北师大版八年级数学上册专题3.5位置与坐标章末八大题型总结(培优篇)同步练习(学生版+解析)

这是一份北师大版八年级数学上册专题3.5位置与坐标章末八大题型总结(培优篇)同步练习(学生版+解析)，共26页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc9568" 【题型1 由点的坐标判断象限】 PAGEREF _Tc9568 \h 1
\l "_Tc25692" 【题型2 由坐标轴上点的坐标特征求字母的值】 PAGEREF _Tc25692 \h 2
\l "_Tc10241" 【题型3 由点到坐标轴的距离求坐标】 PAGEREF _Tc10241 \h 2
\l "_Tc30580" 【题型4 由角平分线上点的坐标特征求字母的值】 PAGEREF _Tc30580 \h 2
\l "_Tc9567" 【题型5 由平行于坐标轴的点的坐标特征求字母的值】 PAGEREF _Tc9567 \h 3
\l "_Tc17540" 【题型6 坐标系中点的平移】 PAGEREF _Tc17540 \h 3
\l "_Tc13142" 【题型7 坐标系中图形的平移】 PAGEREF _Tc13142 \h 4
\l "_Tc27982" 【题型8 坐标系中的面积问题】 PAGEREF _Tc27982 \h 5
【题型1 由点的坐标判断象限】
【例1】（2023春·天津南开·八年级统考期末）若M（x,y）满足2xy=1，点M所在的象限是（ ）
A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、四象限D．不能确定
【变式1-1】（2023春·江苏苏州·八年级苏州中学校考期末）已知a−b=1，则在平面直角坐标系中，点Pa,b不可能出现在第 象限．
【变式1-2】（2023春·贵州遵义·八年级校考期中）若点P（m，1）在第二象限内，则点Q（1﹣m，﹣1）在（ ）
A．x轴负半轴上B．y轴负半轴上
C．第三象限D．第四象限
【变式1-3】（2023春·河南南阳·八年级校联考期中）如图，平面直角坐标系中有P、Q两点，其坐标分别为P（4，a）、Q（b，6）．根据图中P、Q两点的位置，判断点（9﹣2b，a﹣6）落在第（ ）象限．
A．一B．二C．三D．四
【题型2 由坐标轴上点的坐标特征求字母的值】
【例2】（2023春·广西贺州·八年级统考期中）若点(m+1,2n−m)在x轴上，且到原点的距离为1，那么mn的值为 ．
【变式2-1】（2023春·河北邢台·八年级校考期中）若点M的坐标为(0，|b|+1)，则下列说法中正确的是（ ）
A．点M在x轴正半轴上B．点M在x轴负半轴上
C．点M在y轴正半轴上D．点M在y轴负半轴上
【变式2-2】（2023春·湖南株洲·八年级统考期末）若把点A(－5m，2m－1)向上平移3个单位后得到的点在x轴上，则点A在( )
A．x轴上B．第三象限C．y轴上D．第四象限
【变式2-3】（2023春·福建莆田·八年级校考期中）已知点A（﹣3，2m﹣1）在x轴上，点B（n+1，4）在y轴上，则2m﹣n＝ ．
【题型3 由点到坐标轴的距离求坐标】
【例3】（2023春·全国·八年级期末）已知点P（x，y）到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，且x+y＞0，xy＜0，则点P的坐标为（ ）
A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（3，﹣2）D．（3，2）
【变式3-1】（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）点A6−2x, x−3在x轴的上方，将点A向上平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度后得到点B，点B到x轴的距离大于点B到y轴的距离，则x的取值范围是 ．
【变式3-2】（2023春·湖北武汉·八年级校联考期中）若点M2−a,3a+6到两坐标轴的距离相等，则点M的坐标（ ）
A．6,−6B．3,3C．−6,6或−3,3D．6,−6或3,3
【变式3-3】（2023春·北京海淀·八年级校考期中）已知点Ma,b在第二象限，点M到x轴的距离等于它到y轴距离的2倍，且点M到两坐标轴的距离之和为9，则点M的坐标为 ．
【题型4 由角平分线上点的坐标特征求字母的值】
【例4】（2023春·江苏泰州·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，点P(a,b)在第一象限的角平分线上，且a、b满足2a+b=9，则点P的坐标为（ ）
A．(1,7)B．(2,2)C．(3,3)D．(9,−9)
【变式4-1】（2023春·天津滨海新·八年级天津市滨海新区塘沽第一中学校考期中）已知点P(5a+1,6a+2)在一、三象限的角平分线上，则a= ．
【变式4-2】（2023春·福建宁德·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，点P（m，3）在第一象限的角平分线上，点Q（2，n）在第四象限角平分线上，则m+n的值为 ．
【变式4-3】（2023春·福建三明·八年级期末）如图，射线OA是第二象限的角平分线，若点B（k，2k＋1）在第二象限内且在射线OA的下方，则k的取值范围是（ ）
A．k<−12B．k<−1C．−12【题型5 由平行于坐标轴的点的坐标特征求字母的值】
【例5】（2023春·安徽滁州·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，已知点A2,1，直线AB与x轴平行，若AB=4，则点B的坐标为 ．
【变式5-1】（2023春·宁夏中卫·八年级统考期中）已知过点A(5−2a,a+2)，B(a−1,4−a)的直线与y轴平行，则a的值为 .
【变式5-2】（2023春·贵州遵义·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(−2,2)，(−2,−4)，点C为线段AB的三等分点，点P(m,2m)在第一象限内，三角形APC的面积为6．则线段AB与y轴的位置关系为 （填“平行”或“垂直”），点P的坐标为 ．
【变式5-3】（2023春·辽宁营口·八年级统考期末）平面直角坐标系中，点A(−5,6)，B(3,−4)，经过点A的直线a与x轴平行，如果点C是直线a上的一个动点，那么当线段BC的长度最短时，点C的坐标为（ ）
A．(6,−3)B．(−4,−5)
C．(3,6)D．(−5,−4)
【题型6 坐标系中点的平移】
【例6】（2023春·湖北鄂州·八年级统考期中）已知△ABC内任意一点P（a，b）经过平移后对应点P1（c，d），已知A（﹣1，2+m）在经过此次平移后对应点A1（2，﹣3+m）．则a+b﹣c﹣d的值为（ ）
A．8+mB．﹣8+mC．2D．﹣2
【变式6-1】（2023春·吉林·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别为A1，1，B−2，0，把线段AB平移后得到线段A'B'，若点A的对应点A'的坐标为4，0，则点B'的坐标为 ．
【变式6-2】（2023春·广东深圳·八年级深圳市高级中学校考期中）在平面直角坐标系中，将点A(a,b)向右平移3单位长度，再向上平移2个单位长度正好与原点重合，那么点A的坐标是（ ）
A．(3,2)B．(3,−2)C．(−3,−2)D．(−3,2)
【变式6-3】（2023春·福建福州·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，将A1,m2，沿着y轴的负方向向下平移2m2+3个单位后得到B点．有四个点M1,−m2−4，N1,−2m2−3，P1,−m2，Q1,−3m2一定在线段AB上的是（ ）
A．点MB．点NC．点PD．点O
【题型7 坐标系中图形的平移】
【例7】（2023春·山东青岛·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A2,1，B1,3，C3,4，将△ABC平移后得到△DEF，若点A的对应点D的坐标是−2,0，则点B的对应点E的坐标是（ ）
A．−1,4B．−2,3C．−3,2D．−4,1
【变式7-1】（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B、C三点的坐标分别为−5,4、−3,0、0,2．

(1)画出三角形ABC；
(2)如图，△A'B'C'是由△ABC经过怎样的平移得到的？
(3)已知点Pa,b为△ABC内的一点，则点P在△A'B'C'内的对应点P'的坐标(______，______).
【变式7-2】（2023春·河北唐山·八年级统考期中）如图，点A,B的坐标分别为(1,2)，(4,0)，将ΔAOB沿x轴向右平移，得到ΔCDE，已知DB=1，则点C的坐标为（ ）
A．(2,2) B．(4,3)C．(3,2)D．(4,2)
【变式7-3】（2023春·广东湛江·八年级校考期中）如图第一象限内有两点P(m−4,n),Q(m,n−3)，将线段PQ平移，使点P、Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是（ ）．
A．(−2,0)B．(0,3)C．(0,3)或(−4,0)D．(0,3)或(−2,0)
【题型8 坐标系中的面积问题】
【例8】（2023春·河南郑州·八年级校考期中）如图，A−2,0、B0,3、C2,4、D3,0，点P在x轴上，直线CP将四边形ABCD面积分成1:2两部分，求OP的长度（ ）．
A．54B．1C．12D．54或12
【变式8-1】（2023春·重庆彭水·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点E8，0，点F0，8，将△OEF向下平移2个单位长度得到△ABC，BC与x轴交于点G，则阴影部分面积是 ．
专题3.5 位置与坐标章末八大题型总结（培优篇）
【北师大版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc9568" 【题型1 由点的坐标判断象限】 PAGEREF _Tc9568 \h 1
\l "_Tc25692" 【题型2 由坐标轴上点的坐标特征求字母的值】 PAGEREF _Tc25692 \h 3
\l "_Tc10241" 【题型3 由点到坐标轴的距离求坐标】 PAGEREF _Tc10241 \h 5
\l "_Tc30580" 【题型4 由角平分线上点的坐标特征求字母的值】 PAGEREF _Tc30580 \h 7
\l "_Tc9567" 【题型5 由平行于坐标轴的点的坐标特征求字母的值】 PAGEREF _Tc9567 \h 8
\l "_Tc17540" 【题型6 坐标系中点的平移】 PAGEREF _Tc17540 \h 11
\l "_Tc13142" 【题型7 坐标系中图形的平移】 PAGEREF _Tc13142 \h 13
\l "_Tc27982" 【题型8 坐标系中的面积问题】 PAGEREF _Tc27982 \h 16
【题型1 由点的坐标判断象限】
【例1】（2023春·天津南开·八年级统考期末）若M（x,y）满足2xy=1，点M所在的象限是（ ）
A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、四象限D．不能确定
【答案】B
【分析】由条件可得xy=12>0,则x,y同号，从而可得答案．
【详解】解：∵2xy=1，
∴xy=12>0,
∴x,y同号，
∴M（x,y）在第一或第三象限，
故选B
【点睛】本题考查了平面直角坐标系内点的坐标问题，求出x、y同号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
【变式1-1】（2023春·江苏苏州·八年级苏州中学校考期末）已知a−b=1，则在平面直角坐标系中，点Pa,b不可能出现在第 象限．
【答案】第二象限
【分析】根据a−b=1得到a=b+1分b＞0,−1＜b＜0,b＜−1计算即可．
【详解】∵a−b=1,
∴a=b+1，
当b＞0时，
得a=b+1＞1＞0，
此时经过第一象限；
当−1＜b＜0时，
得a=b+1＞0，
此时经过第四象限；
当b＜−1时，
得a=b+1＜−1+1＜0，
此时经过第三象限；
故不经过第二象限．
故答案为：第二象限．
【点睛】本题考查了坐标与象限，正确分类是计算判断的关键．
【变式1-2】（2023春·贵州遵义·八年级校考期中）若点P（m，1）在第二象限内，则点Q（1﹣m，﹣1）在（ ）
A．x轴负半轴上B．y轴负半轴上
C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数确定出m＜0，再根据各象限内点的坐标特征解答．
【详解】∵点P（m，1）在第二象限内，
∴m＜0，
∴1﹣m＞0，
∴点Q（1﹣m，﹣1）在第四象限．
故选：D．
【点睛】此题考查各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
【变式1-3】（2023春·河南南阳·八年级校联考期中）如图，平面直角坐标系中有P、Q两点，其坐标分别为P（4，a）、Q（b，6）．根据图中P、Q两点的位置，判断点（9﹣2b，a﹣6）落在第（ ）象限．
A．一B．二C．三D．四
【答案】D
【分析】利用Q，P的位置可得a＜6，b＜4，进而得出9﹣2b＞0，a﹣6＜0，进一步即得答案．
【详解】解：由题意可得：a＜6，b＜4，
则9﹣2b＞0，a﹣6＜0，
故点（9﹣2b，a﹣6）落在第四象限．
故选：D．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中象限内点的坐标符号特点和简单的不等关系的判断，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题关键．
【题型2 由坐标轴上点的坐标特征求字母的值】
【例2】（2023春·广西贺州·八年级统考期中）若点(m+1,2n−m)在x轴上，且到原点的距离为1，那么mn的值为 ．
【答案】0或2
【分析】根据x轴上的点纵坐标为0，以及到原点的距离为1，列方程求解即可．
【详解】解：由题意得，2n−m=0|m+1|=1，
解得，m=0n=0或m=−2n=−1，
∴mn=0或2．
故答案为：0或2．
【点睛】本题考查了坐标与图形，熟练掌握平面直角坐标系中各坐标上点的特征以及各象限点的特征是解本题的关键．
【变式2-1】（2023春·河北邢台·八年级校考期中）若点M的坐标为(0，|b|+1)，则下列说法中正确的是（ ）
A．点M在x轴正半轴上B．点M在x轴负半轴上
C．点M在y轴正半轴上D．点M在y轴负半轴上
【答案】A
【分析】根据坐标轴上点的坐标特征解答，x轴上点的纵坐标为0，y轴上点的横坐标为0．
【详解】解：∵横坐标为0，纵坐标|b|+1>0，
∴点M在y轴正半轴上，
故选：C.
【点睛】本题考查了点的坐标，熟记坐标轴上点的坐标特征是解题的关键．
【变式2-2】（2023春·湖南株洲·八年级统考期末）若把点A(－5m，2m－1)向上平移3个单位后得到的点在x轴上，则点A在( )
A．x轴上B．第三象限C．y轴上D．第四象限
【答案】D
【分析】让点A的纵坐标加3后等于0，即可求得m的值，进而求得点A的横纵坐标，即可判断点A所在象限．
【详解】∵把点A（﹣5m，2m﹣1）向上平移3个单位后得到的点在x轴上，∴2m﹣1+3＝0，解得：m＝﹣1，∴点A坐标为（5，﹣3），点A在第四象限．
故选D．
【点睛】本题考查了点的平移、坐标轴上的点的坐标的特征、各个象限的点的坐标的符号特点等知识点，是一道小综合题．用到的知识点为：x轴上的点的纵坐标为0；上下平移只改变点的纵坐标．
【变式2-3】（2023春·福建莆田·八年级校考期中）已知点A（﹣3，2m﹣1）在x轴上，点B（n+1，4）在y轴上，则2m﹣n＝ ．
【答案】2
【分析】直接利用坐标轴上点的坐标特点得出m，n的值，进而得出答案.
【详解】∵点A（﹣3，2m﹣1）在x轴上，
∴2m﹣1＝0，
解得：m＝12，
∵点B（n+1，4）在y轴上，
∴n+1＝0，
解得：n＝﹣1，
故2m﹣n＝1﹣（﹣1）＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了坐标轴上点的坐标的特点，熟练掌握坐标轴上点的坐标的特点是解决此题的关键.
【题型3 由点到坐标轴的距离求坐标】
【例3】（2023春·全国·八年级期末）已知点P（x，y）到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，且x+y＞0，xy＜0，则点P的坐标为（ ）
A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（3，﹣2）D．（3，2）
【答案】A
【分析】由点P（x，y）到X轴距离为2，到Y轴距离为3，可得x，y的可能的值，由x+y＞0，xy＜0，可得两数异号，且正数的绝对值较大；根据前面得到的结论即可判断点P的坐标．
【详解】解：∵点P（x，y）到x轴距离为2，到y轴距离为3，
∴|x|＝3，|y|＝2，
∴x＝±3，y＝±2；
∵x+y＞0，xy＜0，
∴x＝3，y＝﹣2，
∴P的坐标为（3，﹣2），
【点睛】此题考查直角坐标系中点到坐标轴的距离与坐标的关系，有理数加法乘法法则，正确掌握有理数的加法乘法法则是解题的关键.
【变式3-1】（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）点A6−2x, x−3在x轴的上方，将点A向上平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度后得到点B，点B到x轴的距离大于点B到y轴的距离，则x的取值范围是 ．
【答案】3【分析】先根据平移表示出点B的坐标，再根据点B到x轴的距离大于点B到y轴的距离列不等式求解即可．
【详解】解：∵点A6−2x, x−3在x轴的上方，将点A向上平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度后得到点B，
∴A6−2x−1, x−3+4，即A5−2x, x+1，且x−3>0即x>3，
∴x+1>0，5−2x<0，
∵点B到x轴的距离大于点B到y轴的距离，
∴x+1>5−2x，即x+1>2x−5，解得：x<6，
∴3故答案为3【点睛】本题主要考查了点的平移、点到坐标轴的距离、解不等式、取绝对值等知识点，灵活运用相关知识是解答本题的关键．
【变式3-2】（2023春·湖北武汉·八年级校联考期中）若点M2−a,3a+6到两坐标轴的距离相等，则点M的坐标（ ）
A．6,−6B．3,3C．−6,6或−3,3D．6,−6或3,3
【答案】D
【分析】根据点到两坐标轴的距离相等列出绝对值方程，然后求解即可．
【详解】解：∵点M(2−a,3a+6)到两坐标轴的距离相等，
∴|2−a|=|3a+6|，
∴2−a=3a+6或2−a=−(3a+6)，
解得a=−1或a=−4，
∴点M的坐标为(6,−6)或(3,3)；
故选：D．
【点睛】本题考查了点的坐标的表示，依据题意列出绝对值方程是解题的关键，难点在于绝对值方程的求解．
【变式3-3】（2023春·北京海淀·八年级校考期中）已知点Ma,b在第二象限，点M到x轴的距离等于它到y轴距离的2倍，且点M到两坐标轴的距离之和为9，则点M的坐标为 ．
【答案】−3,6
【分析】根据点到x轴的距离即为纵坐标的绝对值，到y轴的距离即为横坐标的绝对值建立关于a、b的二元一次方程组进行求解即可．
【详解】解：∵点M的坐标为a,b，且点M在第二象限，
∴点M到x轴的距离为b，到y轴的距离为−a，
∴b=−2a−a+b=9，
解得：a=−3b=6，
∴点M的坐标为−3,6，
故答案为：−3,6．
【点睛】本题考查了点到坐标轴的距离，二元一次方程组，第二象限点的坐标特征，熟知点到坐标轴的距离与横纵坐标之间的关系是解题的关键．
【题型4 由角平分线上点的坐标特征求字母的值】
【例4】（2023春·江苏泰州·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，点P(a,b)在第一象限的角平分线上，且a、b满足2a+b=9，则点P的坐标为（ ）
A．(1,7)B．(2,2)C．(3,3)D．(9,−9)
【答案】A
【分析】直接利用在第一、三象限的角平分线上，横纵坐标相等求出a=b，代入2a+b=9中求出a，b的值，进而得出答案．
【详解】解：∵点P(a,b)在第一象限的角平分线上，
∴a=b，
∵2a+b=9，
∴2a+a=9，
∴a=3
∴符合要求的坐标为(3,3)，
【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确得出横纵坐标的关系是解题关键．
【变式4-1】（2023春·天津滨海新·八年级天津市滨海新区塘沽第一中学校考期中）已知点P(5a+1,6a+2)在一、三象限的角平分线上，则a= ．
【答案】−1
【分析】根据第一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等列出方程求解即可．
【详解】解：∵点P(5a+1,6a+2)在一、三象限的角平分线上，
∴5a+1=6a+2，
解得a=−1．
故答案为：−1．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，熟记第一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等是解题的关键．
【变式4-2】（2023春·福建宁德·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，点P（m，3）在第一象限的角平分线上，点Q（2，n）在第四象限角平分线上，则m+n的值为 ．
【答案】1
【分析】根据角平分线上的点到脚的两边距离相等以及第一象限内点的横坐标与纵坐标都是正数求出m，第四象限内点的纵坐标是负数求出n，然后相加计算即可得解．
【详解】解：∵点P（m，3）在第一象限的角平分线上，
∴m=3，
∵点Q（2，n）在第四象限角平分线上，
∴n=﹣2，
∴m+n=3+（﹣2）=1．
故答案为1．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及角平分线上的点到脚的两边距离相等的性质，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
【变式4-3】（2023春·福建三明·八年级期末）如图，射线OA是第二象限的角平分线，若点B（k，2k＋1）在第二象限内且在射线OA的下方，则k的取值范围是（ ）
A．k<−12B．k<−1C．−12【答案】A
【分析】由已知条件得−k>2k+1k<02k+1>0，解不等式组即可得出结果．
【详解】解：由题意得−k>2k+1k<02k+1>0，
解得−12【点睛】本题考查了图形与点的坐标、解一元一次不等式组等知识，根据题意得到关于k的不等式组是解题的关键．
【题型5 由平行于坐标轴的点的坐标特征求字母的值】
【例5】（2023春·安徽滁州·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，已知点A2,1，直线AB与x轴平行，若AB=4，则点B的坐标为 ．
【答案】−2,1或6,1
【分析】根据题意，根据点A2,1，直线AB与x轴平行得到B点的纵坐标与A点纵坐标相同，再结合AB=4，分两种情况讨论：①若B在A点左侧，相当于将A2,1向左数4个单位长度，得到B−2,1；②若B在A点右侧，相当于将A2,1向右数4个单位长度，得到B6,1；从而得到答案
【详解】解：∵在平面直角坐标系中，已知点A2,1，直线AB与x轴平行，
∴ B点的纵坐标与A点纵坐标相同，
∵ AB=4，分两种情况讨论：
①若B在A点左侧，相当于将A2,1向左数4个单位长度，得到B−2,1；
②若B在A点右侧，相当于将A2,1向右数4个单位长度，得到B6,1；
故答案为：−2,1或6,1．
【点睛】本题考查求点的坐标，理解平行于x轴的直线上所有点的纵坐标均相同，再分情况讨论是解决问题的关键．
【变式5-1】（2023春·宁夏中卫·八年级统考期中）已知过点A(5−2a,a+2)，B(a−1,4−a)的直线与y轴平行，则a的值为 .
【答案】2
【分析】由题意可得，直线与y轴平行，也就是这两点的横坐标相等，由此列出含a的方程求解即可.
【详解】解：∵直线AB∥y轴，
∴5-2a=a-1
解得，a=2.
故答案为：2
【点睛】本题考查坐标与图形的性质，掌握与y轴平行的直线的坐标特征是解答此题的关键.
【变式5-2】（2023春·贵州遵义·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(−2,2)，(−2,−4)，点C为线段AB的三等分点，点P(m,2m)在第一象限内，三角形APC的面积为6．则线段AB与y轴的位置关系为 （填“平行”或“垂直”），点P的坐标为 ．
【答案】 平行 （4，8）或（1，2）
【分析】根据点A和点B的坐标可得AB与y轴的位置关系，求出AC的长，根据△APC的面积为6列出关于m的方程，解之即可得到点P坐标．
【详解】解：∵A（-2，2），B（-2，-4），横坐标相等，
∴线段AB与y轴平行，
∵点C是线段AB的三等分点，
∴C（-2，0）或（-2，-2），
∴AC=2或4，
∵点P(m,2m)在第一象限内，三角形APC的面积为6，
∴12×2×m−−2=6或12×4×m−−2=6，
解得：m=4或1，
即点P的坐标为（4，8）或（1，2），
故答案为：平行，（4，8）或（1，2）．
【点睛】本题考查了坐标与图形，解题时要注意三等分点要分情况讨论．
【变式5-3】（2023春·辽宁营口·八年级统考期末）平面直角坐标系中，点A(−5,6)，B(3,−4)，经过点A的直线a与x轴平行，如果点C是直线a上的一个动点，那么当线段BC的长度最短时，点C的坐标为（ ）
A．(6,−3)B．(−4,−5)
C．(3,6)D．(−5,−4)
【答案】A
【分析】根据经过点A的直线a//x轴，可知点C的纵坐标与点A的纵坐标相等，可设点C的坐标(x,3)，根据点到直线垂线段最短，当BC⊥a时，点C的横坐标与点B的横坐标相等，即可得出答案．
【详解】解：如右图所示：
∵a//x轴，点C是直线a上的一个动点，点A(−5,6)，
∴设点C(x,6)，
∵当BC⊥a时，BC的长度最短，点B(3,−4)，
∴x=3，
∴点C的坐标为(3,6)．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中点坐标的确定及垂线段最短，解题的关键是数形结合，掌握平面直角坐标系中确定点坐标的方法．
【题型6 坐标系中点的平移】
【例6】（2023春·湖北鄂州·八年级统考期中）已知△ABC内任意一点P（a，b）经过平移后对应点P1（c，d），已知A（﹣1，2+m）在经过此次平移后对应点A1（2，﹣3+m）．则a+b﹣c﹣d的值为（ ）
A．8+mB．﹣8+mC．2D．﹣2
【答案】A
【分析】由A（-1，2+m）在经过此次平移后对应点A1（2，-3+m），可得△ABC的平移规律为：向右平移3个单位，向下平移5个单位，由此得到结论．
【详解】解：∵A（﹣1，2+m）在经过此次平移后对应点A1（2，﹣3+m），
∴△ABC的平移规律为：向右平移3个单位，向下平移5个单位，
∵点P（a，b）经过平移后对应点P1（c，d），
∴a+3＝c，b﹣5＝d，
∴a﹣c＝﹣3，b﹣d＝5，
∴a+b﹣c﹣d＝﹣3+5＝2，
【点睛】本题考查的是坐标与图形变化-平移，牢记平面直角坐标系内点的平移规律：上加下减、右加左减是解题的关键．
【变式6-1】（2023春·吉林·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别为A1，1，B−2，0，把线段AB平移后得到线段A'B'，若点A的对应点A'的坐标为4，0，则点B'的坐标为 ．
【答案】1，−1
【分析】根据点A到A'确定出平移规律，再根据平移规律列式计算即可得到点B'的坐标即可．
【详解】解：∵A1，1，A'4，0，
∴平移规律为横坐标加3，纵坐标减1，
∵B−2，0，
∴−2+3=1，0−1=−1，
∴点B'的坐标为1，−1．
故答案为：1，−1．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，先确定出平移规律是解题的关键．
【变式6-2】（2023春·广东深圳·八年级深圳市高级中学校考期中）在平面直角坐标系中，将点A(a,b)向右平移3单位长度，再向上平移2个单位长度正好与原点重合，那么点A的坐标是（ ）
A．(3,2)B．(3,−2)C．(−3,−2)D．(−3,2)
【答案】A
【分析】根据“横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减”，即可求解．
【详解】解：∵将点A(a,b))向右平移3单位长度，再向上平移2个单位长度正好与原点重合，
∴a+3=0,b+2=0，
∴a=−3,b=−2，
∴点A的坐标是(−3,−2)．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化−平移，解题的关键是熟记平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【变式6-3】（2023春·福建福州·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，将A1,m2，沿着y轴的负方向向下平移2m2+3个单位后得到B点．有四个点M1,−m2−4，N1,−2m2−3，P1,−m2，Q1,−3m2一定在线段AB上的是（ ）
A．点MB．点NC．点PD．点O
【答案】A
【分析】根据平移的结果结合四个点的坐标进行分析比较即可判断．
【详解】解：解：∵将A1,m2沿着y的负方向向下平移2m2+3个单位后得到B点，
∴B1,−m2−3，
∵m2≥0，
∴−m2−3≤−3，
∴线段AB在y轴右侧，点A在点B上方，且与y轴平行，距离y轴1个单位，
∵−m2−4≤−4，
∴M1,−m2−4不在线段AB上，
∵−2m2−3≤−3，
∴N1,−2m2−3当m=0时，在线段AB上，当m≠0时，不在线段AB上，
∵−3<0，则−m2−3<−m2，且m2≥−m2，
∴P1,−m2一定在线段AB上，
而当−3m2≥−m2−3时，此时0≤m2≤32，此时Q1,−3m2在线段AB上，
当−3m2<−m2−3时，此时m2>32，此时Q1,−3m2不在线段AB上，
∴一定在线段AB上的是P点．
【点睛】本题考查了坐标与图形的变化-平移，不等式的性质的应用，理解题意，建立不等式解题是关键．
【题型7 坐标系中图形的平移】
【例7】（2023春·山东青岛·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A2,1，B1,3，C3,4，将△ABC平移后得到△DEF，若点A的对应点D的坐标是−2,0，则点B的对应点E的坐标是（ ）
A．−1,4B．−2,3C．−3,2D．−4,1
【答案】A
【分析】点A的横坐标减去了4，纵坐标减去了1，所以△ABC的平移方法是：先向左平移4个单位，再向下平移1个单位，即可得到答案．
【详解】解：∵A2,1平移后对应点D的坐标是−2,0，
∴△ABC的平移方法是：先向左平移4个单位，再向下平移1个单位，
∴B点的平移方法与A点的平移方法是相同的，
∴B1,3平移后的坐标是：−3,2．
【点睛】此题主要考查了点的平移规律与图形的平移，关键是掌握平移规律，左右移，纵不变，横减加，上下移，横不变，纵加减．
【变式7-1】（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B、C三点的坐标分别为−5,4、−3,0、0,2．

(1)画出三角形ABC；
(2)如图，△A'B'C'是由△ABC经过怎样的平移得到的？
(3)已知点Pa,b为△ABC内的一点，则点P在△A'B'C'内的对应点P'的坐标(______，______).
【答案】(1)画图见解析，三角形ABC面积：8
(2)先向右平移4个单位，再向下平移3个单位
(3)a+4,b−3
【分析】（1）根据点的坐标画出三角形；
（2）根据点坐标变换的规律确定平移的方式即可．
（3）利用平移方式确定点坐标变换结果即可．
【详解】（1）如图，△ABC即为所求；
（2）∵A、B、C三点的坐标分别为−5,4、−3,0、0,2，A'、B'、C'三点的坐标分别为−1,1、1,−3、4,−1，
∴△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A'B'C'，
（3）∵点Pa,b为△ABC内的一点，
∴点P在△A'B'C'内的对应点P'的坐标是a+4,b−3，
故答案为：a+4,b−3．

【变式7-2】（2023春·河北唐山·八年级统考期中）如图，点A,B的坐标分别为(1,2)，(4,0)，将ΔAOB沿x轴向右平移，得到ΔCDE，已知DB=1，则点C的坐标为（ ）
A．(2,2) B．(4,3)C．(3,2)D．(4,2)
【答案】D
【分析】利用DB=1，B（4，0），得出△AOB沿x轴向右平移了3个单位长度，再利用平移问题点的坐标变化规律求解即可．
【详解】解：∵点B的坐标为（4，0），
∴OB=4，
∵DB=1，
∴OD=3，
∴△AOB沿x轴向右平移了3个单位长度，
∴点C的坐标为：（1+3，2）即（4，2）．
故答案为：D．
【点睛】此题主要考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【变式7-3】（2023春·广东湛江·八年级校考期中）如图第一象限内有两点P(m−4,n),Q(m,n−3)，将线段PQ平移，使点P、Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是（ ）．
A．(−2,0)B．(0,3)C．(0,3)或(−4,0)D．(0,3)或(−2,0)
【答案】A
【分析】设平移后点P、Q的对应点分别是P'、Q'．分两种情况进行讨论：①P'在y轴上，Q'在x轴上；②P'在x轴上，Q'在y轴上．
【详解】解：设平移后点P、Q的对应点分别是P'、Q'．
分两种情况：
①P'在y轴上，Q'在x轴上，
则P'横坐标为0，Q″纵坐标为0，
∵0−(n−3)=−n+3，
∴n−n+3=3，
∴点P平移后的对应点的坐标是(0，3)；
②P'在x轴上，Q'在y轴上，
则P'纵坐标为0，Q'横坐标为0，
∵0−m=−m，
∴m−4−m=−4，
∴点P平移后的对应点的坐标是(−4,0)；
综上可知，点P平移后的对应点的坐标是(0,3)或(−4,0)．
【点睛】此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【题型8 坐标系中的面积问题】
【例8】（2023春·河南郑州·八年级校考期中）如图，A−2,0、B0,3、C2,4、D3,0，点P在x轴上，直线CP将四边形ABCD面积分成1:2两部分，求OP的长度（ ）．
A．54B．1C．12D．54或12
【答案】B
【分析】用分割法求出四边形的面积，分类讨论求出△PDC的面积，再求出PD的值，进而可得OP的值．
【详解】解：作CE⊥x轴于点P，
∵A−2,0、B0,3、C2,4、D3,0，
∴OA=2,OB=3,OE=2,CE=4,OD=3,DE=1，
∴S△ABO=12OA⋅OB=12×2×3=3，
S梯形OECB=12(OB+CE)⋅OE=12×(3+4)×2=7，
S△EDC=12ED⋅CE=12×1×4=2，
S△PCD=12PD⋅CE=12PD×4=2PD，
∴S四边形ABCD=S△ABO+S梯形OECB+S△EDC=3+7+2=12，
∴S△PCD:S四边形ABCD=2PD:12=PD:6，
①当S△PCD:S四边形ABCP=1:2即S△PCD:S四边形ABCD=1:3时，
即PD:6=1:3，解得：PD=2，
∴OP=3−1=1；
②当S四边形ABCP:S△PCD=1:2即S△PCD:S四边形ABCD=2:3时，
即PD:6=2:3，解得：PD=4,，
∴OP=4−3=1；
综上可知OP=1．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，三角形的面积，根据坐标与图形的性质，用分割法求出不规则图形的面积，分类讨论是解本题的关键．
【变式8-1】（2023春·重庆彭水·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点E8，0，点F0，8，将△OEF向下平移2个单位长度得到△ABC，BC与x轴交于点G，则阴影部分面积是 ．
【答案】14
【分析】用ΔEOF的面积减去ΔCOG的面积即可．
【详解】解：∵点E8，0，点F0，8，
∴OE=OF=8，
∵FC=2，CO=GO，
∴CO=GO=6，
∴阴影部分面积是：SΔEOF−SΔCOG= 12×8×8−12×6×6=14．
故答案为：14．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，熟练掌握平移的性质是关键．
【变式8-2】（2023春·湖北随州·八年级统考期末）如图，长方形OABC在平面直角坐标系中，其中A(4,0)，C(0,3)，点E是BC的中点，动点P从O点出发，以每秒1cm的速度沿O−A−B− E运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，那么当x=2秒时，△OPE的面积等于 cm2；当△OPE的面积等于5cm2时，P点坐标为 ．

【答案】 3 103，0或(4,1)
【分析】当x=2秒时，利用三角形面积公式即可求解；第2问分三种情况，分别画出图形，利用三角形的面积公式进行计算解答即可．
【详解】解：由题意得OA=BC=4，OC=AB=3，BE=CE=12BC=2，
当x=2秒时，OP=2，△OPE的面积等于12OP×OC=3；
当△OPE的面积等于5cm2时，分三种情况讨论，
①如图，

当P在OA上时，0∵△OPE的面积等于5，
∴12x·3=5，
解得x=103．
∴P点坐标为103，0；
②当P在AB上时，4
∵△OPE的面积等于5，
∴S矩形OABC−S△AOP−S△OCE−S△EBP=5，
∴4×3−12(4+3−x)×2−12×3×2−12×4×(x−4)=5，
解得x=5．
∴AP=5−4=1，
∴P点坐标为4，1；
③当P在BE上时，7
∴124+3+2−x×3=5，
解得x=173，不合题意，舍去．
综上可知，当△OPE的面积等于5cm2，P点坐标为103，0或4，1
故答案为：3；103，0或4，1．
【点睛】本题考查了坐标与图形，长方形的性质和三角形的面积公式的应用，一元一次方程的应用，分类讨论是解题的关键．
【变式8-3】（2023春·全国·八年级期末）平面直角坐标系中，已知A（2，4），B（-3．-2），C（x，-2）