重庆市南开中学校2024-2025学年高一上学期开学测试数学试题

这是一份重庆市南开中学校2024-2025学年高一上学期开学测试数学试题，文件包含高一入学考试数学试卷pdf、南开中学高一入学考试数学答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共5页， 欢迎下载使用。

1．A 2．C 3．D 4．C 5．A 6．A 7．C 8．C 9．ABC 10．ABD 11．BC
12．答案：16 13．答案： 14．答案：6
15．解：(1)x2－2kx＋k2＋2＝2(1－x)，整理，
得x2－2(k－1)x＋k2＝0，
∵该方程有两个实数根x1，x2，
∴Δ＝4(k－1)2－4k2≥0，
解得k≤，∴实数k的取值范围是k≤.
(2)∵x1，x2是方程x2－2(k－1)x＋k2＝0的两个实数根，
∴x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2，
又|x1＋x2|＝x1x2－6，∴|2(k－1)|＝k2－6，
∵k≤，∴2(k－1)<0，
∴|2(k－1)|＝k2－6可化简为k2＋2k－8＝0，
∴(k－2)(k＋4)＝0，解得k1＝2(不符合题意，舍去)，k2＝－4，
∴k的值为－4.
16．解：(1)y＝＝＝2＋，
因为当x>－1时，函数值y随x的增大而增大，
所以a－2<0，即a<2，
所以a的取值范围是a<2.
(2)因为a＝1，所以y＝＝2－，
因为当x∈[0，2]时，函数值y随x的增大而增大，
所以当x＝0时，y有最小值2－＝1；当x＝2时，y有最大值2－＝，
所以当a＝1，x∈[0，2]时，函数值y的取值范围是[1，]．
17．解：(1)把A(2，c)代入y＝ax2＋bx＋c，得4a＋2b＋c＝c，得b＝－2a，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝－＝－＝1.
(2)由(1)得抛物线的解析式为y＝ax2－2ax＋c，
把点(n，y1)和点(n－2，y2)代入上式，得
y1＝an2－2an＋c，y2＝a(n－2)2－2a(n－2)＋c，
∴y1－y2＝an2－2an＋c－[a(n－2)2－2a(n－2)＋c]＝4a(n－2)，
∵n<2，∴n－2<0，
∴当a>0时，4a(n－2)<0，则y1当a<0时，4a(n－2)>0，则y1>y2.
(3)∵c＝1，
∴抛物线的解析式为y＝ax2－2ax＋1，
当a>0时，即当x＝1时，y有最小值，即a－2a＋1＝，解得a＝；
当a<0时，即当x＝－1时，y有最小值，即a＋2a＋1＝，解得a＝－.
综上所述，a的值为或－.
18．解：(1)∵a＝＝＝＋2，
∴a－2＝，
∴(a－2)2＝5，即a2－4a＋4＝5，∴a2－4a＝1，
∴3a2－12a－1＝3(a2－4a)－1＝3×1－1＝2.
(2)＋＋＋…＋
＝＋＋
＋…＋
＝－1＋－＋－＋…＋－
＝－1＝9.
(3) －< －.理由如下：
∵2025>2024>2023，∴> > ，
∴ －>0, －>0，
∵＝
＝＋，
＝
＝＋，
又 ＋> ＋，
∴>，
∴ －< －.
19．解：(1)由二次函数图象的顶点坐标为(3，－4)，设该二次函数的解析式为y＝a(x－3)2－4，
∵图象经过点(0，5)，∴a(0－3)2－4＝5，
解得a＝1.
∴该二次函数的解析式为y＝(x－3)2－4＝x2－6x＋5.
(2)①当t<3时，最小值为y＝t2－6t＋5，最大值为y＝22－6×2＋5＝－3，
∴－3－(t2－6t＋5)＝9，此时方程无实数解．
②当t≥3时，
∵y＝(x－3)2－4的最小值为－4，当2≤x≤t时，该二次函数的最大值与最小值的差是9，
∴当2≤x≤t时，该二次函数的最大值为9＋(－4)＝5.
∵当x＝2时，y＝－3≠5，
∴当x＝t时，y＝5，
∴t2－6t＋5＝5，
解得t＝0(舍去)或t＝6，
即当t＝6时，二次函数的最大值与最小值的差是9.
(3)如图，函数y＝x2－6x＋5的图象大致如下，
由题意，知点M(2，m)是直线x＝2上的动点，
当x＝2时，y＝－3，此时点M1的坐标为(2，－3)，
由图可知，当m>－3时，函数y＝x2－6x＋5的图象与线段MN只有一个公共点；
∵N(5，－4)，
∴当m＝－4时，图中M2(2，－4)也满足函数y＝x2－6x＋5的图象与线段MN只有一个公共点．
综上所述，m的取值范围为m＝－4或m>－3.