重庆市2024-2025学年高三上学期开学9月调研测试数学试题

这是一份重庆市2024-2025学年高三上学期开学9月调研测试数学试题，共9页。试卷主要包含了已知向量满足，且，则，已知，则，若函数在上单调递减，则，95，应对生产线进行检修等内容，欢迎下载使用。

数学测试卷共4页，满分150分.考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的准考证号､姓名､班级填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号､姓名､考试科目”与考生本人准考证号､姓名是否一致.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.
3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.函数的最小值为（ ）
A.1 B.2 C.4 D.8
3.已知为虚数单位，若，则（ ）
A. B.
C. D.
4.已知向量满足，且，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知，则（ ）
A. B. C.3 D.4
6.某池塘中饲养了A､B两种不同品种的观赏鱼，假设鱼群在池塘里是均匀分布的.在池塘的东､南､西三个采样点捕捞得到如下数据（单位：尾），若在采样点北捕捞到20尾鱼，则品种A约有（ ）
A.6尾 B.10尾 C.13尾 D.17尾
7.若函数在上单调递减，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知直角的斜边长为2，若沿其直角边所在直线为轴，在空间中旋转形成一个圆锥，则该圆锥体积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9.在实际生产中，通常认为服从正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则，若在外，可以认为生产线是不正常的，已知.某生产线上生产的零件长度服从正态分布（单位：厘米），则（ ）
A.
B.
C.若抽检的10个样本的长度均在内，可以认为生产线正常
D.若抽检的10个样本中有一个零件的长度为0.95，应对生产线进行检修
10.已知曲线，则（ ）
A.将向右平移个单位，可以得到
B.将向左平移个单位，可以得到
C.与在有2个公共点
D.在原点处的切线也是的切线
11.已知为坐标原点，是抛物线的焦点，是上两点，且，则（ ）
A.
B.
C.
D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知等差数列中，，则__________.
13.已知直线和平面与存在位置关系M.若“且M”是“”的充分条件，则M可以是__________.
14.有一个4行4列的表格，在每一个格中分别填入数字0或1，使得4行中所填数字之和恰好是各一个，4列中所填数字之和恰好也是1，2，3，4各一个（如图为其中一种填法），则符合要求的不同填法共有__________种.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
在中，内角的对边分别为，其面积.
（1）若，求；
（2）若，求的最大值，并判断此时的形状.
16.（15分）
如图，三棱锥中，平面是棱上一点，且.
（1）证明：平面；
（2）若，求与平面所成角的正弦值.
17.（15分）
甲､乙两名围机手对弈，比赛实行五局三胜制，第一局通过猜子确定甲执黑先行，其后每局交换先行者，直至比赛结束.己甲先行时他赢下该局的概率为0.6，乙先行时他赢下该局的概率为0.5.
（1）求比赛只进行了三局就结束的概率：
（2）己知甲胜了第一局，求比赛进行局数的期望.
18.（17分）
已知椭圆，直线与椭圆相交于两点，为线段的中点.
（1）设直线的斜率为，已知，求证：；
（2）直线不与坐标轴重合且经过的左焦点，直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程.
19.（17分）
已知数列.
（1）证明：是等比数列；
（2）已知数列.
①求的最大值；
②对任意的正整数，证明：.
2025年普通高等学校招生全国统一考试
9月调研测试卷 数学参考答案
一､单选题
1CBBC ACCD
8题提示：由题意，设内角所对的边为，则有，则该圆锥的体积，设，则在上单调递增，在上单调递减，所以.
二､多选题
9.BCD 10.AC 11.ABC
11题提示：由可知，三点共线，所以直线是过焦点的直线，设其倾斜角为，，所以焦点弦，A正确，，，所以，B正确，，故，C正确，，所以,D错误.
三､填空题
12.3 13.或 14.576
14题提示：显然在符合要求的填法中，应该填入6个数字0和10个数字1，按照下面的顺序填入这6个数字0.
（1）先找到一行并填入3个数字0，选出这样1行共有4种选法，而从该行的4格中选出3个填入数字0，也有种填法.因此这一步共有种不同的填法.
（2）选出一列填入3个数字0，以图为例，可知这一列必为前三列（否则就没有一列的数字之和为4）中的某一列，从而选出这一列共有3种选法.而该列中已经填入了一个数字0，所以填入另外两个数字0有种填法.这一步共有种不同的填法.
（3）当完成前面两步后，最后一个数字0只有4个位置可以选择.
因此，符合要求的不同填法共有种.
四､解答题
15.（13分）
解：（1）由，得.
（2）由得，
所以得最大值为，
此时，
所以（舍去）或，
从而，故是以为直角顶点的等腰直角三角形.
16.（15分）
解：（1）因为，所以，
因为，所以
因为平面所以
又平面，所以平面.
（2）由条件，两两垂直，以方向为轴正方向建系如图，则
设平面的法向量为，则
，即，取
，
故与平面所成角的正弦值为.
17.（15分）
解：（1）比赛只进行三场，则都是甲赢或都是乙赢，
所以概率为.
（2）可取值为
时，则前三场都是甲赢，
时，则可能的情况是
故.
18.（17分）
解：（1）设，
由，得，变形得，
即，故，又，解得，故.
（2）由题意，直线不与轴重合，设直线的方程为，
联立，得.
设，则，
可得.
，则弦的中点的坐标为，
故的方程为.联立，得，
由对称性，不妨设，则，其中.
可得.
由题意，
且，
故，即
代入，得，
解得，故直线的方程为.
19.（17分）
解：（1）由可得，
两式相除可得，又，
故是首项为公比为的等比数列.
（2）由（1）可知，，解得，故.
①，故随的增大而减小，即时的值最大，且最大值.
②.
，当且仅当时取等；
，
其中，当且仅当时取等；
，其中，
故，当且仅当时取等；
故，当且仅当时取等；
由此.任意恒成立，即原不等式成立.采样点
品种A
品种B
东
20
9
南
7
3
西
17
8
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
甲
乙
甲
乙
乙胜
甲
乙
乙
乙
甲胜
甲
甲
乙
甲
甲胜
甲
乙
甲
甲