,

显然二面角O- PD- C为锐角,故二面角O- PD- C的余弦值为.

19.【解析】(1)该选手选择方式二答题,记每轮得分为X,则X可取值为0,20,30,

且,

记预赛得分为Y,

.

所以该选手选择方式二答题晋级的概率为.

(2)①该选手选择方式一答题：

设每轮得分为,则可取值为0,20,

且,

.

设预赛得分为Y1,

则.

②该选手选择方式二答题：

设每轮得分为,则可取值为0,20,30,

且,

.

设预赛得分为Y2,

则.

因为,

所以该选手选择两种方式答题的得分期望相等.

20.【解析】(1)当时,,两边同除后得

,

,

…

,

上式累加得,

又时,满足该式,故.

（2）由,

,

当时,,

当时,

.

21.【解析】(1)法一：由抛物线E：y2=2px(p>0)过点C(l,2),得p=2,.∴抛物线E：y2=4x,

设

∴直线,即,

与联立解得交点,

∴,

当时,,直线AB的方程为,

即,即过定点Q(3,2);

当时,,直线AB过定点Q(3,2).

即直线AB过定点Q(3,2). 

法二：由抛物线过点C (1,2),得p=2,∴抛物线,

设直线,与抛物线方程联立得:,

设,则,又,

∵直线AP过定点C(l,2) , ,

,

,

即对任意都成立,

,即,

∴直线,

即直线AB过定点Q(3,2).

(2)由(l),联立,消去x,

得,

则,

∴当m=1时,面积的最小值为.

22.【解析】(1)由,

①若a0,则在上单调递增;

②若 a<0,令,则 ,

令,则,

在上单调递增,在上单调递减.

(2)有，

证明：由,设

则在(0,+)上单调递增,即在(0,+)上单调递增.

又,

存在,使在单调递减,在上单调递增,

为的极小值点,故.

由,

,

又,

由（1）知a>0时,在(0,+)上单调递增,.