教科版高中物理选择性必修第二册第一章素养培优课(一)带电粒子在有界磁场中的运动学案

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素养培优课(一)　带电粒子在有界磁场中的运动1．掌握几种常见有界磁场的分布特点。2．会分析直线边界、圆形边界磁场中带电粒子的运动轨迹。3．能利用几何知识求解粒子在磁场中做圆周运动的半径。4．会分析粒子在有界磁场中运动的临界、极值问题。 考点1　带电粒子在直线边界匀强磁场中的运动1．单平面边界的磁场问题从单平面边界垂直磁场射入的正、负粒子重新回到边界时的速度大小、速度方向和边界的夹角与射入磁场时相同。2．双平行平面边界的磁场问题带电粒子由边界上P点以如图所示方向进入磁场。(1)当磁场宽度d与轨迹圆半径r满足r≤d 时(如图中的r1)，粒子在磁场中做半圆周运动后从进入磁场时的边界上的Q1点飞出磁场。(2)当磁场宽度d 与轨迹圆半径r 满足r>d 时(如图中的r2)，粒子将从另一边界上的Q2点飞出磁场。【典例1】　如图所示，直线MN上方存在着垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，质量为m、电荷量为－q(q＞0)的粒子1在纸面内以速度v1＝v0从O点射入磁场，其方向与MN的夹角α＝30°；质量为m、电荷量为＋q的粒子2在纸面内以速度v2＝3v0也从O点射入磁场，其方向与MN的夹角β＝60°。已知粒子1、2同时到达磁场边界的A、B两点(图中未画出)，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。求：(1)两粒子在磁场边界上的穿出点A、B之间的距离d；(2)两粒子进入磁场的时间间隔Δt。思路点拨：(1)根据速度方向和粒子的电性画出运动轨迹，利用几何关系求出轨道半径。(2)粒子的运动具有对称性，即进、出磁场时的速度方向和边界的夹角相等。[解析]　(1)粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，有qvB＝mv2r，则r＝mvqB故d＝OA＋OB＝2r1sin 30°＋2r2sin 60°＝4mv0qB。(2)粒子1做圆周运动的圆心角θ1＝5π3粒子2圆周运动的圆心角θ2＝4π3粒子做圆周运动的周期T＝2πrv＝2πmqB粒子1在匀强磁场中运动的时间t1＝θ12πT粒子2在匀强磁场中运动的时间t2＝θ22πT所以Δt＝t1－t2＝πm3qB。[答案]　(1)4mv0qB　(2)πm3qB　(1)要按照“画轨迹，找圆心，求半径(利用几何关系)”的基本思路进行。(2)解题过程中注意对称性的应用。[跟进训练]1．如图所示，在某电子设备中有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。AC、AD两块挡板垂直纸面放置，夹角为90°。一束电荷量为＋q、质量为m的相同粒子，从AD板上距A点为L的小孔P处以不同速率沿垂直于磁场方向射入，速度方向与AD板的夹角为60°，不计粒子的重力和粒子间的相互作用。求：(1)直接打在AD板上Q点的粒子距离A点15L，该粒子运动过程中距离AD最远距离为多少？(2)直接垂直打在AC板上的粒子，其运动速率是多大？[解析]　(1)如图所示，根据已知条件画出粒子的运动轨迹，粒子打在AD板上的Q点，圆心为O1，设粒子运动的轨迹半径为R由几何关系可知2R cos 30°＝45L解得R＝4315L该粒子运动过程中距离AD最远距离为smax＝R－R sin 30°＝2315L。(2)粒子垂直打到AC板，运动轨迹如图所示，圆心为O2，设粒子运动的轨迹半径为r，根据几何关系可得r cos 30°＝L解得r＝233L根据洛伦兹力提供向心力可得qvB＝mv2r解得v＝23qBL3m。[答案]　(1)2315L　(2)23qBL3m 考点2　带电粒子在圆形边界匀强磁场中的运动1．在圆形匀强磁场区域内，沿径向对准磁场圆心射入的粒子一定沿径向射出。如图所示，磁场圆半径为R，粒子轨迹圆半径为r，带电粒子从P点对准磁场圆心O射入，由几何知识容易证明粒子从Q点飞出的速度方向的反向延长线必过磁场圆心O点。2．带电粒子入射方向偏离圆形匀强磁场圆心射入的问题。处理这类问题时一定要分清磁场圆和轨迹圆，并要注意区分轨迹圆的圆心和圆形边界匀强磁场的圆心。甲　　　　　　　　　乙(1)当粒子沿图甲所示轨迹运动时，粒子在磁场中运动时间最长、速度偏转角最大。(2)由图甲看出，在轨迹圆半径和速度偏转角一定的情况下，可实现此偏转的最小磁场圆是以PQ为直径的圆。(3)如图乙所示，由几何知识很容易证明：当r＝mvqB＝R时，相同带电粒子从P点沿纸面内不同方向射入磁场，它们离开磁场时的方向却是平行的。【典例2】　在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示。一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿x轴负方向射入磁场，它恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿y轴正方向飞出。(1)请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷qm；(2)若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B′，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角，求磁感应强度B′多大？此次粒子在磁场中运动所用时间t是多少？思路点拨：(1)粒子沿半径方向进入磁场后，仍会沿着半径方向射出磁场。(2)画出运动轨迹并求出轨道半径是解答本题的关键。[解析]　(1)粒子的运动轨迹如图所示，由左手定则可知，该粒子带负电荷。粒子由A点射入，由C点飞出，其速度方向改变了90°角，则粒子轨迹半径R＝r又qvB＝mv2R，则粒子的比荷qm＝vBr。(2)设粒子从D点飞出磁场，速度方向改变了60°角，故AD弧所对圆心角为60°。由几何关系可知粒子做圆周运动的半径R′＝rtan30°＝3r又R′＝mvqB'，所以B′＝33B粒子在磁场中运动所用时间t＝16T＝16×2πmqB'＝3πr3v。[答案]　(1)负电荷　vBr　(2)33B　3πr3v[跟进训练]2．如图所示，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子从圆周上的M点沿直径MON方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为v1，离开磁场时速度方向偏转90°；若射入磁场时的速度大小为v2，离开磁场时速度方向偏转60°，不计重力，则v1v2为(　　)A．12　　B．33 　C．32　　D．3B　[根据题意做出粒子运动轨迹的圆心如图所示，设圆形磁场区域的半径为R，根据几何关系有第一次的半径r1＝R，第二次的半径r2＝3R，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝mv2r，可得v＝qrBm，所以v1v2＝r1r2＝33，故选B。] 考点3　带电粒子在有界磁场中的临界问题带电粒子在有界匀强磁场中做匀速圆周运动时，带电粒子速度大小的变化，引起带电粒子做圆周运动的半径发生变化。或者随着带电粒子速度方向的变化使带电粒子的运动状态在某一时刻发生变化。找到临界点对应的条件是解决此类问题的突破口。解决此类问题应注意以下结论：(1)刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。(2)当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长、圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动时间越长。(3)当比荷相同，速率v变化时，在匀强磁场中运动的圆心角越大的带电粒子，运动时间越长。【典例3】　如图所示，匀强磁场宽度L＝43 cm，磁感应强度为B＝0.1 T，方向垂直纸面向里，有一质量m＝8×10-25 kg、电荷量q＝5×10-18 C的正离子(不计重力)，以方向垂直磁场的初速度v0从小孔C射入匀强磁场，转过圆心角θ＝60°后从磁场右边界A点射出。(取π≈3)求：(1)离子的初速度v0；(2)离子在磁场中的运动时间；(3)只改变正离子的速度大小，使之无法从右边界射出，求离子速度的最大值(结果保留两位有效数字)。[解析]　(1)由几何关系得r＝Lsinθ＝0.08 m由洛伦兹力提供向心力得qv0B＝mv02r解得v0＝5×104 m/s。(2)离子运动周期为T＝2πrv0＝9.6×10-6 s离子在磁场中的运动时间为t＝θ2πT＝1.6×10-6 s。(3)若离子刚好不从右边界射出，则离子轨迹刚好和右边界相切，由几何关系得离子轨迹半径为R＝L由洛伦兹力提供向心力得qvmB＝mvm2R解得vm≈4.3×104 m/s。[答案]　(1)5×104 m/s　(2)1.6×10-6 s　(3)4.3×104 m/s　(1)带电粒子在有界匀强磁场中做匀速圆周运动的临界问题往往对应着一些特殊的词语，如“恰好”“刚好”“最大”“最小”“最高”“至少”等等，解题时应予以特别关注。(2)画出粒子运动的轨迹并根据几何知识求得此时带电粒子运动的轨道半径往往是求解此类问题的关键。[跟进训练]3．如图所示，在边长为a的正三角形区域内存在着方向垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一个质量为m、电荷量为＋q的带电粒子(重力不计)从AB边的中点O以某一速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与AB边的夹角为60°。若粒子能从AB边穿出磁场，且粒子在磁场中运动的过程中，到AB边有最大距离，则v的大小为(　　)A．3Bqa4m　 B．3Bqa4mC．3Bqa8m　 D．3Bqa8mC　[从AB边以v射出的粒子符合题意的运动轨迹如图所示。由图知2R＝OB·cos 30°，OB＝a2，又有Bqv＝mv2R得v＝3Bqa8m，故C正确。]素养培优练(一)　带电粒子在有界磁场中的运动一、选择题1．如图所示，一半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一质量为m、电荷量为q的正电荷(重力忽略不计)以速度v沿正对着圆心O的方向射入磁场，从磁场中射出时速度方向改变了θ角。磁场的磁感应强度大小为(　　)A．mvqRtanθ2 　 B．mvtanθ2qRC．mvqRsinθ2 　 D．mvqRcosθ2B　[以速度v正对着圆心射入磁场，将背离圆心射出，轨迹圆弧的圆心角为θ，如图所示，由几何关系知轨迹圆半径r＝Rtanθ2，由半径r＝mvqB解得B＝mvtanθ2qR，B正确。]2．(多选)如图所示，在x轴上方存在着垂直于纸面向里的匀强磁场。一个质量为m、电荷量大小为q(不计重力)的带电粒子从坐标原点O处以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与x轴正方向成120°角，若粒子在磁场中运动时到x轴的最大距离为a，则磁感应强度B和该粒子所带电荷的正、负可能是(　　)A．3mv2aq，正电荷 　 B．mv2aq，正电荷C．3mv2aq，负电荷 　 D．mv2aq，负电荷BC　[如图所示，若粒子带正电，则a＝r(1－sin 30°)＝mv2qB，则B＝mv2qa，B正确；若粒子带负电，则a＝r(1＋sin 30°)＝3mv2qB，则B＝3mv2qa，C正确。]3．(2023·全国乙卷)如图所示，一磁感应强度大小为B的匀强磁场，方向垂直于纸面(xOy平面)向里，磁场右边界与x轴垂直。一带电粒子由O点沿x正向入射到磁场中，在磁场另一侧的S点射出，粒子离开磁场后，沿直线运动打在垂直于x轴的接收屏上的P点；SP＝l，S与屏的距离为l2，与x轴的距离为a。如果保持所有条件不变，在磁场区域再加上电场强度大小为E的匀强电场，该粒子入射后则会沿x轴到达接收屏。该粒子的比荷为(　　)A．E2aB2 　B．EaB2 C．B2aE2 　D．BaE2A　[画出带电粒子仅在磁场中运动时的运动轨迹，如图所示。设带电粒子仅在磁场中运动的轨迹半径为r，运动轨迹对应的圆心角为θ，由几何知识得cos θ＝l2l＝12，r－a＝r cos θ，解得r＝2a，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝mv2r，解得r＝2a＝mvqB，在匀强磁场区域加上匀强电场后带电粒子沿x轴运动，分析知，此时粒子受力平衡，则有Eq＝qvB，联立解得qm＝E2aB2，A正确。]4．(多选)如图所示，平面直角坐标系的第Ⅰ象限内有一匀强磁场垂直于纸面向里，磁感应强度为B。一质量为m、电荷量为q的粒子以速度v从O点沿着与y轴夹角为30°的方向进入磁场，运动到A点时速度方向与x轴的正方向相同，不计粒子的重力，则(　　)A．该粒子带正电B．A点与x轴的距离为mv2qBC．粒子由O到A经历时间t＝πm3qBD．运动过程中粒子的速度不变BC　[根据题意作出粒子运动的轨迹如图所示。根据左手定则及曲线运动的条件判断出此粒子带负电，故A错误；设点A与x轴的距离为d，由图可得r－r cos 60°＝d，所以d＝0.5r，而粒子的轨迹半径为r＝mvqB，则得A点与x轴的距离为d＝mv2qB，故B正确；粒子由O运动到A时速度方向改变了60°角，所以粒子轨迹对应的圆心角为θ＝60°，所以粒子运动的时间为t＝θ360°T＝16× 2πmqB＝πm3qB，故C正确；由于粒子的速度的方向在改变，而速度是矢量，所以速度改变了，故D错误。]5．(多选)(2023·全国甲卷)粒子物理研究中使用的一种球状探测装置横截面的简化模型如图所示。内圆区域有垂直纸面向里的匀强磁场，外圆是探测器。两个粒子先后从P点沿径向射入磁场，粒子1沿直线通过磁场区域后打在探测器上的M点。粒子2经磁场偏转后打在探测器上的N点。装置内部为真空状态，忽略粒子重力及粒子间相互作用力。下列说法正确的是(　　)A．粒子1可能为中子B．粒子2可能为电子C．若增大磁感应强度，粒子1可能打在探测器上的Q点D．若增大粒子入射速度，粒子2可能打在探测器上的Q点AD　[由题图可看出粒子1没有偏转，说明粒子1不带电，则粒子1可能为中子，粒子2向上偏转，根据左手定则可知粒子2应该带正电，A正确，B错误；由以上分析可知粒子1为中子，则无论如何增大磁感应强度，粒子1都不会偏转，C错误；粒子2在磁场中洛伦兹力提供向心力有qvB＝mv2r，解得r＝mvqB，可知若增大粒子入射速度，则粒子2的半径增大，粒子2可能打在探测器上的Q点，D正确。故选AD。]6．长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示。磁感应强度为B，板间距离为l，极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子打在极板上，可采用的办法是(　　)A．使粒子的速度v5Bql4mC．使粒子的速度v>BqlmD．使粒子的速度Bql4m