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第二十二章 二次函数单元培优训练（解析版）
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这是一份第二十二章 二次函数单元培优训练（解析版），共28页。
第二十二章 二次函数单元培优训练考试范围：第22章 二次函数 ，共25题； 考试时间：120分钟； 总分：120分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列是二次函数的是（ ）A． B．C． D．2．如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（ ）A． B．或 C． D．3．如图所示，二次函数的图象，则一次函数的图象一定不经过（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．若抛物线(n是常数）的顶点恰好在直线上，则n的值为 （ ）A． B． C．1 D．25．若点，在抛物线上，则，的大小关系是（ ）A． B． C． D．6．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是，汽车刹车后行驶的最远距离为，则a的值为（ ）A． B． C． D．67．抛物线的对称轴是（ ）A． B． C．x=1 D．8．已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（ ）A．或4 B．4或 C．或4 D．或9．已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，以下结论中：①；②；③；④若t为任意实数，则有；⑤若图象经过点时，方程的两根为（），则，其中正确的结论有（ ）A．①②③ B．②③⑤ C．②③④⑤ D．②③④10．在某市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地．如图，自建房占地是边长为的正方形，改建的绿地的是矩形，其中点E在上，点G在的延长线上，且．那么当为多少时，绿地的面积最大？（ ）A． B． C． D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．对于二次函数，当时，y的值为 ．12．已知函数，当 时，它是二次函数．13．已知某抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：那么该抛物线的顶点坐标是 ；当时，总有，则的取值范围是 14．抛物线和轴所围成的封图形内画出一个最大的正方形，使得正方形的一边在轴上，其对边的两个端点在抛物线上，则这个最大正方形的边长为 ．15．如图，二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于C点，则的面积为 ．16．如图，二次函数与x轴的一个交点为，则方程一元二次方程的根是 ．三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为12米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为x米，花圃的面积为米．(1)如果要围成面积为45米的花圃，的长是多少米？(2)当x为________时，花圃的面积最大，最大面积是________18．已知抛物线向右平移个单位长度后得到抛物线．(1)求、的值；(2)写出抛物线的对称轴及顶点坐标．19．飞盘运动是一种老少皆宜的健身项目，只要有一片空旷的场地就能让我们开心地锻炼．某校公益社团购进一批橡胶飞盘进行销售，将所得全部利润用于开展公益活动，已知该橡胶飞盘进价为每个16元，销售中平均每天销售量y（个）与销售单价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示，其中，且x为整数．(1)求出y与x之间的函数表达式；(2)在销售过程中，当每个橡胶飞盘售价为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？20．随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根水管，它喷出的水柱向各个方向沿形状相同的抛物线向外喷水，水流喷出的的高度y（单位米）与水面距离x(单位米）之间的函数解析式为，求喷水池的半径至少是多少？四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）21．二次函数的图象与轴交于两点，已知点在点的左侧，求点和点的坐标．22．函数与直线交于点(1)求，的值；(2)取何值时，二次函数中的随的增大而增大？23． 如图，抛物线经过点A−4,0、，交轴于点．为抛物线在第三象限部分上的一点，作轴于点，交线段于点，连接．(1)求抛物线的表达式；(2)求线段长度的最大值，并求此时点D的坐标；(3)若线段把分成面积比为的两部分，求此时点的坐标．五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）24．已知、分别是关于的一元二次方程与的一个根，且．(1)当，时，求与的值；(2)用只含字母、的代数式表示；(3)当时，函数满足，，，求的取值范围．25．如图1，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且，．(1)试求抛物线的解析式；(2)如图2，点P是第一象限抛物线上的一点，连接．且，试求点P的坐标？(3)如图3，定长为1的线段MN在抛物线的对称轴上上下滑动，连接．记，试问：m是否有最小值？如果有，请求m的最小值；如果没有，请说明理由第二十二章 二次函数单元培优训练考试范围：第22章 二次函数 ，共25题； 考试时间：120分钟； 总分：120分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列是二次函数的是（ ）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题的关键；根据二次函数的定义：一般地，把形如 ，（a、b、c是常数）的函数叫作二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．x为自变量，y为因变量．等号右边自变量的最高次数是2，逐项解答即可【详解】解：A． ，符合二次函数的定义，故该选项符合题意；B．，不符合二次函数的定义，故该选项不符合题意；C． ，不是整式，不符合二次函数的定义，故该选项不符合题意；D． ，不是整式，不符合二次函数的定义，故该选项不符合题意；故选：A．2．如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（ ）A． B．或 C． D．【答案】B【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象，根据图象得出二次函数和一次函数相交于两点的横坐标分别为，1，即可得．【详解】解：根据图象得，二次函数和一次函数相交于两点，两点的横坐标分别为，1，则当时，x的取值范围为或．故选：B．3．如图所示，二次函数的图象，则一次函数的图象一定不经过（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，解答本题的关键是求出、的正负情况，要掌握它们的性质才能灵活解题，此题难度不大．根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出、的正负情况，再由一次函数的性质解答．【详解】解：由图象开口向下可知，由对称轴，得．∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限．故选：B．4．若抛物线(n是常数）的顶点恰好在直线上，则n的值为 （ ）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】本题考查了求抛物线的顶点，点在直线上的意义，由抛物线的顶点式求出顶点为，代入解析式，即可求解；会求抛物线的顶点是解题的关键．【详解】解：由题意得抛物线的顶点为，顶点恰好在直线上，，解得：，故选：C．5．若点，在抛物线上，则，的大小关系是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练的利用二次函数的增减性判断函数值的大小是解本题的关键．由抛物线，对称轴为直线，可得当时，随的增大而减小，再结合，从而可得答案．【详解】解：∵抛物线，对称轴为直线，∴当时，随的增大而减小，，，故选：A．6．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是，汽车刹车后行驶的最远距离为，则a的值为（ ）A． B． C． D．6【答案】C【分析】此题主要考查了求二次函数的最值的问题，根据已知得出顶点式是解题关键．把二次函数化成顶点式，求最值即可．【详解】解：∵，且汽车刹车后行驶的最远距离为，∴∴故选：C．7．抛物线的对称轴是（ ）A． B． C．x=1 D．【答案】D【分析】本题考查二次函数的对称轴，根据二次函数的对称性求二次函数的对称轴即可．【详解】解：令，则解得：，∴ 抛物线的对称轴是，故选D．8．已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（ ）A．或4 B．4或 C．或4 D．或【答案】B【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键．分两种情况讨论：当时，，解得；当时，在，，解得．【详解】解：的对称轴为直线x=2，顶点坐标为，当时，在，函数有最小值，∵y的最小值为，∴，∴；当时，在，当x=−1时，函数有最小值，∴，解得；综上所述：a的值为4或，故选：B．9．已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，以下结论中：①；②；③；④若t为任意实数，则有；⑤若图象经过点时，方程的两根为（），则，其中正确的结论有（ ）A．①②③ B．②③⑤ C．②③④⑤ D．②③④【答案】D【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系，二次函数的图象和性质，根据开口方向，对称轴，与轴的交点位置，判断①，与轴的交点的个数判断②，特殊点判断③，最值判断④，图象法求出一元二次方程的解，判断⑤．【详解】解：∵抛物线开口向上，∴，∵抛物线的对称轴为直线，即，∴，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴，∴，所以①错误；∵物线与x轴有2个交点，∴，所以②正确；∵时，，∴，而，∴，∵，∴，所以③正确；∵时，y有最小值，∴（t为任意实数），即，所以④正确；∵图象经过点时，方程的两根为，∴二次函数与直线的一个交点为，∵抛物线的对称轴为直线，∴二次函数与直线的另一个交点为，即，∴，所以⑤错误．故选：D．10．在某市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地．如图，自建房占地是边长为的正方形，改建的绿地的是矩形，其中点E在上，点G在的延长线上，且．那么当为多少时，绿地的面积最大？（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】此题考查二次函数的应用，关键是根据图形得出函数解析式．设的长为，绿地的面积为，根据题意得出函数解析式进行解答即可．【详解】解：设，则，绿地的面积为，根据题意得：，∵二次项系数为，∴当时，y有最大值72．即当时，绿地面积最大．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．对于二次函数，当时，y的值为 ．【答案】【分析】本题考查求二次函数的函数值，直接把代入二次函数，求出y的值即可．【详解】解：当时，．故答案为：．12．已知函数，当 时，它是二次函数．【答案】1【分析】根据形如的函数是二次函数，以此计算即可．本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次项系数不为零，最高次项的次数是2是解题的关键．【详解】解：∵是关于x的二次函数，∴，且，解得或，且，∴．故答案为：1．13．已知某抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：那么该抛物线的顶点坐标是 ；当时，总有，则的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质进行求解即可，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．【详解】解：∵当和时，，∴抛物线的对称轴为直线，∴由表格可知：该抛物线的顶点坐标是，由表格可知抛物线与轴的一个交点为，∴抛物线与轴的另一个交点为，当时，总有，∴，故答案为：，．14．抛物线和轴所围成的封图形内画出一个最大的正方形，使得正方形的一边在轴上，其对边的两个端点在抛物线上，则这个最大正方形的边长为 ．【答案】/【分析】本题考查了二次函数与四边形的综合问题， 设最大正方形的边长为m，则B，C两点的纵坐标为m，且由对称性可知，B，C两点关于抛物线对称轴对称，进而得出点B的坐标，然后把代入抛物线解析式即可求解即可得出答案．【详解】解：如图：设最大正方形的边长为m，则B，C两点的纵坐标为m，且由对称性可知，B，C两点关于抛物线对称轴对称．∵，∴抛物线的对称轴为直线x=2，∴点B的坐标为：，∵点B在抛物线上，∴，整理得：，解得：（舍去），∴m的值为．故答案为：．15．如图，二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于C点，则的面积为 ．【答案】15【分析】本题考查了二次函数和三角形的基本性质，由二次函数求出、两点坐标，再求出点的坐标，即可求出、的值，然后根据面积公式即可得出答案．求出三点坐标是解题的关键．【详解】解：当时，，解得或3，则A−2,0，，当时，，则，∴，，∴，故答案为：15．16．如图，二次函数与x轴的一个交点为，则方程一元二次方程的根是 ．【答案】【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据图像再坐标系中的数据可求得其对称轴和与x轴的交点，再结合二次函数得x轴交点的意义，即根据抛物线与x轴的交点问题，两交点的横坐标即为方程的解．【详解】解：由图可知二次函数的对称轴为，且与x轴的一个交点为，∴与x轴的另一个交点为，即，则的根为，故答案为： ．三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为12米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为x米，花圃的面积为米．(1)如果要围成面积为45米的花圃，的长是多少米？(2)当x为________时，花圃的面积最大，最大面积是________【答案】(1)5米(2)4；48【分析】本题考查了一元二次方程、二次函数的应用：（1）用总长减去三个宽即为的长，利用长方形的面积公式列出方程求解即可；（2）用总长减去三个宽即为的长，进而表示出长方形面积，求出最值即可．【详解】（1）解：设花圃的宽为x米，则花圃的长为米，根据题意得：，整理得：，解得：，当时，，不符合题意，舍去；当时，，答：的长是5米；（2）解：根据题意得：，根据题意得：，解得：，∵，∴当时，S取得最大值，最大值为48，即当x为4时，花圃的面积最大，最大面积是．故答案为：4；4818．已知抛物线向右平移个单位长度后得到抛物线．(1)求、的值；(2)写出抛物线的对称轴及顶点坐标．【答案】(1)，(2)，【分析】本题主要考查函数图像的平移，熟练掌握“上加下减，左加右减”是解题的关键．（1）根据函数图像平移的性质，得到，即可得到答案；（2）根据顶点式解析式直接回答即可．【详解】（1）解：抛物线向右平移个单位长度，得到的抛物线解析式，即，又，解得，，．（2）解：抛物线的对称轴是，顶点坐标是．19．飞盘运动是一种老少皆宜的健身项目，只要有一片空旷的场地就能让我们开心地锻炼．某校公益社团购进一批橡胶飞盘进行销售，将所得全部利润用于开展公益活动，已知该橡胶飞盘进价为每个16元，销售中平均每天销售量y（个）与销售单价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示，其中，且x为整数．(1)求出y与x之间的函数表达式；(2)在销售过程中，当每个橡胶飞盘售价为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)(2)每个橡胶飞盘售价为24元时，每天销售利润最大，最大利润为320元【分析】本题考查一次函数、二次函数的实际应用：（1）利用待定系数法解答，即可求解；（2）设日销售利润为元，根据题意，列出函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解．【详解】（1）解：设与的函数表达式为．代入点，，得：解得：．与的函数表达式为；（2）解：设日销售利润为元，根据题意得：，，抛物线开口向下，，当时，．答：每个橡胶飞盘售价为24元时，每天销售利润最大，最大利润为320元．20．随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根水管，它喷出的水柱向各个方向沿形状相同的抛物线向外喷水，水流喷出的的高度y（单位米）与水面距离x(单位米）之间的函数解析式为，求喷水池的半径至少是多少？【答案】喷水池的半径至少是3米【分析】本题考查二次函数的实际应用，求得二次函数图象与x轴的交点坐标即可求解．【详解】解：令，由解得（舍去），，∴喷水池的半径至少是3米．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）21．二次函数的图象与轴交于两点，已知点在点的左侧，求点和点的坐标．【答案】点，．【分析】本题主要考查了二次函数的图象，抛物线与轴的交点，令，解一元二次方程即可得到的横坐标，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．【详解】解：令，则，解得：，，∵点在点的左侧，∴点，．22．函数与直线交于点(1)求，的值；(2)取何值时，二次函数中的随的增大而增大？【答案】(1)，(2)【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，一次函数，熟练掌握以上知识点是解题的关键．（1）把已知点代入直线解析式求得，再代入抛物线解析式即可求得；（2）由二次函数的解析式，可求得其对称轴及开口方向，即可求得答案．【详解】（1）解：把代入可得：点的坐标为把代入可得：，；（2）解：由（1）可得，抛物线开口向下，且对称轴为轴，当时，随的增大而增大．23． 如图，抛物线经过点A−4,0、，交轴于点．为抛物线在第三象限部分上的一点，作轴于点，交线段于点，连接．(1)求抛物线的表达式；(2)求线段长度的最大值，并求此时点D的坐标；(3)若线段把分成面积比为的两部分，求此时点的坐标．【答案】(1)(2)线段长度得最大值是，此时的坐标是(3)【分析】（1）设抛物线的表达式为然后把代入求解即可得到答案；（2）求出直线AC的解析式，然后设，，利用两点距离公式表示出，然后利用二次函数的性质求解即可；（3），分和两种情况讨论求解即可得到答案．【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，∴设抛物线的表达式为，将代入表达式，解得，抛物线的表达式为：，即：；（2）解：设直线的表达式为：，将A−4,0代入表达式，得，直线的表达式为：；设，．则；当时，有最大值，为，把代入，得：，，线段长度得最大值是，此时的坐标是；（3）解：根据题意，，当时，有：，解得（舍去）；当时，有：，解得：，（舍去）；综上所述：当时，满足条件．【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合，求二次函数解析式，二次函数的最值，求一次函数解析式，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识．五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）24．已知、分别是关于的一元二次方程与的一个根，且．(1)当，时，求与的值；(2)用只含字母、的代数式表示；(3)当时，函数满足，，，求的取值范围．【答案】(1)，(2)(3)【分析】本题考查了一元二次方程（，，，为常数）的解和性质，同时考查了从结论的反面思考问题的方法和代数式的变形能力．（1）由已知求出，根据方程根的定义将，，的值代入方程即可求解；（2）根据方程根的定义将，的值代入方程消去c求解得到，再利用，消去，即可求出只用字母、表示代数式；（3）将(2)结论代入方程可得，由可得，继而可得，根据的取值范围即可确定的取值范围．【详解】（1）因为，分别是关于的一元二次方程与的一个根，所以，由，则时，得，把，，代入方程组可得，，解得：，，；（2）由（1）中的方程组①②，得：，，由，得，故，所以，从而；（3）把代入（1）中的方程组②，可得，由得，当时，，由得，，由，且，得，整理可得：，，，即，由于在时随的增大而增大，当时，，当时，，即．25．如图1，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且，．(1)试求抛物线的解析式；(2)如图2，点P是第一象限抛物线上的一点，连接．且，试求点P的坐标？(3)如图3，定长为1的线段MN在抛物线的对称轴上上下滑动，连接．记，试问：m是否有最小值？如果有，请求m的最小值；如果没有，请说明理由．【答案】(1)(2)P点坐标为或(3)m有最小值，【分析】本题主要考查二次函数，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．（1）根据待定系数法即可求出函数解析式；（2）根据平行于的直线上两点间的距离，求出的长，根据面积和差列出方程即可求解．（3）根据平行的性质，将平移到上，根据轴对称的性质得出的对称点，根据两点间线段最短，由勾股定理计算即可．【详解】（1）解：由，，得，即，把A，B，C的坐标代入函数解析式，得，解得，抛物线的解析式为；（2）解：作轴交于M点，如图1由，得的解析式为，设P点坐标为．的长为，，；由，得．化简，得，解得，点坐标为或；（3）解：m有最小值，理由如下：在上作，如图2作关于对称轴的对称点，连接，取得最小值为．在中，由勾股定理，得， x18202224y70605040x18202224y70605040
第二十二章 二次函数单元培优训练考试范围：第22章 二次函数 ，共25题； 考试时间：120分钟； 总分：120分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列是二次函数的是（ ）A． B．C． D．2．如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（ ）A． B．或 C． D．3．如图所示，二次函数的图象，则一次函数的图象一定不经过（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．若抛物线(n是常数）的顶点恰好在直线上，则n的值为 （ ）A． B． C．1 D．25．若点，在抛物线上，则，的大小关系是（ ）A． B． C． D．6．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是，汽车刹车后行驶的最远距离为，则a的值为（ ）A． B． C． D．67．抛物线的对称轴是（ ）A． B． C．x=1 D．8．已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（ ）A．或4 B．4或 C．或4 D．或9．已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，以下结论中：①；②；③；④若t为任意实数，则有；⑤若图象经过点时，方程的两根为（），则，其中正确的结论有（ ）A．①②③ B．②③⑤ C．②③④⑤ D．②③④10．在某市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地．如图，自建房占地是边长为的正方形，改建的绿地的是矩形，其中点E在上，点G在的延长线上，且．那么当为多少时，绿地的面积最大？（ ）A． B． C． D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．对于二次函数，当时，y的值为 ．12．已知函数，当 时，它是二次函数．13．已知某抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：那么该抛物线的顶点坐标是 ；当时，总有，则的取值范围是 14．抛物线和轴所围成的封图形内画出一个最大的正方形，使得正方形的一边在轴上，其对边的两个端点在抛物线上，则这个最大正方形的边长为 ．15．如图，二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于C点，则的面积为 ．16．如图，二次函数与x轴的一个交点为，则方程一元二次方程的根是 ．三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为12米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为x米，花圃的面积为米．(1)如果要围成面积为45米的花圃，的长是多少米？(2)当x为________时，花圃的面积最大，最大面积是________18．已知抛物线向右平移个单位长度后得到抛物线．(1)求、的值；(2)写出抛物线的对称轴及顶点坐标．19．飞盘运动是一种老少皆宜的健身项目，只要有一片空旷的场地就能让我们开心地锻炼．某校公益社团购进一批橡胶飞盘进行销售，将所得全部利润用于开展公益活动，已知该橡胶飞盘进价为每个16元，销售中平均每天销售量y（个）与销售单价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示，其中，且x为整数．(1)求出y与x之间的函数表达式；(2)在销售过程中，当每个橡胶飞盘售价为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？20．随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根水管，它喷出的水柱向各个方向沿形状相同的抛物线向外喷水，水流喷出的的高度y（单位米）与水面距离x(单位米）之间的函数解析式为，求喷水池的半径至少是多少？四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）21．二次函数的图象与轴交于两点，已知点在点的左侧，求点和点的坐标．22．函数与直线交于点(1)求，的值；(2)取何值时，二次函数中的随的增大而增大？23． 如图，抛物线经过点A−4,0、，交轴于点．为抛物线在第三象限部分上的一点，作轴于点，交线段于点，连接．(1)求抛物线的表达式；(2)求线段长度的最大值，并求此时点D的坐标；(3)若线段把分成面积比为的两部分，求此时点的坐标．五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）24．已知、分别是关于的一元二次方程与的一个根，且．(1)当，时，求与的值；(2)用只含字母、的代数式表示；(3)当时，函数满足，，，求的取值范围．25．如图1，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且，．(1)试求抛物线的解析式；(2)如图2，点P是第一象限抛物线上的一点，连接．且，试求点P的坐标？(3)如图3，定长为1的线段MN在抛物线的对称轴上上下滑动，连接．记，试问：m是否有最小值？如果有，请求m的最小值；如果没有，请说明理由第二十二章 二次函数单元培优训练考试范围：第22章 二次函数 ，共25题； 考试时间：120分钟； 总分：120分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列是二次函数的是（ ）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题的关键；根据二次函数的定义：一般地，把形如 ，（a、b、c是常数）的函数叫作二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．x为自变量，y为因变量．等号右边自变量的最高次数是2，逐项解答即可【详解】解：A． ，符合二次函数的定义，故该选项符合题意；B．，不符合二次函数的定义，故该选项不符合题意；C． ，不是整式，不符合二次函数的定义，故该选项不符合题意；D． ，不是整式，不符合二次函数的定义，故该选项不符合题意；故选：A．2．如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（ ）A． B．或 C． D．【答案】B【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象，根据图象得出二次函数和一次函数相交于两点的横坐标分别为，1，即可得．【详解】解：根据图象得，二次函数和一次函数相交于两点，两点的横坐标分别为，1，则当时，x的取值范围为或．故选：B．3．如图所示，二次函数的图象，则一次函数的图象一定不经过（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，解答本题的关键是求出、的正负情况，要掌握它们的性质才能灵活解题，此题难度不大．根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出、的正负情况，再由一次函数的性质解答．【详解】解：由图象开口向下可知，由对称轴，得．∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限．故选：B．4．若抛物线(n是常数）的顶点恰好在直线上，则n的值为 （ ）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】本题考查了求抛物线的顶点，点在直线上的意义，由抛物线的顶点式求出顶点为，代入解析式，即可求解；会求抛物线的顶点是解题的关键．【详解】解：由题意得抛物线的顶点为，顶点恰好在直线上，，解得：，故选：C．5．若点，在抛物线上，则，的大小关系是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练的利用二次函数的增减性判断函数值的大小是解本题的关键．由抛物线，对称轴为直线，可得当时，随的增大而减小，再结合，从而可得答案．【详解】解：∵抛物线，对称轴为直线，∴当时，随的增大而减小，，，故选：A．6．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是，汽车刹车后行驶的最远距离为，则a的值为（ ）A． B． C． D．6【答案】C【分析】此题主要考查了求二次函数的最值的问题，根据已知得出顶点式是解题关键．把二次函数化成顶点式，求最值即可．【详解】解：∵，且汽车刹车后行驶的最远距离为，∴∴故选：C．7．抛物线的对称轴是（ ）A． B． C．x=1 D．【答案】D【分析】本题考查二次函数的对称轴，根据二次函数的对称性求二次函数的对称轴即可．【详解】解：令，则解得：，∴ 抛物线的对称轴是，故选D．8．已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（ ）A．或4 B．4或 C．或4 D．或【答案】B【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键．分两种情况讨论：当时，，解得；当时，在，，解得．【详解】解：的对称轴为直线x=2，顶点坐标为，当时，在，函数有最小值，∵y的最小值为，∴，∴；当时，在，当x=−1时，函数有最小值，∴，解得；综上所述：a的值为4或，故选：B．9．已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，以下结论中：①；②；③；④若t为任意实数，则有；⑤若图象经过点时，方程的两根为（），则，其中正确的结论有（ ）A．①②③ B．②③⑤ C．②③④⑤ D．②③④【答案】D【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系，二次函数的图象和性质，根据开口方向，对称轴，与轴的交点位置，判断①，与轴的交点的个数判断②，特殊点判断③，最值判断④，图象法求出一元二次方程的解，判断⑤．【详解】解：∵抛物线开口向上，∴，∵抛物线的对称轴为直线，即，∴，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴，∴，所以①错误；∵物线与x轴有2个交点，∴，所以②正确；∵时，，∴，而，∴，∵，∴，所以③正确；∵时，y有最小值，∴（t为任意实数），即，所以④正确；∵图象经过点时，方程的两根为，∴二次函数与直线的一个交点为，∵抛物线的对称轴为直线，∴二次函数与直线的另一个交点为，即，∴，所以⑤错误．故选：D．10．在某市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地．如图，自建房占地是边长为的正方形，改建的绿地的是矩形，其中点E在上，点G在的延长线上，且．那么当为多少时，绿地的面积最大？（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】此题考查二次函数的应用，关键是根据图形得出函数解析式．设的长为，绿地的面积为，根据题意得出函数解析式进行解答即可．【详解】解：设，则，绿地的面积为，根据题意得：，∵二次项系数为，∴当时，y有最大值72．即当时，绿地面积最大．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．对于二次函数，当时，y的值为 ．【答案】【分析】本题考查求二次函数的函数值，直接把代入二次函数，求出y的值即可．【详解】解：当时，．故答案为：．12．已知函数，当 时，它是二次函数．【答案】1【分析】根据形如的函数是二次函数，以此计算即可．本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次项系数不为零，最高次项的次数是2是解题的关键．【详解】解：∵是关于x的二次函数，∴，且，解得或，且，∴．故答案为：1．13．已知某抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：那么该抛物线的顶点坐标是 ；当时，总有，则的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质进行求解即可，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．【详解】解：∵当和时，，∴抛物线的对称轴为直线，∴由表格可知：该抛物线的顶点坐标是，由表格可知抛物线与轴的一个交点为，∴抛物线与轴的另一个交点为，当时，总有，∴，故答案为：，．14．抛物线和轴所围成的封图形内画出一个最大的正方形，使得正方形的一边在轴上，其对边的两个端点在抛物线上，则这个最大正方形的边长为 ．【答案】/【分析】本题考查了二次函数与四边形的综合问题， 设最大正方形的边长为m，则B，C两点的纵坐标为m，且由对称性可知，B，C两点关于抛物线对称轴对称，进而得出点B的坐标，然后把代入抛物线解析式即可求解即可得出答案．【详解】解：如图：设最大正方形的边长为m，则B，C两点的纵坐标为m，且由对称性可知，B，C两点关于抛物线对称轴对称．∵，∴抛物线的对称轴为直线x=2，∴点B的坐标为：，∵点B在抛物线上，∴，整理得：，解得：（舍去），∴m的值为．故答案为：．15．如图，二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于C点，则的面积为 ．【答案】15【分析】本题考查了二次函数和三角形的基本性质，由二次函数求出、两点坐标，再求出点的坐标，即可求出、的值，然后根据面积公式即可得出答案．求出三点坐标是解题的关键．【详解】解：当时，，解得或3，则A−2,0，，当时，，则，∴，，∴，故答案为：15．16．如图，二次函数与x轴的一个交点为，则方程一元二次方程的根是 ．【答案】【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据图像再坐标系中的数据可求得其对称轴和与x轴的交点，再结合二次函数得x轴交点的意义，即根据抛物线与x轴的交点问题，两交点的横坐标即为方程的解．【详解】解：由图可知二次函数的对称轴为，且与x轴的一个交点为，∴与x轴的另一个交点为，即，则的根为，故答案为： ．三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为12米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为x米，花圃的面积为米．(1)如果要围成面积为45米的花圃，的长是多少米？(2)当x为________时，花圃的面积最大，最大面积是________【答案】(1)5米(2)4；48【分析】本题考查了一元二次方程、二次函数的应用：（1）用总长减去三个宽即为的长，利用长方形的面积公式列出方程求解即可；（2）用总长减去三个宽即为的长，进而表示出长方形面积，求出最值即可．【详解】（1）解：设花圃的宽为x米，则花圃的长为米，根据题意得：，整理得：，解得：，当时，，不符合题意，舍去；当时，，答：的长是5米；（2）解：根据题意得：，根据题意得：，解得：，∵，∴当时，S取得最大值，最大值为48，即当x为4时，花圃的面积最大，最大面积是．故答案为：4；4818．已知抛物线向右平移个单位长度后得到抛物线．(1)求、的值；(2)写出抛物线的对称轴及顶点坐标．【答案】(1)，(2)，【分析】本题主要考查函数图像的平移，熟练掌握“上加下减，左加右减”是解题的关键．（1）根据函数图像平移的性质，得到，即可得到答案；（2）根据顶点式解析式直接回答即可．【详解】（1）解：抛物线向右平移个单位长度，得到的抛物线解析式，即，又，解得，，．（2）解：抛物线的对称轴是，顶点坐标是．19．飞盘运动是一种老少皆宜的健身项目，只要有一片空旷的场地就能让我们开心地锻炼．某校公益社团购进一批橡胶飞盘进行销售，将所得全部利润用于开展公益活动，已知该橡胶飞盘进价为每个16元，销售中平均每天销售量y（个）与销售单价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示，其中，且x为整数．(1)求出y与x之间的函数表达式；(2)在销售过程中，当每个橡胶飞盘售价为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)(2)每个橡胶飞盘售价为24元时，每天销售利润最大，最大利润为320元【分析】本题考查一次函数、二次函数的实际应用：（1）利用待定系数法解答，即可求解；（2）设日销售利润为元，根据题意，列出函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解．【详解】（1）解：设与的函数表达式为．代入点，，得：解得：．与的函数表达式为；（2）解：设日销售利润为元，根据题意得：，，抛物线开口向下，，当时，．答：每个橡胶飞盘售价为24元时，每天销售利润最大，最大利润为320元．20．随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根水管，它喷出的水柱向各个方向沿形状相同的抛物线向外喷水，水流喷出的的高度y（单位米）与水面距离x(单位米）之间的函数解析式为，求喷水池的半径至少是多少？【答案】喷水池的半径至少是3米【分析】本题考查二次函数的实际应用，求得二次函数图象与x轴的交点坐标即可求解．【详解】解：令，由解得（舍去），，∴喷水池的半径至少是3米．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）21．二次函数的图象与轴交于两点，已知点在点的左侧，求点和点的坐标．【答案】点，．【分析】本题主要考查了二次函数的图象，抛物线与轴的交点，令，解一元二次方程即可得到的横坐标，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．【详解】解：令，则，解得：，，∵点在点的左侧，∴点，．22．函数与直线交于点(1)求，的值；(2)取何值时，二次函数中的随的增大而增大？【答案】(1)，(2)【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，一次函数，熟练掌握以上知识点是解题的关键．（1）把已知点代入直线解析式求得，再代入抛物线解析式即可求得；（2）由二次函数的解析式，可求得其对称轴及开口方向，即可求得答案．【详解】（1）解：把代入可得：点的坐标为把代入可得：，；（2）解：由（1）可得，抛物线开口向下，且对称轴为轴，当时，随的增大而增大．23． 如图，抛物线经过点A−4,0、，交轴于点．为抛物线在第三象限部分上的一点，作轴于点，交线段于点，连接．(1)求抛物线的表达式；(2)求线段长度的最大值，并求此时点D的坐标；(3)若线段把分成面积比为的两部分，求此时点的坐标．【答案】(1)(2)线段长度得最大值是，此时的坐标是(3)【分析】（1）设抛物线的表达式为然后把代入求解即可得到答案；（2）求出直线AC的解析式，然后设，，利用两点距离公式表示出，然后利用二次函数的性质求解即可；（3），分和两种情况讨论求解即可得到答案．【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，∴设抛物线的表达式为，将代入表达式，解得，抛物线的表达式为：，即：；（2）解：设直线的表达式为：，将A−4,0代入表达式，得，直线的表达式为：；设，．则；当时，有最大值，为，把代入，得：，，线段长度得最大值是，此时的坐标是；（3）解：根据题意，，当时，有：，解得（舍去）；当时，有：，解得：，（舍去）；综上所述：当时，满足条件．【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合，求二次函数解析式，二次函数的最值，求一次函数解析式，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识．五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）24．已知、分别是关于的一元二次方程与的一个根，且．(1)当，时，求与的值；(2)用只含字母、的代数式表示；(3)当时，函数满足，，，求的取值范围．【答案】(1)，(2)(3)【分析】本题考查了一元二次方程（，，，为常数）的解和性质，同时考查了从结论的反面思考问题的方法和代数式的变形能力．（1）由已知求出，根据方程根的定义将，，的值代入方程即可求解；（2）根据方程根的定义将，的值代入方程消去c求解得到，再利用，消去，即可求出只用字母、表示代数式；（3）将(2)结论代入方程可得，由可得，继而可得，根据的取值范围即可确定的取值范围．【详解】（1）因为，分别是关于的一元二次方程与的一个根，所以，由，则时，得，把，，代入方程组可得，，解得：，，；（2）由（1）中的方程组①②，得：，，由，得，故，所以，从而；（3）把代入（1）中的方程组②，可得，由得，当时，，由得，，由，且，得，整理可得：，，，即，由于在时随的增大而增大，当时，，当时，，即．25．如图1，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且，．(1)试求抛物线的解析式；(2)如图2，点P是第一象限抛物线上的一点，连接．且，试求点P的坐标？(3)如图3，定长为1的线段MN在抛物线的对称轴上上下滑动，连接．记，试问：m是否有最小值？如果有，请求m的最小值；如果没有，请说明理由．【答案】(1)(2)P点坐标为或(3)m有最小值，【分析】本题主要考查二次函数，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．（1）根据待定系数法即可求出函数解析式；（2）根据平行于的直线上两点间的距离，求出的长，根据面积和差列出方程即可求解．（3）根据平行的性质，将平移到上，根据轴对称的性质得出的对称点，根据两点间线段最短，由勾股定理计算即可．【详解】（1）解：由，，得，即，把A，B，C的坐标代入函数解析式，得，解得，抛物线的解析式为；（2）解：作轴交于M点，如图1由，得的解析式为，设P点坐标为．的长为，，；由，得．化简，得，解得，点坐标为或；（3）解：m有最小值，理由如下：在上作，如图2作关于对称轴的对称点，连接，取得最小值为．在中，由勾股定理，得， 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