北京市丰台区2023-2024学年高二下学期期中考试数学（B卷）试卷（Word版附答案）

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第I卷（选择题 共40分）
一、选择题：共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
（1）已知函数，则的导数
（A） （B） （C） （D）
（2）若随机变量，则
（A）0.4 （B）0.5 （C）0.6 （D）0.7
（3）现有甲、乙、丙、丁4人从宫灯、纱灯、吊灯这三种灯笼中任意选购1种，则不同的选购方式有
（A）种 （B）种 （C）种 （D）种
（4）抛掷一颗质地均匀的骰子，事件，事件，则
（A） （B） （C） （D）
（5）若，则
（A）15 （B）16 （C）20 （D）24
（6）某班从3名男同学和4名女同学中选取3人参加班委会选举，要求男女生都有，则不同的选法种数是
（A）60 （B）45 （C）35 （D）30
（7）某次社会实践活动中，甲、乙两班的同学在同一个社区进行民意调查.甲、乙两班人数之比为5：3，甲班女生占甲班总人数的，乙班女生占乙班总人数的.则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为
（A） （B） （C） （D）
（8） 某种新产品的社会需求量与时间存在函数关系.经过一段时间的市场调研，估计社会需求量的市场饱和水平为500万件，且的导函数满足：.若，则函数的图象可能为
（A）①②（B）①③（C）②④ （D）③④
（9）已知定义在R上的函数的导函数分别为且满足，当时，下列结论正确的是
（A） （B）
（C） （D）
（10）已知函数和.若存在，使得 恒成立，则实数a的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题:共5小题，每小题5分，共25分.
（11）用1，2，3，4这四个数字可以组成___个无重复数字的四位数.
（12）已知离散型随机变量的分布列如表所示，
则___，___．
（13）函数的导数___．
（14）已知的展开式中存在常数项，写出一个满足条件的的值：___.
（15）莱布尼茨三角形（如下图）具有很多优美的性质，给出下列四个结论：
①第8行第2个数是；
②；
③当时，中间一项为；
④当n是偶数时，中间的一项取得最小值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最小值.
其中所有正确结论的序号是___.
三、解答题:共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
（16）（本小题14分）
已知函数在处取得极小值5．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）求在区间上的最小值．
（17）（本小题14分）
从4名男生和3名女生中选出4人去参加一项创新大赛.
（Ⅰ）如果从男生和女生中各选2人，那么有多少种选法？
（Ⅱ）如果男生甲和女生乙至少要有1人被选中，那么有多少种选法？
（Ⅲ）如果恰有2人获得了本次比赛的冠军、亚军，那么有多少种获奖方式？
（18）（本小题14分）
为了增加系统的可靠性，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备）.已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉.如果三台设备各自能正常工作的概率都为，它们之间相互不影响，设能正常工作的设备台数为X．
（Ⅰ）求X的分布列；
（Ⅱ）求计算机网络不会断掉的概率．
（19）（本小题14分）
已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求的极值；
（Ⅲ）若关于的方程有两个实数根，直接写出实数的取值范围．
（20）（本小题14分）
某地旅游局对本地区民宿中普通型和品质型两类房间数量进行了调研，随机选取了10家民宿，统计得到各家民宿两类房间数量如下表：
（Ⅰ）若旅游局随机从乙、丙2家民宿中各选取2个房间，求选出的4个房间均为普通型的概率；
（Ⅱ）从这10家中随机选取4家民宿，记其中普通型房间不低于17间的有X家，求X的分布列和数学期望.
（21）（本小题15分）
已知函数．
（Ⅰ）若，求的单调区间；
（Ⅱ）若在区间上单调递增，求实数k的取值范围．

（考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效）
民宿
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
辛
壬
癸
普通型
19
5
4
17
13
18
9
20
10
15
品质型
6
1
2
10
11
10
9
12
8
5