北师大版八年级数学上册专题4.1函数【八大题型】同步练习(学生版+解析)

这是一份北师大版八年级数学上册专题4.1函数【八大题型】同步练习(学生版+解析)，共35页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc10596" 【题型1 函数的相关概念识别】 PAGEREF _Tc10596 \h 1
\l "_Tc24174" 【题型2 点与函数图象的关系】 PAGEREF _Tc24174 \h 2
\l "_Tc18766" 【题型3 求自变量的取值范围】 PAGEREF _Tc18766 \h 3
\l "_Tc32613" 【题型4 描点法画函数的图象】 PAGEREF _Tc32613 \h 3
\l "_Tc31466" 【题型5 从图象中获取信息】 PAGEREF _Tc31466 \h 6
\l "_Tc26927" 【题型6 确定实际问题中的函数关系式】 PAGEREF _Tc26927 \h 7
\l "_Tc3408" 【题型7 动点问题的函数图象】 PAGEREF _Tc3408 \h 8
\l "_Tc24528" 【题型8 判断函数的大致图象】 PAGEREF _Tc24528 \h 10
【知识点1 函数的概念】
一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
注意：要判断一个关系式是不是函数，首先看这个变化过程中是否只有两个变量，其次看每一个x的值是否对应唯一确定的y值．
【题型1 函数的相关概念识别】
【例1】（2023春·吉林长春·八年级校联考期中）下列关于变量x和y的关系式：y=x,2x2−y=0,y2=x,2x−y=2，其中y是x的函数的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式1-1】（2023春·河北廊坊·八年级统考期末）高师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，金额随着数量的变化而变化，则下列判断正确的是（ ）

A．金额是自变量B．单价是自变量
C．6.48和18是常量D．金额是数量的函数
【变式1-2】（2023春·辽宁辽阳·八年级辽阳市第一中学校联考期中）下列曲线中能表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2023春·浙江台州·八年级统考期末）台州市2023年中考体育排球项目考试的评分标准如下表：
现有两种说法：①t是m的函数；②m是t的函数．下列判断正确的是（ ）
A．①对，②错B．①错，②对C．①对，②对D．①错，②错
【知识点2 求函数的值】
当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．
函数表达式中只有两个变量，给定一个变量的值，将其代入函数表达式即可求另一个变量的值，即给自变量的值可求函数值，给函数值可求自变量的值．
【题型2 点与函数图象的关系】
【例2】点P(a,b)在函数y=2x+3的图象上，则代数式−4a+2b的值等于 ．
【变式2-1】下列各点在函数y＝3x+2的图象上的是( )
A．(1，1)B．(﹣1，﹣1)C．(﹣1，1)D．(0，1)
【变式2-2】下列函数的图象，一定经过原点的是（ ）
A．y=2xB．y=x2−1C．y=5x2−3xD．y=−3x+7
【变式2-3】根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值为3或-3时，输出的y值相等，则a等于（ ）
A．﹣9B．﹣3C．9D．3
【题型3 求自变量的取值范围】
【例3】（2023春·全国·八年级专题练习）下列函数自变量x的取值范围错误的是( )
A．y＝－2x2＋1中，x取全体实数
B．y＝1x+1 中，x取不等于－1的实数
C．y＝x−2中，x取大于或等于2的实数
D．y＝1x+3中，x取大于或等于－3的实数
【变式3-1】（2023春·甘肃酒泉·八年级校考期中）函数y=x−9中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞0B．x≥0C．x＞9D．x≥9
【变式3-2】（2023春·北京延庆·八年级统考期末）函数y=xx−3的自变量x的取值范围是（ ）
A．x=0B．x≠0C．x=3D．x≠3
【变式3-3】（2023春·山东烟台·八年级统考期末）函数y=13x+1自变量x的取值范围是 ．
【知识点3 函数的图象】
把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图像，用图像表示的函数关系，更为直观和形象．
【题型4 描点法画函数的图象】
【例4】（2023春·北京西城·八年级北京市第一六一中学校考期中）函数问题：
(1)作出y与x的函数y=2x的图象
①自变量x的取值范围是____________；
②列表并画出函数图象：
③当自变量x的值从1增加到2时，则函数y的值增加了____________．
(2)在一个变化的过程中，两个变量x与y之间可能是函数关系，也可能不是函数关系：
下列各式中， y是x的函数的是____________．
①x+y=1； ②x+y=1； ③xy=1； ④x2+y2=1；
【变式4-1】（2023春·广东广州·八年级校考期中）在平面直角坐标系中画出函数y=−x+3的图象．在图象上标出横坐标为−4的点A，并写出它的坐标；
【变式4-2】（2023春·浙江·八年级期末）已知函数y=2x2−1
（1）填写下列表格．
（2）并在给定的直角坐标系中用描点法画出函数y=2x2−1的图像．
【变式4-3】（2023春·山西·八年级统考期末）我们知道用描点法可以画出函数图象，这种方法是探究未知函数图象变化规律的一个重要方法．下面是通过描点法画图探究函数y=x+2图象变化规律的过程．
1下表是y与x的几组对应值，请完成表格：
2根据上表中的数据，在平面直角坐标系xOy中描出对应的点，并用平滑的曲线画出该函数的图象；
3根据图象，写出两条该函数具有的性质．
【题型5 从图象中获取信息】
【例5】（2023春·黑龙江大庆·八年级校联考期中）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，根据图象信息解答下列问题：

(1)甲车的速度是
(2)乙车用了 小时到达B城；
(3)求乙车出发后多少时间追上甲车？
(4)求甲车出发多少时间，两车相距50千米？
【变式5-1】（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期中）小明家、学校、小艾家依次在同一条笔直的公路旁．一天放学后，小明到家发现错拿小艾作业本，于是返回并归还作业本．小明先从家跑步到学校找小艾，发现小艾回家后又跑到小艾家，然后骑共享单车返回，小明与自己家的距离y（米）与小明从家出发的时间x（分）之间的函数关系如图所示，下列结论中不正确的是（ ）

A．小明在学校停留了10分钟B．小艾家离学校600米
C．小明跑步速度为每分钟180米D．小明骑共享单车的速度为每分钟200米
【变式5-2】（2023春·山东青岛·八年级青岛大学附属中学校考期中）为了增强抗旱能力，保证粮食丰收，某村今年新建了一个蓄水池，这个蓄水池安装了两个进水管和一个出水管（两个进水管的进水速度相同）．一个进水管和一个出水管的进出水速度如图1所示，某天0点到6点（至少打开一个水管），该蓄水池的蓄水量如图2所示，并给出以下三个论断：①0点到1点只进水，不出水；②1点到4点不进水，不出水；③4点到6点只出水，不进水，则一定正确的论断是 ．
【变式5-3】（2023春·北京昌平·八年级统考期末）甲乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息，已知甲先出发3秒；在跑步过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与乙出发的时间x（秒）之间的函数关系如图所示．
(1)甲的速度为______米/秒，乙的速度为______米/秒；
(2)离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点______米；
(3)乙到达终点时，甲距离终点还有______米；
(4)甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是：______秒＜x＜______秒．
【题型6 确定实际问题中的函数关系式】
【例6】（2023春·山东威海·八年级统考期末）某油箱容量为60 L的汽车，加满汽油后行驶了100 Km时，油箱中的汽油大约消耗了15，如果加满汽油后汽车行驶的路程为x Km，邮箱中剩油量为y L，则y与x之间的函数解析式和自变量取值范围分别是（ ）
A．y=0.12x，x＞0B．y=60﹣0.12x，x＞0C．y=0.12x，0≤x≤500D．y=60﹣0.12x，0≤x≤500
【变式6-1】（2023春·福建厦门·八年级统考期末）一个水库的水位在最近的10小时内将持续上涨．表二记录了3小时内5个时间点对应的水位高度，其中t表示时间，y表示对应的水位高度．根据表中的数据，请写出一个y关于t的函数解析式合理预估水位的变化规律．该函数解析式是： ．（不写自变量取值范围）
【变式6-2】（2023春·广东广州·八年级统考期末）现有下面两种移动电话计费方式：
(1)以x（单位：分钟）表示通话时间，y（单位：元）表示通话费用，分别就两种移动电话计费方式写出y关于x的函数解析式．
(2)求出如何选择这两种计费方式更省钱．
【变式6-3】（2023春·辽宁锦州·八年级统考期末）某剧院的观众席的座位为扇形，且按下列方式设置：
（1）按照上表所示的规律，当x每增加1时，y如何变化？．
（2）写出座位数y与排数x之间的解析式．
（3）按照上表所示的规律，某一排可能有90个座位吗？说说你的理由．
【题型7 动点问题的函数图象】
【例7】（2023春·广东深圳·八年级统考期中）王警察周六在一个半圆形的广场附近巡逻，从圆心O出发，按图1中箭头所示的方向，依次走完线段OA、半圆弧AB和线段BO．沿途中王警察遇到了一位问路的游客停下来交谈了2min．在整个巡逻过程中，王警察始终保持速度不变，最后回到出发点．王警察离出发点的直线距离s（m）与时间t（min）之间的关系如图2所示，以下选项中正确的是（ ）

A．广场的半径是50米B．a=2π
C．王警察的速度为100m/minD．王警察返回起点的时间为2π+6
【变式7-1】（2023春·广东湛江·八年级统考期末）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形ABCD的周长是 ．

【变式7-2】（2023春·福建三明·八年级统考期中）如图1，在△ABC中，点P从顶点C出发，以1cm/s的速度沿C—A匀速运动到点A．图2是点P运动时线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，曲线两端点的高度相同，则△ABC的面积是（ ）

A．5B．6C．7D．8
【变式7-3】（2023春·山东青岛·八年级青岛大学附属中学校考期中）已知动点P以每秒2cm的速度沿图1的边框按从B→C→D→E→F→A的路径移动，相应的△ABP的面积ycm2与时间x（秒）之间的关系如图2中的图象所示．其中AB=4cm，则c= ，当x= 时，△ABP的面积是10cm2；

【题型8 判断函数的大致图象】
【例8】（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级校考期末）如图所示，半径为2的圆和边长为5的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过的时间为t，圆与正方形重叠部分(阴影部分)的面积为S，则S与t的函数关系式的大致图象为（ ）
A． B． C．D．
【变式8-1】（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级校考期末）一组管道如图1所示，其中四边形ABCD是矩形，O是AC的中点，管道由AB，BC，CD，DA，OA，OB，OC，OD组成，在BC的中点M处放置了一台定位仪器．一个机器人在管道内匀速行进，对管道进行检测．设机器人行进的时间为x，机器人与定位仪器之间的距离为y，表示y与x的函数关系的图像大致如图2所示，则机器人的行进路线可能为（ ）
A．A→O→DB．B→O→DC．A→D→OD．A→B→O
【变式8-2】（2023春·北京海淀·八年级校考期中）如图，点E为平行四边形ABCD边上的一个动点，并沿
个数t
t≥48
44≤t≤47
40≤t≤43
36≤t≤39
32≤t≤35
分值m
10
9
8
7
6
个数t
28≤t≤31
24≤t≤27
20≤t≤23
16≤t≤19
12≤t≤15
分值m
5
4
3
2
1
x
…
−2
−1
0
1
2
…
y
…
…
x
…
−3
−2
−1
0
1
2
3
…
y
…
…
x
…
−2
−1
0
1
2
…
y=2x2−1
…
7
1
7
…
x
−2
−1
0
1
2
3
···
y
0
2
3
5
···
方式一
方式二
月租费（元/月）
58
88
本地通话费（元/分钟）
0.2
0.1
排数（x）
1
2
3
4
……
座位数（y）
50
53
56
59
……
专题4.1 函数【八大题型】
【北师大版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc10596" 【题型1 函数的相关概念识别】 PAGEREF _Tc10596 \h 1
\l "_Tc24174" 【题型2 点与函数图象的关系】 PAGEREF _Tc24174 \h 4
\l "_Tc18766" 【题型3 求自变量的取值范围】 PAGEREF _Tc18766 \h 5
\l "_Tc32613" 【题型4 描点法画函数的图象】 PAGEREF _Tc32613 \h 7
\l "_Tc31466" 【题型5 从图象中获取信息】 PAGEREF _Tc31466 \h 12
\l "_Tc26927" 【题型6 确定实际问题中的函数关系式】 PAGEREF _Tc26927 \h 17
\l "_Tc3408" 【题型7 动点问题的函数图象】 PAGEREF _Tc3408 \h 19
\l "_Tc24528" 【题型8 判断函数的大致图象】 PAGEREF _Tc24528 \h 22
【知识点1 函数的概念】
一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
注意：要判断一个关系式是不是函数，首先看这个变化过程中是否只有两个变量，其次看每一个x的值是否对应唯一确定的y值．
【题型1 函数的相关概念识别】
【例1】（2023春·吉林长春·八年级校联考期中）下列关于变量x和y的关系式：y=x,2x2−y=0,y2=x,2x−y=2，其中y是x的函数的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据函数的定义进行逐一判断即可：对于两个变量x和y，对于x的每个确定的值，y都有唯一的值与之对应，那么y就叫做x的函数．
【详解】解：y=x，2x2−y=0符合函数的定义；
y2=x对于每一个正数x，y都有两个值与之对应，y不是x的函数，
2x−y=2对于每一个xx>1，y都有两个值与之对应，y不是x的函数，
故选B．
【点睛】本题主要考查了函数的定义，熟知函数的定义是解题的关键．
【变式1-1】（2023春·河北廊坊·八年级统考期末）高师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，金额随着数量的变化而变化，则下列判断正确的是（ ）

A．金额是自变量B．单价是自变量
C．6.48和18是常量D．金额是数量的函数
【答案】B
【分析】根据函数的定义依次判断．
【详解】解：单价是自变量，金额和数量是变量，金额是数量的函数，只有B正确,
【点睛】此题考查了函数的定义，在一个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，此时y是x的函数，x是自变量，熟记定义是解题的关键．
【变式1-2】（2023春·辽宁辽阳·八年级辽阳市第一中学校联考期中）下列曲线中能表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的定义：一个变化的过程中，有两个变量，因变量随着自变量的变化而变化，对于每一个确定的自变量，都有唯一确定的因变量与之对应，进行判断即可．
【详解】解：A、部分x的值对应多个y的值，不是函数，不符合题意；
B、部分x的值对应多个y的值，不是函数，不符合题意；
C、部分x的值对应多个y的值，不是函数，不符合题意；
D、x的值与y的值一一对应，是函数，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查函数的定义．熟练掌握函数的定义是解题的关键．
【变式1-3】（2023春·浙江台州·八年级统考期末）台州市2023年中考体育排球项目考试的评分标准如下表：
现有两种说法：①t是m的函数；②m是t的函数．下列判断正确的是（ ）
A．①对，②错B．①错，②对C．①对，②对D．①错，②错
【答案】B
【分析】根据函数的定义，可直接得到答案．
【详解】解：题目中有两个变量t与m，对于每一个确定的t值，m都有唯一确定的值与其对应，所以m是t的函数；对于每一个确定的m值，t没有唯一确定的值与其对应，所以t不是m的函数．
【点睛】本题主要考查函数的定义（在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于每一个确定的x值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数），牢记函数的定义是解题的关键．
【知识点2 求函数的值】
当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．
(2)函数表达式中只有两个变量，给定一个变量的值，将其代入函数表达式即可求另一个变量的值，即给自变量的值可求函数值，给函数值可求自变量的值．
【题型2 点与函数图象的关系】
【例2】点P(a,b)在函数y=2x+3的图象上，则代数式−4a+2b的值等于 ．
【答案】6
【分析】根据已知条件可得b−2a=3，代入代数式即可求解．
【详解】解：∵点P(a,b)在函数y=2x+3的图象上，
∴2a+3=b
即b−2a=3
∴−4a+2b =2b−2a=2×3=6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了求函数关系式，代数式求值，熟练掌握函数的定义是解题的关键．
【变式2-1】下列各点在函数y＝3x+2的图象上的是( )
A．(1，1)B．(﹣1，﹣1)C．(﹣1，1)D．(0，1)
【答案】B
【详解】A、把（1，1）代入y=3x+2得：左边=1，右边=3×1+2=5，左边≠右边，故本选项错误；
B、把（-1，-1）代入y=3x+2得：左边=-1，右边=3×(-1)+2=-1，左边=右边，故本选项正确；
C、把（-1，1）代入y=3x+2得：左边=1，右边=3×(-1)+2=-1，左边≠右边，故本选项错误；
D、把（0，1）代入y=3x+2得：左边=1，右边=3×0+2=2，左边≠右边，故本选项错误．
故选B.
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，点的坐标满足函数关系式的点一定在函数图象上．
【变式2-2】下列函数的图象，一定经过原点的是（ ）
A．y=2xB．y=x2−1C．y=5x2−3xD．y=−3x+7
【答案】A
【分析】函数的图象经过原点就是x=0时，y=0．
【详解】解：A、x≠0，所以不经过原点，故错误；
B、若x=0，则y=-1．所以不经过原点．故错误；
C、若x=0，则y=5×0-3×0=0．所以经过原点．故正确；
D、若x=0，则y=7．所以不经过原点．故错误．
【点睛】主要考查函数图象上点的坐标特征．函数图象上的点的横纵坐标满足函数的解析式.本题属于基础题.
【变式2-3】根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值为3或-3时，输出的y值相等，则a等于（ ）
A．﹣9B．﹣3C．9D．3
【答案】B
【分析】把x=3与x=−3代入程序中计算，根据y值相等即可求出a的值．
【详解】解：当x=3时，由程序图可知y=3×3−a2=9−a2，
当x=−3时，由程序图可知y=(−3)2+a=9+a，
∵输出的y值相等，
∴9−a2=9+a，解得a=−3．
【点睛】此题考查了函数值和代数式求值的知识，弄清程序中的关系式和理解自变量取值范围是解本题的关键．
【题型3 求自变量的取值范围】
【例3】（2023春·全国·八年级专题练习）下列函数自变量x的取值范围错误的是( )
A．y＝－2x2＋1中，x取全体实数
B．y＝1x+1 中，x取不等于－1的实数
C．y＝x−2中，x取大于或等于2的实数
D．y＝1x+3中，x取大于或等于－3的实数
【答案】D
【详解】A、函数是y=2x2，x的取值范围是全体实数，正确；
B、根据分式有意义的条件得，x+1≠0，解得x≠-1，正确；
C、由算术平方根x-2≥0，解得x≥2，正确；
D、根据算术平方根和分式的意义，x+3＞0，解得x＞-3，错误；
故选D．
【变式3-1】（2023春·甘肃酒泉·八年级校考期中）函数y=x−9中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞0B．x≥0C．x＞9D．x≥9
【答案】D
【分析】根据算术平方根的性质，被开方数大于等于0，列不等式求解．
【详解】解：根据题意得，x-9≥0
∴x≥9
故选：D．
【变式3-2】（2023春·北京延庆·八年级统考期末）函数y=xx−3的自变量x的取值范围是（ ）
A．x=0B．x≠0C．x=3D．x≠3
【答案】D
【分析】根据分式有意义的条件即可得到答案．
【详解】解：当x−3≠0，即x≠3时，xx−3有意义，
即函数y=xx−3的自变量x的取值范围是x≠3，
故选：D
【点睛】此题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
【变式3-3】（2023春·山东烟台·八年级统考期末）函数y=13x+1自变量x的取值范围是 ．
【答案】x≠−1
【分析】根据分式有意义的条件可进行求解．
【详解】解：由题意得：3x+1≠0，
∴x≠−1；
故答案为x≠−1．
【点睛】本题主要考查函数的自变量及分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
【知识点3 函数的图象】
把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图像，用图像表示的函数关系，更为直观和形象．
【题型4 描点法画函数的图象】
【例4】（2023春·北京西城·八年级北京市第一六一中学校考期中）函数问题：
(1)作出y与x的函数y=2x的图象
①自变量x的取值范围是____________；
②列表并画出函数图象：
③当自变量x的值从1增加到2时，则函数y的值增加了____________．
(2)在一个变化的过程中，两个变量x与y之间可能是函数关系，也可能不是函数关系：
下列各式中， y是x的函数的是____________．
①x+y=1； ②x+y=1； ③xy=1； ④x2+y2=1；
【答案】(1)①全体实数；②4，2，0，2，4；图见解析；③2
(2)①③
【分析】（1）①根据y=2x求出x的取值范围即可；
②根据解析式填出列表，并在坐标系中描出各点，画出函数图象即可；
③把自变量x的值从1增加到2时，代入函数解析式中求解即可；
（2）根据函数的关系式的定义来求解即可．
【详解】（1）解：①在函数y=2x中，x的取值范实为全体实数，
故答案为：全体实数；
②列表如下：
函数y=2x变形为y=2x或y=−2x，画图如下：
③当x=1时，y=2，当x=2时，y=4，
所以当自变量x的值从1增加到2时，则函数y的值增加了2；
（2）解：在①x+y=1，②x+y=1，③xy=1，④x2+y2=1中，
①③中对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，②④中对于x的每一个值，y都有两个值与它对应，所以①③中y是x的函数，②④中y不是x的函数．
故答案为：①③．
【点睛】本题主要考查了函数关系式，自变量取值范围，函数图象的画法，理解相关知识是解答关键．
【变式4-1】（2023春·广东广州·八年级校考期中）在平面直角坐标系中画出函数y=−x+3的图象．在图象上标出横坐标为−4的点A，并写出它的坐标；
【答案】见解析，−4,7
【分析】先列表，再在坐标系内描点，再连线即可．
【详解】解：列表如下：
点A坐标−4,7，
描点并连线：
【点睛】本题考查的是利用描点法画函数的图形，掌握列表，描点，连线画函数的图象是解本题的关键．
【变式4-2】（2023春·浙江·八年级期末）已知函数y=2x2−1
（1）填写下列表格．
（2）并在给定的直角坐标系中用描点法画出函数y=2x2−1的图像．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据函数表达式，将给定的x值代入计算，从而填表；
（2）根据表格中的数据，描点，再用平滑的曲线连接即可．
【详解】解：（1）当x=0时，y=-1；当x=1时，y=1，
填表如下：
（2）如图所示：
【点睛】本题考查了函数的图像，求函数值，属于基础题，解题的关键是画图时注意要用平滑的曲线连接各点．
【变式4-3】（2023春·山西·八年级统考期末）我们知道用描点法可以画出函数图象，这种方法是探究未知函数图象变化规律的一个重要方法．下面是通过描点法画图探究函数y=x+2图象变化规律的过程．
1下表是y与x的几组对应值，请完成表格：
2根据上表中的数据，在平面直角坐标系xOy中描出对应的点，并用平滑的曲线画出该函数的图象；
3根据图象，写出两条该函数具有的性质．
【答案】（1）1，2；（2）见解析；（3）答案不唯一，例如：该函数自变量x的取值范围是x≥−2；当x≥−2时，y随x的增大而增大等．
【分析】（1）把x=-1，2代入y=x+2求出y的值即可求解；
（2）用描点法画出函数的图像；
（3）根据函数图像的特征写出两条即可．
【详解】解：1完成表格如下：
2画出的图象如答图所示．
3答案不唯一，例如：该函数自变量x的取值范围是x≥−2；
当x≥−2时，y随x的增大而增大等．
【点评】本题考查函数的图象及性质；利用所学函数知识探索新的函数性质，综合运用描点法．
【题型5 从图象中获取信息】
【例5】（2023春·黑龙江大庆·八年级校联考期中）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，根据图象信息解答下列问题：

(1)甲车的速度是
(2)乙车用了 小时到达B城；
(3)求乙车出发后多少时间追上甲车？
(4)求甲车出发多少时间，两车相距50千米？
【答案】(1)60km/h
(2)3
(3)1.5小时
(4)56小时、1.25小时、3.75小时或256小时
【分析】（1）根据函数图象可知甲车5小时行驶了300公里；
（2）根据函数图象可知甲车出发1小时后乙车出发，用了3小时到达；
（3）根据题意求出乙车的速度，再列方程解答即可；
（4）根据题意列方程解答即可．
【详解】（1）解：由题意得，甲车的速度是：300÷5=60(km/h)．
故答案为：60km/h；
（2）由题意可知，乙车用了3小时到达B城；
故答案为：3；
（3）乙车的速度为：300÷3=100(km/h)，
设乙车出发后x小时追上甲车，根据题意得：
100x=60(x+1)，
解得x=1.5，
答：乙车出发后1.5小时追上甲车；
（4）设甲车出发y小时，两车相距50千米，根据题意得：
60x=50或60x−100(x−1)=50或100(x−1)−60x=50或60x=300−50，
解得x=56或1.25或3.75或256．
答：甲车出发56小时、1.25小时、3.75小时或256小时时，甲、乙两车相距50千米．
【点睛】本题考查函数的图象，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
【变式5-1】（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期中）小明家、学校、小艾家依次在同一条笔直的公路旁．一天放学后，小明到家发现错拿小艾作业本，于是返回并归还作业本．小明先从家跑步到学校找小艾，发现小艾回家后又跑到小艾家，然后骑共享单车返回，小明与自己家的距离y（米）与小明从家出发的时间x（分）之间的函数关系如图所示，下列结论中不正确的是（ ）

A．小明在学校停留了10分钟B．小艾家离学校600米
C．小明跑步速度为每分钟180米D．小明骑共享单车的速度为每分钟200米
【答案】A
【分析】首先根据图象可知：随着时间的推移，第一个水平线段为小明在学校停留的时间，第二个水平线段为小明在小艾家停留时间，再结合速度等于路程除以时间，即可作答．
【详解】解：随着时间的推移，第一个水平线段为小明在学校停留的时间，第二个水平线段为小明在小艾家停留时间，
即小明用了10分钟就从家到了学校，在学校停留10分钟，再出发花了5分钟去小艾家，在小艾家停留5分钟，从小艾家离开，花了9分钟返回家，
结合图象：小明在学校停留了10分钟，小明家距离学校为1200米，
小明跑步速度为：120010=120（米/分钟），
小艾家离学校距离：1800−1200=600（米），
小明骑共享单车的速度为：18009=200（米/分钟），
故错误的为C项，
【点睛】本题主要考查了函数图象的应用，解题的关键是理解图象所包含的信息．
【变式5-2】（2023春·山东青岛·八年级青岛大学附属中学校考期中）为了增强抗旱能力，保证粮食丰收，某村今年新建了一个蓄水池，这个蓄水池安装了两个进水管和一个出水管（两个进水管的进水速度相同）．一个进水管和一个出水管的进出水速度如图1所示，某天0点到6点（至少打开一个水管），该蓄水池的蓄水量如图2所示，并给出以下三个论断：①0点到1点只进水，不出水；②1点到4点不进水，不出水；③4点到6点只出水，不进水，则一定正确的论断是 ．
【答案】①
【分析】根据图1可知进水速度小于出水速度，且出水速度为进水速度的2倍，结合图2每一个时间段的蓄水量增减变化即可判断各时间段内进水管和出水管的打开情况．
【详解】解：由图1可知，每小时每个出水管的水速是每个进水管水速的两倍；
由图2可知，0点到1点打开两个进水管，没有打开出水管；
1点到4点蓄水量没有变化，说明打开两个进水管和一个出水管或者进水管和出水管都不打开；
因某天0点到6点（至少打开一个水管），故1点到4点打开两个进水管和一个出水管；
4点到6点打开一个进水管和一个出水管．
故答案为：①．
【点睛】本题主要考查了函数图象的分析能力和函数与实际问题结合的应用，能够根据图象的性质结合给出的数据准确分析出图象中各段代表的实际意义是解题的关键．
【变式5-3】（2023春·北京昌平·八年级统考期末）甲乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息，已知甲先出发3秒；在跑步过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与乙出发的时间x（秒）之间的函数关系如图所示．
(1)甲的速度为______米/秒，乙的速度为______米/秒；
(2)离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点______米；
(3)乙到达终点时，甲距离终点还有______米；
(4)甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是：______秒＜x＜______秒．
【答案】(1)4，5
(2)60
(3)68
(4)44，89．
【分析】①由12÷3=4（米/秒）即得甲的速度，乙速度为400÷80=5（米/秒）；②求出乙用12秒追上甲，即甲、乙两人第一次相遇，即知此时距离起点5×12=60（米）；③列式计算可得乙到达终点时，甲距离终点还有68米；④乙用12秒追上甲，再过32秒两人相距32米，故从x>44时起，两人距离超过32米，当乙用80秒到达终点时，甲距离终点还有68米，甲再跑36米，两人相距32米，故当x<89时，两人距离超过32米，即可得到答案．
【详解】（1）由图象可知，乙出发时，甲，乙之间距离为12米，即甲先出发3秒跑了12米，
∴甲的速度为12÷3=4（米/秒），
∵乙80秒到达终点，
∴乙的速度为400÷80=5（米/秒），
故答案为：4，5；
（2）∵125−4=12（秒），
∴乙出发后，用12秒追上甲，即甲、乙两人第一次相遇，
此时距离起点5×12=60（米），
故答案为：60；
（3）∵400−（12+80×4）=68（米），
∴乙到达终点时，甲距离终点还有68米，
故答案为：68；
（4）当乙用12秒追上甲后，因每秒比甲多跑1米，
∴再过32秒两人相距32米，即从x>44时起，两人距离超过32米，
当乙用80秒到达终点时，甲距离终点还有68米，
∴甲再跑36米，两人相距32米，所需时间为36÷4=9（秒），
∴当x<89时，两人距离超过32米，
∴甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是44＜x＜89；
故答案为：44，89．
【点睛】本题考查函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
【题型6 确定实际问题中的函数关系式】
【例6】（2023春·山东威海·八年级统考期末）某油箱容量为60 L的汽车，加满汽油后行驶了100 Km时，油箱中的汽油大约消耗了15，如果加满汽油后汽车行驶的路程为x Km，邮箱中剩油量为y L，则y与x之间的函数解析式和自变量取值范围分别是（ ）
A．y=0.12x，x＞0B．y=60﹣0.12x，x＞0C．y=0.12x，0≤x≤500D．y=60﹣0.12x，0≤x≤500
【答案】D
【详解】因为油箱容量为60 L的汽车，加满汽油后行驶了100 Km时，油箱中的汽油大约消耗了15，
可得：15×60÷100=0.12L/km，60÷0.12=500（km），
所以y与x之间的函数解析式和自变量取值范围是：y=60﹣0.12x，（0≤x≤500），故选D．
【变式6-1】（2023春·福建厦门·八年级统考期末）一个水库的水位在最近的10小时内将持续上涨．表二记录了3小时内5个时间点对应的水位高度，其中t表示时间，y表示对应的水位高度．根据表中的数据，请写出一个y关于t的函数解析式合理预估水位的变化规律．该函数解析式是： ．（不写自变量取值范围）
【答案】y=15t+3．
【分析】从表格看，t=0时，y=3，而每半个小时增加0.1米，即每个小时增加0.2，即可求解．
【详解】从表格看，t=0时，y=3，
而每半个小时增加0.1米，即每个小时增加0.2，
故函数的表达式为：y=15t+3，
故答案为y=15t+3．
【点睛】本题考查的是函数的关系式，此类题目通常按照找规律的方法，列出函数表达式．
【变式6-2】（2023春·广东广州·八年级统考期末）现有下面两种移动电话计费方式：
(1)以x（单位：分钟）表示通话时间，y（单位：元）表示通话费用，分别就两种移动电话计费方式写出y关于x的函数解析式．
(2)求出如何选择这两种计费方式更省钱．
【答案】(1)方式一：y=58+0.2x；方式二：y=88+0.1x；
(2)当通话时间少于300分钟时，选择方式一合算，当通话时间是300分钟时，两种方式费用相等；当通话时间多于300分钟时，选择方式二合算．
【分析】（1）根据费用等于月租加上通话时间乘以单价即可得到函数解析式；
（2）分三种情况求解即可．
【详解】（1）解：方式一的函数解析式为y=58+0.2x；
方式二的函数解析式为y=88+0.1x；
（2）当两者方式费用相等时，58+0.2x=88+0.1x，解得x=300；
当方式一合算时，58+0.2x<88+0.1x，解得x<300；
当方式二合算时，58+0.2x>88+0.1x，解得x>300；
∴当通话时间少于300分钟时，选择方式一合算，当通话时间是300分钟时，两种方式费用相等；当通话时间多于300分钟时，选择方式二合算．
【点睛】此题考查了列函数关系式，一元一次方程与一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列得函数关系式是解题的关键．
【变式6-3】（2023春·辽宁锦州·八年级统考期末）某剧院的观众席的座位为扇形，且按下列方式设置：
（1）按照上表所示的规律，当x每增加1时，y如何变化？．
（2）写出座位数y与排数x之间的解析式．
（3）按照上表所示的规律，某一排可能有90个座位吗？说说你的理由．
【答案】（1）当x每增加1时，y增加3；（2）y=3x+47；（3）某一排不可能有90个座位，理由见解析
【分析】（1）根据表格中数据直接得出y的变化情况；
（2）根据x，y的变化规律得出y与x的函数关系；
（3）利用（2）中所求，将y=90代入分析即可．
【详解】解：（1）由图表中数据可知；当x每增加1时，y增加3；
（2）由题意可知：y=50+3(x−1)=3x+47，
（3）某一排不可能有90个座位
理由：由题意可知：y=3x+47=90解得：x=433
故x不是整数，则某一排不可能有90个座位．
【点睛】本题主要考查了分析图表列函数解析式，解题的关键是认真分析图表，从中获取关键信息列出解析式．
【题型7 动点问题的函数图象】
【例7】（2023春·广东深圳·八年级统考期中）王警察周六在一个半圆形的广场附近巡逻，从圆心O出发，按图1中箭头所示的方向，依次走完线段OA、半圆弧AB和线段BO．沿途中王警察遇到了一位问路的游客停下来交谈了2min．在整个巡逻过程中，王警察始终保持速度不变，最后回到出发点．王警察离出发点的直线距离s（m）与时间t（min）之间的关系如图2所示，以下选项中正确的是（ ）

A．广场的半径是50米B．a=2π
C．王警察的速度为100m/minD．王警察返回起点的时间为2π+6
【答案】D
【分析】根据图象可知判断A，C；用半圆的弧长除以速度即可得出沿半圆弧AB巡逻时所用时间，可以判断B；再求出王警察在整段路程中所用时间即可判断D．
【详解】解：由图象可知，广场的半径为100米，
故A错误，不符合题意；
由图象知，王警察的速度为1002=50(m/min)，
故C错误，不符合题意；
当王警察沿半圆弧AB巡逻时，距离出发点的直线距离是圆弧的半径，即s=100，
∴所用时间为π×10050=2π，
∴a=2π+2，
故B错误，不符合题意；
王警察返回起点所用时间为2+2π+2+2=2π+6，
故D正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题为动点问题的函数图象探究题，考查了通过函数图象探究图象代表的实际意义，运用数形结合的数学思想．
【变式7-1】（2023春·广东湛江·八年级统考期末）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形ABCD的周长是 ．

【答案】18
【分析】分析实际运动图与函数图象的联系，由函数图象信息确定矩形的边长，从而求出周长．
【详解】解：如图，x=4时，点P运动至点C，x=9时，点P运动至点D，
∴BC=4，CD=9−4=5
∴矩形周长=2(AB+BC)=2×(4+5)=18；
故答案为：18．
【点睛】本题考查函数图象，理解函数图象与实际运行图之间的信息联系是解题的关键．
【变式7-2】（2023春·福建三明·八年级统考期中）如图1，在△ABC中，点P从顶点C出发，以1cm/s的速度沿C—A匀速运动到点A．图2是点P运动时线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，曲线两端点的高度相同，则△ABC的面积是（ ）

A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【分析】由题意，当BP⊥AC时，BP的长度最短为2，此时CP的距离为3，由图2可知，AC=2CP=6，即可求出△ABC的面积．
【详解】解：由题意，当BP⊥AC时，BP的长度最短，如图，
由图2可知，点M为（3，2），
∴当点P运动3cm时，则BP=2，
∵图2中曲线两端点的高度相同，
∴AP=CP=3，
∴AC=2CP=6，
∴△ABC的面积是12×6×2=6；
【点睛】考查了动点问题的函数图象、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
【变式7-3】（2023春·山东青岛·八年级青岛大学附属中学校考期中）已知动点P以每秒2cm的速度沿图1的边框按从B→C→D→E→F→A的路径移动，相应的△ABP的面积ycm2与时间x（秒）之间的关系如图2中的图象所示．其中AB=4cm，则c= ，当x= 时，△ABP的面积是10cm2；

【答案】 10 2.5或7.5
【分析】根据函数图象结合题意分析，分别求得BC,CD,DE的长，进而根据路程除以速度等于时间得出c的值，根据△ABP的面积是10cm2，得出点P的位置，进而即可求解．
【详解】解：依题意，当P从B→C运动时，y增大，则BC=2×3=6，
当P从C→D运动时，y不变，根据函数图象可得CD=7−3×2=8，
当P从D→E运动时，y减小，结合函数图象可得DE=8−7×2=2，
∴EF=CD−AB=4，
∴c−8=4÷2=2
∴c=10；
∴AF=BC−DE=6−2=4
∵12AB×AF=12×4×4=8，△ABP的面积是10cm2；
∴P点在BC上或DE上，P到AB的距离为2×104=5
∴PB=5则x=52=2.5
或BC+CD+DP=6+8+1=15
∴x=152=7.5，
故答案为：10；2.5或7.5．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，数形结合是解题的关键.
【题型8 判断函数的大致图象】
【例8】（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级校考期末）如图所示，半径为2的圆和边长为5的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过的时间为t，圆与正方形重叠部分(阴影部分)的面积为S，则S与t的函数关系式的大致图象为（ ）
A． B． C．D．
【答案】B
【分析】观察图形，在运动过程中，S随t的变化情况，得到开始随时间t的增大而增大，当圆在正方形内时t改变，而重合面积等于圆的面积不变，再运动，随t的增大而减小，根据以上结论判断即可．
【详解】解：∵半径为2的圆沿水平线从左向右匀速穿过正方形，开始至完全进入正方形S随时间t的增大而增大，
∴选项A、D错误；
∵当圆在正方形内时，t改变，重合面积等于圆的面积，S不变，再运动，S随t的增大而减小，
∴选项C错误，选项B正确；
【点睛】本题主要考查动图形问题的函数图象，熟练掌握函数图象形状变化与两图形重合部分形状、大小变化的关系，是解决此题的关键．
【变式8-1】（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级校考期末）一组管道如图1所示，其中四边形ABCD是矩形，O是AC的中点，管道由AB，BC，CD，DA，OA，OB，OC，OD组成，在BC的中点M处放置了一台定位仪器．一个机器人在管道内匀速行进，对管道进行检测．设机器人行进的时间为x，机器人与定位仪器之间的距离为y，表示y与x的函数关系的图像大致如图2所示，则机器人的行进路线可能为（ ）
A．A→O→DB．B→O→DC．A→D→OD．A→B→O
【答案】D
【分析】根据图1中各路线的位置，判断机器人与定位仪器之间的距离变换情况，再结合图2确定机器人的行进路线即可．
【详解】解：A．若机器人的行进路线为A→O→D，则起点和终点与定位仪之间的距离都是最远，与图2不符，故选项A错误；
B．若机器人的行进路线为B→O→D，则终点与定位仪的距离是最远，与图2不符，故选项B错误；
C．若机器人的行进路线为A→D→O，则机器人与定位仪之间的距离先变小，再变大，再变小，终点与定位仪之间的距离最小，与图2不符，故选项C错误；
D．若机器人的行进路线为A→B→O，则机器人与定位仪之间的距离先变小，再变小，后又变大，与图2相符，故选项D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查利用函数图像对题目进行判断；解决本题的关键在于能熟知函数的图像是由直角坐标系中的一系列点组成，掌握“数形结合”的数学思想．
【变式8-2】（2023春·北京海淀·八年级校考期中）如图，点E为平行四边形ABCD边上的一个动点，并沿A→B→C→D的路径移动到点D停止，设点E经过的路径长为x，△ADE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分三段来考虑点E沿A→B运动，ΔADE的面积逐渐变大；点E沿B→C移动，ΔADE的面积不变；点E沿C→D的路径移动，ΔADE的面积逐渐减小，据此选择即可．
【详解】解：点E沿A→B运动，由图象以AE为底，高不变，底在增加，ΔADE的面积逐渐变大，该段函数图象是一条上升的直线段；点E沿B→C移动，由图象以AD为底，高不变，ΔADE的面积不变；该段函数图象是平行于x轴的线段；点E沿C→D的路径移动，由图象以DE为底，高不变，底逐渐变短，ΔADE的面积逐渐减小，该段函数图象是一条下降的线段，
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象．解题的关键是注意分段考虑．
【变式8-3】（2023春·山东济南·八年级校考期中）将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水（如图所示），则小水杯内水面的高度ℎ(cm)与注水时间t(min)的函数图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
个数t
t≥48
44≤t≤47
40≤t≤43
36≤t≤39
32≤t≤35
分值m
10
9
8
7
6
个数t
28≤t≤31
24≤t≤27
20≤t≤23
16≤t≤19
12≤t≤15
分值m
5
4
3
2
1
x
…
−2
−1
0
1
2
…
y
…
…
x
⋯
－2
-1
0
1
2
⋯
y
⋯
4
2
0
2
4
⋯
x
…
−3
−2
−1
0
1
2
3
…
y
…
…
x
…
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
…
y
…
7
6
5
4
3
2
1
0
…
x
…
−2
−1
0
1
2
…
y=2x2−1
…
7
1
7
…
x
…
−2
−1
0
1
2
…
y=2x2−1
…
7
1
-1
1
7
…
x
−2
−1
0
1
2
3
···
y
0
2
3
5
···
x
−2
−1
0
1
2
3
···
y
0
1
2
3
2
5
···
方式一
方式二
月租费（元/月）
58
88
本地通话费（元/分钟）
0.2
0.1
排数（x）
1
2
3
4
……
座位数（y）
50
53
56
59
……