2025年中考数学二轮专题复习讲义第03讲 二次函数中线段数量关系（含解析）

这是一份2025年中考数学二轮专题复习讲义第03讲 二次函数中线段数量关系（含解析），共8页。学案主要包含了思路点拨等内容，欢迎下载使用。

1.如图,直线 y=2x+3经过A，B两点，点A的横坐标为 −2,,点 B的横坐标为 1，点 C 是线段 AB 上一点，当 ACAB=13时,求点 C 的坐标.
2.如图，已知抛物线 y=−x²+2x+3与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点 B，连接AB，点 P 为线段AB 上方抛物线上一点，过点 P 作 PQ⊥x轴于点Q,交AB于点H,当. PH=2HQ时，求点P的坐标.
3.如图，已知抛物线 y=−x²+2x+3与x轴交于A，B 两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点 C，连接BC，点P是线段 BC上方抛物线上一点，过点 P 作线段 BC 的垂线，垂足为点 M.若. PM= 26OB,求点 P的横坐标.
设问进阶练
例 如图，抛物线 y=−38x2+34x+3与x轴交于A，B两点(点 B在点A的右侧)，与y轴交于点 C，对称轴为直线l，作直线 BC.
(1)设点 E 是抛物线对称轴上一点，当 CE=BE时,求点 E 的坐标；
(2)设点 F 是 x 轴上一点,且在点 B 左侧,当 sin∠FCB= 85sin∠FBC时，求点 F的坐标； (设问源自2022南充中考)
(3)若点 Q 是直线BC上方抛物线上一点，过点 Q作直线 QQ'‖y轴交直线 BC 于点( Q',交x轴于点 Z，当点 Q'为线段 QZ的三等分点时，求点Q 的坐标.

综合强化练
1. 创新题·阅读理解题 如图，抛物线( :y=ax²+bx+ca0)与y轴交于点 D，顶点为F，与直线l: y=x+2交于A，B两点，直线l与y轴交于点G，与抛物线C的对称轴交于点 E.若记K(l， C)=EF⋅AB,,则称K(l,C)是直线l与抛物线C的“截积”.
(1)若 a=1,，抛物线的对称轴为直线 x=−1,OD=4,，求此时K的值；
(2)在(1)的基础上，过点 F 作直线l的平行线l'，现将抛物线C 进行平移，使得平移后的抛物线 C'的顶点. F'落在直线l'上，抛物线 C'的对称轴与直线l交于点. E',试探究 Kl'C'是否为定值?若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
(3)设抛物线 C的函数表达式为 y=ax−ℎ²+k,若 KlC=82,AB=42,且点 F 在点 E 的下方，求a的值.
作图区 答题区
2.如图，抛物线 y=ax²+bx+ca≠0与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,且( OB=OC.点 P 为抛物线 y=ax²+bx+c上的一个动点，过点P作 PD⊥x轴于点 D,交直线 BC 于点 E.
(1)求抛物线的解析式；
(2)当 DE=13PD时，求此时点 P 的坐标；
(3)第一象限抛物线上是否存在点 P，使点 P 到直线 BC 的距离是点 D 到直线 BC 的距离的5倍?若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.
作图区 答题区
线段数量关系
一阶 方法突破练
1. 解:如解图,过点 A 作 AD∥x轴,过点 B 作 BD⊥AD 于点 D,过点 C 作 CE⊥AD 于点 E,则 CE∥BD,
∴△ACE∽△ABD,
∴AEAD=ACAB=13.
∵ 点A 的横坐标为-2,点 B 的横坐标为1,
∴AD=3,AE=1,
∴点E 的横坐标为-2+1=-1.
由 CE∥y轴可得,点 C 与点 E 的横坐标相同.
当x=-1时,y=2x+3=1.
∴ 点C的坐标为(-1,1).
2.解：∵ 抛物线的解析式为 y=−x²+2x+3与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点 B，
∴A(0,3),B(3,0),
∴ 直线AB 的解析式为：γ=-x+3,
设点 P 的坐标为 m−m²+2m+3(0 ∴PH=−m²+2m+3−−m+3=−m²+3m,HQ=−m+3(表示线段长)，
∵ PH=2HQ,
∴−m²+3m=2−m+3(根据线段数量关系列方程求解),
解得m=2或m=3(舍去),
∴点P的坐标为(2,3).
3. 解:如解图,过点 P作PE∥y轴交 BC于点 E(作y轴的平行线构造相似三角形)，
令 −x²+2x+3=0,解得x=-1或x=3,
∵点A 在点 B左侧,
∴A(-1,0),B(3,0),令x=0,得y=3,∴C(0,3),
∴OB=OC=3,BC=3 2,
∵ PE∥y轴,
∴∠PEM=∠OCB,
又∵∠PMB=∠COB=90°,
∴△PME∽△BOC,∴PM=BE,
∵PM=26OB,
∴PE=26×32=1(求出转化后的线段长)，
∵C(0,3),B(3,0),
∴直线 BC的解析式为y=-x+3,设点 Pm−m²+2m+3(0 ∴PE=−m²+2m+3−−m+3=−m²+3m(表示线段长),
∴−m²+3m=1(根据已知线段长列方程求解)，解得 m=3−52或 m=3+52,
∴点P 的横坐标为 3−52$ 3+52.
二阶 设问进阶练
例 解:(1)令 −38x2+34x+3=0,解得x=-2或x=4,
∵ 点 B 在点 A 的右侧,
∴A(-2,0),B(4,0),
∴抛物线对称轴为直线x=1，令x=0,得y=3,∴C(0,3),如解图，作线段 BC 的垂直平分线EG交直线 l 于点 E,交 BC 于点G,连接BE,CE,此时CE=BE,
∵B(4,0),C(0,3),
∴G(2, 32),直线BC的解析式为 y=−34x+3,
∴设直线EG的解析式为 y=43x+b,将G点坐标代入得 43×2+b=32,解得 b=−76,
∴ 直线 EG的解析式为 y=43x−76,
∵ 点 E 是抛物线对称轴上一点，
∴点 E 的横坐标为1,
∴将x=1代入 y=43x−76,得 y=16,
∴E116;
(2)如解图②,过点 F 作FD⊥BC于点 D,
∵sin∠FCB=85sin∠FBC,∴FDCF=85⋅FDBF,
∴CFBF=58,CF=58BF,
∵点F是x轴上一点，且在点B左侧，
∴设F(t,0),
∴CF=t2+32,BF=4−t,
∴32+t2=584−t,
解得t=-4或 t=−4439,
∴F₁(-4,0)或 F2−44390;
(3)由(1)知,直线 BC的解析式为 y=−34x+3,设点 Q 的坐标为( q−38q2+34q+3,其中(0∵ 点Q'为线段QZ 的三等分点，
∴需要分两种情况讨论：
①当 Q'Z=13QZ时，即 −34q+3=13−38q2+34q+3,解得 q₁=q₂=4(舍去);
②当 Q'Z=23QZ时，即 −34q+3=23−38q2+34q+3,解得 q₃=4(舍去),q₄=1,
当q=1时, y=−38×12+34×1+3=278,
∴ 点 Q 的坐标为 1278.
综上所述，当点Q'为线段QZ的三等分点时，点Q的坐标为 1278.
三阶 综合强化练
1. 解:(1)∵直线l的函数表达式为y=x+2①,a=1,OD=4,抛物线的对称轴为直线x=-1,
∴c=−4,−b2a=−1,∴b=2,
∴抛物线C的函数表达式为 y=x²+2x−4②,
∴抛物线的顶点 F(-1,-5),联立①②，解得 x=−3y=−1す x=2y=4,
∴A(-3,-1),B(2,4),
∴将x=-1代入y=x+2,得y=1,∴E(-1,1),
∴EF=6,
∴KlC=EF⋅AB=62−−32+4−−12=30 2;
(2)K(l',C')是定值,其值为6 2.
理由如下:由(1)知,F(-1,-5),
∵l∥l',∴直线l'的解析式为y=x-4③,
∴ 设平移后的抛物线 C'的顶点坐标为F'(m,m-4),
∴平移后的抛物线 C'的解析式为 y=x−m²+m−4④,E'(m,m+2),∴E'F'=6,
联立③④,得( x−m²+m−4=x−4,
∴x²+m²−2xm+m−x=0,
∴x−m²−x−m=0,
∴(x-m)(x-m-1)=0,
∴x=m或x=m+1,
∴A(m,m+2),B(m+1,m+3),
∴AB=m−m+12+m+2−m+32=2,
∴Kl'C'=E'F'⋅AB=62,
即K(l,C')是定值,其值为(6 2;
(3)∵ 抛物线 C 的函数表达式为 y=ax−ℎ²+k⑤,
∴顶点坐标F(h,k),
∴E(h,h+2),∴EF=h+2-k,
∵KlC=82,∴EF=KlCAB=8242=2,
∴2=h+2-k,∴h=k,
∵直线l的函数表达式为y=x+2①,联立①⑤，整理得 ax²−2aℎ+1x+aℎ²+k−2=0,设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),
∴x1+x2=2aℎ+1a,x1x2=aℎ2+k−2a,
∴AB²=x₁−x₂²+y₁−y₂²
=x₁−x₂²+x₁+2−x₂−2²
=2x₁−x₂²
=2x₁+x₂²−4x₁x₂
=22aℎ+12a2−4aℎ2+k−2a
=8aℎ−k+2+2a2
=16a+2a2,
∵AB=42,
∴16a+2a2=422=32,∴16a2−8a−1=0,
解得 a=1+24或 a=1−24(舍去).
∴a的值为 1+24.
2. 解:(1)∵抛物线 y=ax²+bx+ca≠0分别与坐标轴交于点A(-1,0),B(3,0),C,且OB=OC,
∴C(0,-3),
∴抛物线的解析式为 y=ax²+bx−3,
∴将点A，B的坐标代入抛物线的解析式，
得 a−b−3=09a+3b−3=0,解得 a=1b=−2,
∴该抛物线的解析式为 y=x²−2x−3;
(2)【思路点拨】设出点P的坐标，表示出点E，点D的坐标，根据点 P 与 A，B 间的位置关系进行讨论，由 DE=13PD列方程求解即可.
∵B(3,0),C(0,-3),
∴ 直线 BC 的解析式为y=x-3,
设点 Ptt²−2t−3,则.E(t,t-3),D(t,0),
当点 P 在点 A,B之间的抛物线上时,-1则 DE=0−t−3=3−t,PD=0−t²−2t−3=−t²+2t+3,
∵DE=13PD,∴3−t=13−t2+2t+3,
解得t=2或t=3(舍去),
∴P(2,-3);
当点 P在点 B右侧的抛物线上时，t>3，
则 DE=t−3,PD=t²−2t−3,
∵DE=13PD,∴t−3=13t2−2t−3,
解得t=2(舍去)或t=3(舍去),
∴此时点 P不存在；
当点 P 在点 A 左侧的抛物线上时,t<-1,
则DE=0-(t-3)=3-t,PD=t²-2t-3,
∵DE=13PD,∴3−t=13t2−2t−3,
解得t=-4或t=3(舍去),
∴P(-4,21).
综上所述,点P的坐标为(2,-3)或(-4,21);
(3)【思路点拨】画出草图，设出点P的坐标，表示出点E的坐标,表示线段PE,DE 的长,构造△PEH∽△DEG,列式求解即可.
存在.
如解图,过点 P 作 PH⊥BC 于点 H,过点 D 作 DG⊥BC于点 G,则PH=5DG,
设 Pmm²−2m−3m3),则E(m,m-3),D(m,
),∴PE=m²−2m−3−m−3=m²−3m,DE=m−3,(
∵∠PHE=∠DGE=90°,
∠PEH=∠DEG,
∴△PEH∽△DEG,
∴PEDE=PHDG=5,
即 m2−3mm−3=5,
解得m=3(舍去)或m=5,
∴P(5,12).
故存在点P,点P的坐标为(5,12).