河北省衡水市第二中学校区联考2024-2025学年高三上学期开学数学试题（原卷版+解析版）

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数 学
（时间120分钟，满分150分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】利用一元二次不等式的解法，得到，再利用绝对值不等式的解法，得到，利用集合的运算，即可求解.
【详解】由，得到，所以，
由，得到，所以，得到，
故选：A.
2. 已知等差数列的前n项和为，，，则（ ）
A. B. 7C. 14D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由可求出与公差的关系，再利用等差数列的前项和公式，以及通项公式化简，代入求值即可.
【详解】设等差数列的公差为，由，得，解得，
则，
故选：B.
3. 已知，则在点处切线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出函数的导函数，再把点的横坐标代入求解即可.
【详解】因为，
所以，
所以函数在点处切线的斜率为，
故选：D.
4. 已知，则下列说法正确的有（ ）个
①；②；③；④
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】作差法比较大小，得到①③正确，②错误；通分后得到，分子作差得到，等号取不到,
【详解】对于①，因为，所以，，，
a+cb+c-ab=ab+bc-ab-acb+cb=b-acb+cb>0，故，①正确；
对于②，，，故ca-cb=cb-aab>0，故，②错误；
对于③，，，，
故ab-c-ba-c=a2-ac-b2+bcb-ca-c=a-ba+b-cb-ca-c>0，，③正确；
对于④，，
其中，
当且仅当时，等号成立，但，故等号不成立，
故，故，④错误.
故选：B
5. 已知的定义域为，且对任意的满足：，，，则（ ）
A. B. 0C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】由条件可得函数图象关于成中心对称，再由条件变形可得，分析得到，即得函数周期，据此得解.
【详解】因为，所以函数图象关于成中心对称，
由
可得，
所以，
两式相减可得，
即，
若，即，
代入，
则可得，
因为，故，不可能同时成立，故，函数的周期为，
所以，
故选：C
6. 设函数，若在上单调递增，则a的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】两段函数分别递增列不等式，再取1处的函数值不大于右支函数值，列不等式组求解.
【详解】开口向下，单调递增得出,,
当时，y=aex-lnx,x>1单调递减，不合题意舍，
当a>0，时y=aex-lnx,x>1单调递增,则y'=aex-1x≥0,x>1,
a≥1xex,1a≤xex,tx=xex,t'x=1+xex>0,tx单调递增,
,所以,
所以
,
所以的最小值为2.
故选：B.
7. 已知数列an满足，对，，都有，为数列an的前n项乘积，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依题意，先令，可得，再令，结合，可得，进而判断出数列an是以首项为，公比为的等比数列，最后结合等比数列的通项公式即可求值.
【详解】因为对，，都有，
所以令，有，则有，
令，有，
又因为，所以，
因为，
，且，
所以，即，
所以，
则，所以数列an是以首项为，公比为的等比数列，
所以
，
故选：A.
8. 已知函数有三个零点，则t的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】令，问题等价于函数有三个零点，利用导数研究函数单调性，判断极值的符号，求结论成立的条件.
详解】函数有三个零点，
则有方程在上有三个不等的实数根，显然不符合要求，
令，问题等价于在上有三个不等的实数根，
函数，则的定义域为，有三个零点，
，
设，其中，
①当，即时，在上单调递增，有，所以，单调递增，不合题意；
②当，且，即时，，所以，单调递增，不合题意；
③当，且，即时，设的两根为，，
解得，，
，解得或，，解得，
在和上单调递增，在上单调递减，
因为，所以，，
构造函数，则有，
当时，单调递增；当时，单调递减，
有，所以，即.
取，，
（其中，所以，即，
取，，
（其中，所以，即，
所以在上存在唯一零点，即在上存在唯一零点，
在上存在唯一零点，即在上存在唯一零点，且，
所以时，有三个零点，此时，
即时，函数有三个零点.
故选：D.
【点睛】方法点睛：
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列选项正确的是（ ）
A. 若，则的最小值为
B. 若，则的最小值为
C. 若，，且，则的最小值为2
D. 若，则的最小值为2
【答案】BC
【解析】
【分析】选项A，通过取，即可判断选项A的正误；选项B，利用平方关系得到，再结合条件，利用基本不等式，即可求解；选项C，根据条件，通过变形得到，再利用基本不等式，即可求解；选项D，利用基本不等式取等号的条件，即可判断选项D的正误.
【详解】对于选项A，取，显然满足，此时，所以选项A错误，
对于选项B，因为，
又，所以，所以，
当且仅当，即时取等号，所以，故选项B正确，
对于选项C，因为，得到，所以，
又，所以，得到，
当且仅当，即时取等号，所以选项C正确，
对于选项D，，当且仅当时取等号，
注意到无解，所以，即选项D错误，
故选：BC.
10. 若函数有两个极值点，，且，则a的值可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据函数有两个极值可转化为导函数有两个零点，利用导数判断函数单调性，作出图象，数形结合即可得解.
【详解】由题意，，
令，可得，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以当时，，
又时，，时，，
作出大致图象及，如图，
由图象可知，当时，有两个根，即有两个极值点，
又，所以当时恰好满足，
所以结合图象可知，，
由的单调性可知，a的值可能是，，，不合题意.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：有两解，利用导数研究函数的大致图象，数形结合，特别是注意到且，据此由图象可得取值范围，再结合函数单调性确定可取的值.
11. 已知无穷数列，满足，，，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，的所有可能取值组成的集合为
B. 当是等比数列，且公比时，数列是递减数列
C. 当，且时，数列中有无穷多个项为0，且有无穷多个项不为0
D. 当时，存在，使得数列满足所有项均不为0
【答案】ACD
【解析】
【分析】对A，利用树状图即可得到答案；对B，举反例即可；对CD利用反证法即可证明.
【详解】对于A，考虑树状图分析，如下图所示
故A正确.
对于B，取，则，则不是递减数列，故B错误.
对于C，先证明存在一项为，下面使用反证法证明:
若中不存在一项为，则，.
由于，，故，.
记，则.
.
则.
.
.
以此类推，可得，
又因为为无穷数列，当时，，
矛盾.
故中存在一项为，记第一个为的项为，
由定义可知，
那么.
.
.
以此类推，数列从第项起为，故C正确.
对于D，只需取为无理数即可.例如取
则，.
下面用反证法证明数列不存在的项.
假设存在最小的，使得.
则
又因为.
或者
以此类推，可得，且.
则，，其中
一方面，
可得为有理数.
另一方面，
这与为无理数矛盾，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题B选项关键是举出反例，当，此时，CD选项采用反证法证明即可.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知集合，集合其中是的充分不必要条件，则的取值范围是________________．
【答案】
【解析】
【分析】由条件可得，化简集合，根据集合的包含关系列不等式可求的取值范围.
【详解】因为是的充分不必要条件，
所以，
因为不等式的解集为，
所以，
所以，
所以，
所以的取值范围是.
故答案为：.
13. 函数，若实数满足，则的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】对求导，得到，利用基本不等式得到，，从而有在定义域上单调递增，再根据条得到，从而将问题转化成，即可求解.
【详解】由，得到，
因为，
所以，
因为，得到，所以，
当且仅当，即时取等号，
又，当且仅当，即时取等号，
所以，当且仅当时取等号，所以在定义域上单调递增，
又，所以，
由，得到，
所以，解得，
故答案为：.
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于利用导数和基本不等式得到在定义域上单调递增，根据条件得到，从而将问题转化成求解不等式，再利用单调性，即可求解.
14. 研究发现利用函数的单调性，可以比与的大小，请作出你的结论：________．（用<，=，>填空）
【答案】
【解析】
【分析】先求函数的单调性，然后令函数分别等于与，求出此时的值，然后比较即可.
【详解】已知，得，
显然当x∈0,1时，f'x>0，此时单调递增，
令，解得或
故只需要比较与的大小即可；
构造函数
得
显然当，恒成立，故函数单调递减，
所以，即
故，
显然，
又因为函数在x∈0,1时单调递增，

即.
故填：
【点睛】此题需要利用，去对应自变量的值，然后比较两个值的自变量，比较自变量时，可以构造函数，也可数性结合，利用三角函数线求解.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知为数列的前n项和，，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）由解的方式解出，进而解出；
（2）分类讨论去除绝对值解出即可.
【小问1详解】
因为，且，
当时，，
得，
整理得：，
所以an为首项是，公差为的等差数列，
所以.
【小问2详解】
由，所以当时，，当时，；
所以当，，
当时，，
而，
所以.
16. 已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若恒成立，求a的值．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先求导函数，再分两种情况结合导函数正负讨论函数的单调性；
（2）特殊值缩小参数范围，再根据导函数得出函数单调性得出最小值，再构造函数得出函数单调性及最大值即可求参.
【小问1详解】
,
当时，x∈0,+∞,f'x>0,fx单调递增；
当a>0时，x∈a,+∞,f'x>0,fx单调递增,单调递减.
【小问2详解】
当时，不合题意；
当a>0时，单调递减，x∈a,+∞,f'x>0,fx单调递增，
所以
因为所以
ga=lna+1-a,g'a=1a-1=1-aa,a>0
当00,ga单调递增，当a>1,g'a<0,ga单调递减，
所以，
所以满足，只有，
所以.
【点睛】方法点睛：特殊值缩小参数范围，根据导函数得出函数单调性取得最小值，再构造函数得出函数单调性及最大值即可求参.
17. 已知数列中，，且，为数列的前n项和，，数列是等比数列，，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1），；
（2）数列的前项和为.
【解析】
【分析】（1）由关系证明数列为等差数列，由此可求数列的通项公式，再求数列的通项公式，设数列的公比为，由条件列方程求，，结合等比数列通项公式可得结论.
（2）由（1）可得，利用裂项相消法求数列的前项和.
【小问1详解】
由已知当，时，，，
所以，
又，
所以，
所以，
所以数列为等差数列，公差为，
又，所以，
所以当，时，，
又，
所以，，
设等比数列公比为，
因为，，
所以，，
所以，所以，
【小问2详解】
由（1），
所以，
所以数列的前项和，
所以.
18. （1）求函数的图像在点处的切线方程；
（2）证明：；
（3）已知a，b，c均为正数，且，请证明：．
【答案】（1）；
（2）证明见解析；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义求函数的图像在点处的切线方程；
（2）构造函数，利用导数求最值证明不等式
（3）利用基本不等式证明
【详解】（1）函数，有，即切点坐标为0,1，
由，则切点处切线斜率，
所以函数的图像在点处的切线方程为，即.
（2）设，则，
当时，h'x<0；当时，h'x>0，
有hx在上单调递减，在上单调递增，
，
令，，当时，φ'x<0，
φx在1,+∞上单调递减，有，
即，
所以，有；
（3）已知a，b，c均为正数，且，
，
又，则，
所以，所以．
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
19. 若数集中任意两个元素和的和或差，至少有一个属于该数集，我们就将这种数集称为“数集”．
（1）判断数集是否为“数集”；
（2）已知数集是“数集”，证明：
①；
②．
（3）已知数集是“数集”，现给数集添加个元素：，，，若数集仍是“数集”，证明：．
【答案】（1）数集不是“数集”.
（2）①证明见解析;
②证明见解析; （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用“数集”定义判断即可;
（2）①直接令，就可知，因为，可证得；
②令，显然，故，然后利用不同项大小关系，以及，
可得到，最后得到，然后倒序相加即可；
（3）利用（2）得到的然后得到，
然后求差得到，可以得到，所以任何具有“数集”性质的数集的元素是一个以首项，
为公差的等差数列，然后利用等差数列的性质和公式证明需要结果即可.
【小问1详解】
取，所以此时，,
所以数集不为“数集”.
【小问2详解】
①由题可知，当时，此时有,所以，
又因为，故；
②令，显然，故，
因为，共项均属于数集，
又因为共项均属于数集，
所以有，
所以可以得到，
利用倒序相加可知，
故，证毕.
【小问3详解】
有（2）可知时，，可得，
所以，两式求差可得，
因为，
所以
所以构成了以首项，为公差的等差数列；
同理具有“数集”性质的元素是首项，为公差的等差数列；
所以，
所以，
所以
，证毕.
【点睛】关键点点睛：此题最主要的是找到不同元素之间的联系，找到“数集”的不同元素的关系计算即可，第二问的目的就是找到一些元素之间的关系，然后用于第三问，最终找到元素构成等差数列计算即可.