长沙市长郡中学2025届高三数学复习小题精练8

这是一份长沙市长郡中学2025届高三数学复习小题精练8，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．若集合A=xx≤1,B=xlnx<1，则∁RA∩B=（ ）
A．0,1B．0,eC．1,eD．e,+∞
2．设Sn是等比数列an的前n项和，若S3=4,a4+a5+a6=8，则S9S6=（ ）
A．2B．73C．53D．37
3．函数f(x)=ln|x+1||x+1|的部分图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知sinx−y=14,tanxtany=2，则sinx+y=（ ）
A．14B．12C．34D．1
5．若斜率为1的直线l与曲线y=lnx+a和圆x2+y2=12都相切，则实数a的值为（ ）
A．−1B．0C．2D．0或2
6．已知a=ln22，b=ln3e，c=2e2，则（参考数据：ln2≈0.7）（ ）
A．a>b>cB．b>a>cC．b>c>aD．c>a>b
7．设双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，过坐标原点的直线与C交于A,B两点，F1B=2F1A,F2A⋅F2B=4a2，则C的离心率为（ ）
A．2B．2C．5D．7
8．已知三棱锥P−ABC，Q为BC中点，PB=PC=AB=BC=AC=2，侧面PBC⊥底面ABC，则过点Q的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为（ ）
A．π,5π3B．π2,2π3C．2π3,2πD．π,2π
二、多选题
9．已知函数f(x)=cs2x+2sinx，则（ ）
A．f(x)的最小正周期为2πB．f(x)关于直线x=π2对称
C．f(x)关于点π2,0中心对称D．f(x)的最小值为−3
10．袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件A=“取出的球的数字之积为奇数”，事件B=“取出的球的数字之积为偶数”，事件C=“取出的球的数字之和为偶数”，则（ ）
A．PA=15B．PB|C=13
C．事件A与B是互斥事件D．事件B与C相互独立
11．如图所示，圆锥PO中，PO为高，AB为底面圆的直径，圆锥的轴截面是面积等于4的等腰直角三角形，C为母线PA的中点，点M为底面上的动点，且OM⊥AM，点O在直线PM上的射影为H．当点M运动时，下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥P−BCM体积的最大值为43B．线段PB长度是线段CM长度的两倍
C．直线CH一定与直线PA垂直D．H点的轨迹长度为2π
三、填空题
12．设M为△ABC内一点，且AM=12AB+14AC，则△MBC与△ABC的面积之比为 ．
13．已知 a>0，若(x+a)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+⋯+a9(x+1)9，且a5=126，则a= .
14．函数f(x)是定义域为R的奇函数，满足fπ2−x=fπ2+x，且当x∈[0,π)时，f(x)=sinxx2−πx+π，给出下列四个结论：
① f(π)=0；
② π是函数f(x)的周期；
③ 函数f(x)在区间(−1,1)上单调递增；
④ 函数g(x)=f(x)−sin1(x∈[−10,10])所有零点之和为3π.
其中，正确结论的序号是 .
参考答案
1．C
【分析】利用对数函数的性质求解集合B，再利用交集和补集的性质求解即可.
【详解】令lnx<1，解得x∈0,e，即B={x|01，
所以∁RA∩B=x1故选：C
2．B
【分析】S3,S6−S3,S9−S6成等比数列，得到方程，求出S9=28，得到答案.
【详解】由题意得S6−S3=8，S6=S3+8=4+8=12，
因为S3,S6−S3,S9−S6成等比数列，故S6−S32=S3S9−S6，
即82=4S9−12，解得S9=28，
故S9S6=2812=73.
故选：B
3．A
【解析】由f(x)的图象关于直线x=−1对称，排除C、D；当−1【详解】设g(x)=ln|x||x|，
因为g(x)=g(−x)，
所以g(x)的图象关于y轴对称.
所以f(x)的图象关于直线x=−1对称，排除C、D；
当−1所以f(x)<0，排除B.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了利用函数解析式求解图像的问题，解决本类题时，通常是利用函数的单调性、奇偶性、函数值等排除选项.属于较易题
4．C
【分析】运用两角和差的正弦公式，结合同角三角函数关系式中商关系进行求解即可.
【详解】由tanxtany=sinxcsxsinycsy=sinx csycsx siny=2⇒sinx csy=2csx siny，
由sinx−y=sinx csy−csx siny=14⇒2csx siny−csx siny=14⇒csx siny=14，
可得sinx csy=2csx siny=12，
所以sinx+y=sinx csy+csx siny=12+14=34.
故选：C
5．D
【分析】设直线l与曲线y=lnx+a的切点为Px0,y0，先根据导数的几何意义求出y=lnx+a在切点Px0,y0处的切线方程，再根据直线与圆相切和圆心到直线距离的关系列式求解即可．
【详解】设直线l与曲线y=lnx+a的切点为Px0,y0，
由y′=lnx+a′=1x+a，则1x0+a=1，
则x0=1−a，y0=0，即切点为P1−a,0，所以直线l为y=x−1+a，
又直线l与圆x2+y2=12都相切，则有−1+a2=22，解得a=2或a=0．
故选：D．
6．B
【分析】由a=ln22=2ln24=ln44，c=lne2e2考虑构造函数fx=lnxx，利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小即可.
【详解】因为a=ln22=2ln24=ln44， c=lne2e2，
考虑构造函数fx=lnxx，则f′x=1−lnxx2，
当00，函数fx在0,e上单调递增，
当x>e时，f′x<0，函数fx在e,+∞上单调递减，
因为ln2≈0.7，所以e0.7≈2，即e2>e0.72≈4，
所以3<4所以ln33>ln44>lne2e2，即ln33>ln22>lne2e2，
又ln33所以ln3e>ln22>lne2e2，故b>a>c，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于将被比较的数化为结构相似的形式，考虑构造函数利用函数的单调性比较大小.
7．D
【分析】由双曲线的对称性可得F1A=F2B、F1B=F2A且四边形AF1BF2为平行四边形，由题意可得出∠F2BF1，结合余弦定理表示出与a、c有关齐次式即可得离心率.
【详解】
由双曲线的对称性可知F1A=F2B，F1B=F2A，有四边形AF1BF2为平行四边形，
令F1A=F2B=m，则F1B=F2A=2m，
由双曲线定义可知F2A−F1A=2a，故有2m−m=2a，即m=2a，
即F1A=F2B=m=2a，F1B=F2A=4a，
F2A⋅F2B=F2A⋅F2Bcs∠AF2B=2a×4acs∠AF2B=4a2，
则cs∠AF2B=12，即∠AF2B=π3，故∠F2BF1=2π3，
则有cs∠F2BF1=F1B2+F2B2−F1F222F1B⋅F2B=4a2+2a2−2c22×4a×2a=−12，
即20a2−4c216a2=−12，即2016−4e216=−12，则e2=7，由e>1，故e=7.
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的离心率，解题关键是找到关于a、b、c之间的等量关系，本题中结合题意与双曲线的定义得出F1A、F2B与a的具体关系及∠F2BF1的大小，借助余弦定理表示出与a、c有关齐次式，即可得解.
8．A
【分析】连接PQ，QA，OA，设三棱锥P−ABC外接球的球心为O，设过点Q的平面为α，则当OQ⊥α时，此时所得截面的面积最小，当点Q在以O为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，再结合球的截面的性质即可得解.
【详解】连接PQ，QA，由PB=PC=AB=BC=AC=2，
可知：△ABC和△PBC是等边三角形，
设三棱锥P−ABC外接球的球心为O，
所以球心O到平面ABC和平面PBC的射影是△ABC和△PBC的中心F，E，
△PBC是等边三角形，Q为BC中点，
所以PQ⊥BC，又因为侧面PBC⊥底面ABC，侧面PBC∩底面ABC=BC，
所以PQ⊥底面ABC，而AQ⊂底面ABC，因此PQ⊥AQ，所以OFQE是矩形,
△ABC和△PBC是边长为2的等边三角形，
所以两个三角形的高ℎ=22−12×22=3，
在矩形OFQE中，OE=FQ=13ℎ=33．AE=23ℎ=233，连接OA，
所以OA=OE2+EA2=13+43=153，
设过点Q的平面为α，当OQ⊥α时，
此时所得截面的面积最小，该截面为圆形，
OQ=OF2+FQ2=13ℎ2+13ℎ2=23ℎ=23×3=63，
因此圆Q的半径为：OA2−OQ2=159−69=1，所以此时面积为π·12=π，
当点Q在以O为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，面积为：π⋅1532=5π3，
所以截面的面积范围为π,5π3.
故选：A．
【点睛】关键点点睛：几何体的外接球问题和截面问题，考查空间想象能力，难度较大．
9．ABD
【分析】将函数f(x)=cs2x+2sinx可变形为f(x)=−2sinx−122+32，结合函数性质逐项分析计算即可得.
【详解】f(x)=cs2x+2sinx=1−2sin2x+2sinx=−2sinx−122+32，
由y=sinx的最小正周期为2π，故f(x)的最小正周期为2π，故A正确；
f(π−x)=−2sinπ−x−122+32=−2sinx−122+32=fx，
且f(π−x)≠−fx，
故f(x)关于直线x=π2，不关于点π2,0对称，故B正确，C错误；
由f(x)=−2sinx−122+32，且sinx∈−1,1，
故f(x)min=−2×−1−122+32=−3，故D正确.
故选：ABD.
10．AC
【分析】分别求出事件A,B,C的概率，再根据互斥事件和相互独立事件的概率进行判断.
【详解】因为“取出的求的数字之积为奇数”，就是“取出的两个数都是奇数”，
所以PA=C32C62=315=15；故A正确；
“取出的球的数字之积为偶数”就是“取出的两个数不能都是奇数”，
所以PB=1−C32C62=1−315=45；
“取出的两个数之和为偶数”就是“取出的两个数都是奇数或都是偶数”，
所以PC=2×C32C62=25；
A+B表示“取出的两个数的积可以是奇数，也可以是偶数”，所以PA+B=1；
BC表示“取出的两个数的积与和都是偶数”，就是“取出的两个数都是偶数”，
所以PBC=C32C62=15.
因为PB|C=PBCPC =12，故B错误；
因为PA+B=PA+PB，所以A,B互斥，故C正确；
因为PBC≠PB⋅PC，所以B,C不独立，故D错误.
故选：AC
11．BCD
【分析】设圆锥的底面半径为R，高为h，母线长为l，求得l=22和R=ℎ=2，得到点M到平面ABC距离的最大值为12OA=1，结合S△PBC=12S△PAB，可判定A错误；证得AM⊥PM，得到在直角△AMB中，CM的长度是PA的长度的一半，可判定B正确；由AM⊥OH，和OH⊥PA，证得PA⊥CH恒成立，可判定C正确；证得OH⊥HC，得到H点的轨迹为以OC为直径的圆，可判定D正确．
【详解】设圆锥的底面半径为R，高为h，母线长为l，
因为圆锥的轴截面为面积等于4的等腰直角三角形，则其面积S=12PA⋅PB=12l2=4，解得l=22，所以R=ℎ=2．
对于A中，如图所示，由OM⊥AM可知，点M在以OA为直径的圆上，半径为1，
因为OA=R=2，所以点M到平面ABC距离的最大值为12OA=1．
又因为S△PBC=12S△PAB=12×4=2，故三棱锥P−BCM的体积即为三棱锥M−PBC体积，
故体积最大值为13×2×1=23，所以A错误；
对于B中，由PO⊥平面AMB，AM⊂平面AMB，所以AM⊥PO，
又由AM⊥OM，且OM∩PO=O，所以AM⊥平面POM，所以AM⊥PM，
所以在直角三角形AMB中，CM的长度是PA的长度的一半，即为线段PB的长度的一半，所以B正确；
对于C中，因为AM⊥平面POM，且OH⊂平面POM，则AM⊥OH，
又因为OH⊥PM，且PM∩AM=M，则OH⊥平面PAM，
因为PA⊂平面PAM，则OH⊥PA，
由△PAB是等腰直角三角形，可得PO=OA，即△POA为等腰三角形，
连接OC，因为C为PA的中点，故PA⊥OC，
又因为OH∩OC=O，则PA⊥平面OHC，CH⊂平面OHC，所以PA⊥CH恒成立，所以C正确；
对于D中，由C项可知PA⊥平面OHC，又由OH⊥平面PAM，且HC⊂平面PAM，
所以OH⊥HC，过点C且与PA垂直的平面仅有一个，则H点的轨迹为以OC为直径的圆，因为OC=12PA=2，则H点形成的轨迹周长为2π，所以D正确．
故选：BCD.

12．14/0.25
【分析】根据题意结合三点共线的结论确定点M的位置，进而分析运算即可.
【详解】在AC取中点N，
则AM=12AB+14AC=12AB+12AN，
可知点M为BN的中点，
可得S△MBC=12S△NBC=1212S△ABC=14S△ABC，即S△MBCS△ABC=14，
所以△MBC与△ABC的面积之比为14.
故答案为：14.
13．2
【分析】依据题给条件列出关于a的方程，解之即可求得a的值.
【详解】因为(x+a)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+⋯+a9(x+1)9，
又(x+a)9=[(x+1)+a−1]9，展开式通项为Tr+1=C9r(x+1)9−r(a−1)r，
a5=126对应(x+1)5的系数，故得到9−r=5，解得r=4，
其系数为C94(a−1)4=126⇒a=0或a=2.
又a>0，故实数a的值为2.
故答案为：2.
14．① ③ ④
【分析】由fπ2−x=fπ2+x可得f(π)=f0直接计算f0即可判断① ；根据函数f(x)的奇偶性和对称性即可求得周期，从而可判断② ；先判断f(x)在(0,1)的单调性，再根据奇函数关于原点对称的区间单调性相同即可判断③ ；根据对称性以及函数图象交点的个数即可判断④.
【详解】对于①：由fπ2−x=fπ2+x可得f(π)=f0=sin0π=0，故①正确；
对于② ：由fπ2−x=fπ2+x可得f(x)关于直线x=π2对称，
因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以fπ+x=f−x=−fx
所以f2π+x=−fx+π=fx，
所以函数f(x)的周期为2π，故② 不正确；
对于③ ：当00，
y=x2−πx+π=x−π22+π−π24在01−π+π=1，
所以f(x)=sinxx2−πx+π在0所以函数f(x)在区间(−1,1)上单调递增；故③ 正确；
对于④ ：由fπ2−x=fπ2+x可得f(x)关于直线x=π2对称，作出示意图
函数g(x)=f(x)−sin1(x∈[−10,10])所有零点之和即为函数y=fx与y=sin1两个函数图象交点的横坐标之和，当x∈[−π2,3π2]时，两图象交点关于x=π2对称，此时两根之和等于π ，当x∈(3π2,10]时两图象交点关于x=5π2对称，此时两根之和等于5π，当x∈−5π2,−π2时两图象交点关于x=−3π2对称，此时两根之和等于−3π,x∈[−10,−5π2)时两图象无交点 ，
所以函数g(x)=f(x)−sin1(x∈[−10,10])所有零点之和为3π.故④ 正确；
故答案为：① ③ ④
【点睛】求函数零点的方法：画出函数fx的图象，函数fx的图象与x轴交点的个数就是函数fx的零点个数；将函数fx拆成两个函数，ℎx和gx的形式，根据fx=0⇔ℎx=gx，则函数fx的零点个数就是函数y=ℎx和y=gx的图象交点个数；零点之和即为两个函数图象交点的横坐标之和.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
A
C
D
B
D
A
ABD
AC
题号
11









答案
BCD