2025年中考数学二轮专题复习讲义第02讲 利用二次函数性质解决线段最值问题（含解析）

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1.如图，已知抛物线 y=x²+2x−3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点 C，连接AC，点M是线段AC下方抛物线上一点，过点M 作y轴的平行线与AC交于点 N，求线段MN的最大值.
2.如图，已知抛物线 y=−x²+2x+3与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点 C，连接BC，点P是线段 BC上方抛物线上一点，过点 P作 PM⊥BC于点M，求线段PM的最大值.
3.如图，已知抛物线 y=−x²+2x+3与x轴交于A,B 两点(点 A在点B左侧)，与y轴交于点 C，连接BC，点D是线段BC上方抛物线上一点，过点 D 作. DE‖BC交x轴于点E,连接AD交BC于点 F,当 FBDE取得最小值时，求点 D的坐标.
设问进阶练
例 如图，已知抛物线 y=x²−2x−3与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点 C，点 D是直线BC下方抛物线上的动点.
(1)如图①,过点D作 DE‖y轴交BC于点E，过点D作 DF⊥BC于点 F,求 △DEF周长的最大值；
(2)如图②，若点 D 在抛物线对称轴的右侧，过点 D 作 DE⊥x轴,垂足为点E,DE交BC于点H,求. DH+CH的最大值，并求出此时点 D 的坐标；
(3)如图③,连接AD交BC于点E,求 ADDE的最小值.
综合强化练
1.如图，抛物线 y=ax2+bx+3与x轴交于A(1，0)，B两点，与y轴交于点 C，对称轴为直线. x=2.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M 为直线BC 上一动点,当 AB=CM时，求点 M的横坐标；
(3)若点 P 为线段 BC 上一点, D023,，延长线段DP交抛物线于点 F，求 PFPD的最大值.
作图区 答题区
2.如图，抛物线 y=ax²+bx+ca≠0经过A(4，0)，B两点，且与x轴交于另一点( C−10,直线 l:y=12x+m与x轴交于点A，与y轴交于点 B.
(1)求直线l与抛物线的解析式；
(2)若点 P是直线l下方的抛物线上一点，过点P作PM∥x轴交l于点M，过点P作PN∥y轴交l于点N,求PM+PN的最大值;
(3)若点E是直线l下方抛物线上一点，当点 E到直线l的距离最大时，求出此时点E的坐标.
作图区 答题区
类型一 动点产生的线段问题
考向 1
考向2 利用二次函数性质解决线段最值问题
一阶 方法突破练
1.解：∵ 抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C,∴当x=0时,y=-3,则C(0,-3),
当y=0时,解得x=-3或x=1,
∵点A 在点 B 左侧,∴A(-3,0),B(1,0),
设直线AC的解析式为y=mx+n(m≠0),
把点A(-3,0),C(0,-3)代入,
得 −3m+n=0n=−3,解得 m=−1n=−3,
∴ 直线 AC 的解析式为y=-x-3,
设 Mtt²+2t−3(−3 ∴MN=−t−3−t2+2t−3=−t2−3t=−t+322+94(表示竖直线段的长)，
∴−3<−32<0,−1<0,
∴当 t=−32时，MN有最大值，最大值为 94(利用二次函数的性质求解).
2. 解:如解图,过点 P 作 PN∥y轴交 BC 于点 N(作y轴平行线构造特殊三角形)，
∵ 抛物线与 x 轴交于 A,B两点，
∴令y=0,即 −x²+2x+3=0,解得 x₁=−1,x₂=3.
∵点 A 在点 B 左侧,
∴A(-1,0),B(3,0).
∵ 抛物线与y轴交于点C，
∴C(0,3),∴OB=OC=3,∴∠OCB=45°.
∵PN⊥x轴,∴PN∥OC,∴∠PNM=∠OCB=45°,
∴ △PMN为等腰直角三角形， ∴PM=22PN.
∵B(3,0),C(0,3),
∴ 直线 BC的解析式为y=-x+3.
设 Pm−m²+2m+3(0 ∴PN=−m2+2m+3−−m+3=−m−322+94(表示线段长).
∴PM=22PN=−22m−322+928(将斜线段转化为竖直线段).
∵0<32<3,−22<0,
∴当 m=32时，PM取得最大值，最大值为 928(利用二次函数的性质求解).
3. 解:∵抛物线 y=−x²+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，
令x=0,解得y=3;令y=0,解得x=-1或x=3,
∴A(-1,0),B(3,0),C(0,3),
∴AB=4,直线BC的解析式为y=-x+3.
∵DE∥BC,
∴△AFB∽△ADE(找出含有线段比值的两个相似三角形),
∴FBDE=ABAE(利用相似三角形的性质将线段比值转化到可以表示出来的线段上).
∵AB 为定值,
∴当 FBDE取得最小值时，AE取得最大值.
设 Dm−m²+2m+3(0∵ DE∥BC,
∴设直线 DE 的解析式为y=-x+b,把点 Dm−m²+2m+3代入，得 −m+b=−m²+2m+3,
∴b=−m²+3m+3,
∴ 直线 DE 的解析式为 y=−x−m²+3m+3,将y=0代入 y=−x−m²+3m+3中，得 x=−m²+3m+3,
∴E−m²+3m+30,
∴AE=−m²+3m+3−−1=−m²+3m+4=−(m− 32)2+254(表示线段长).
∵0<32<3,−1<0,
∴当 m=32时，AE 取得最大值，此时点 D 的坐标为 32154(利用二次函数的性质求解)，
∴当 FBDE取得最小值时，点D 的坐标为 32154.
二阶 设问进阶练
例 解:(1)∵ 抛物线 y=x²−2x−3与x轴交于A,B 两点，与y轴交于点C，
∴A(-1,0),B(3,0),C(0,-3).
∴直线 BC的解析式为y=x-3.
由B(3,0),C(0,-3)知OB=3,OC=3,∴∠OCB=45°.
设 Dxx²−2x−3(0 ∴DE=x−3−x²−2x−3=−x²+3x
∵ DE∥y轴,DF⊥BC,∴∠FED=∠OCB=45°,
∴△DEF 为等腰直角三角形,∴ FD=FE=22DE.
∴当DE 取最大值时,△DEF 的周长最大.
∴DE=−x2+3x=−x−322+94,且 −1<0,0<32<3,
∴当 x=32时，DE 取得最大值，最大值为 94，此时 FD=FE=22×94=928.
∴△DEF周长的最大值为 DE+FE+FD=9+924;
(2) 如解图 ①, 过点 H 作 HG ⊥ y 轴于 点 G,则GH∥OB,
由(1)得,A(-1,0),B(3,0),C(0,-3),
∴OB=OC=3,∴BC=3 2,
∵抛物线的对称轴为直线 x= −−22=1,
设 Dxx²−2x−3(1∴H(x,x-3),GH=x,
∵GH∥OB,∴△CHG∽△CBO, ∴GHOB=CHCB,即 x3=CH32,
∴CH=2x,
又∵ DH=x−3−x²−2x−3=−x²+3x,
∴DH+CH=−x2+3x+2x=−x2+3+2x
∵ -1<0,∴DH+CH存在最大值,
∴ 当 x=3+22时，DH+CH 取得最大值，最大值为 62+114,
∴DH+CH 的最大值为 62+114,此时点 D 的坐标为 3+2222−134;
(3)如解图②,过点 A 作 AH⊥x 轴交直线 BC 于点H,过点 D 作DF⊥x轴交直线 BC 于点 F,
易得△DEF∽△AEH, ∴DEAE=DFAH.
设 Ddd²−2d−3,则F(d,d-3),
∴DF=d−3−d²−2d−3=−d²+3d.
∵ AH ⊥ x 轴, 且点 H 在 直 线BC上,
∴H(-1,-4),
∴AH=4.
∴DEAE=−d2+3d4=−14d2+34d.
∴−14<0,
∴当 d=−342×−14=32寸 DEAE取得最大值，最大值为 916,∴AEDE的最小值为 169,
∴ADDE的最小值为2 59.
三阶 综合强化练
1. 解:(1)∵ 抛物线 y=ax2+bx+3与 x 轴交于点A(1,0),对称轴为直线x=2,
∴a+b+3=0−b2a=2, 解得 a=33b=−433,
∴抛物线的解析式为 y=33x2−433x+3;
(2)由(1)得B(3,0),∴AB=2,
当x=0时, y=3,得C(0, 3),
∴ 直线 BC的解析式为 y=−33x+3,
设 Mt−33t+3,
∵CM=AB,
∴CM2=t2+13t2=22,解得 t=3或 t=−3,
∴点M的横坐标为 3或 −3;
(3)【思路点拨】画出草图，过点F作x轴的垂线FK,构造△FKP∽△DCP,将求 PFPD的最大值转化为求线段 FK的最大值求解即可.
如解图,过点 F 作 FK⊥x轴,交BC 于点K,
∵ D(0,2 3),
∴CD=3,
∵ FK∥y轴,
∴△FKP∽△DCP,
∴PFPD=FKDC=FK3,
设 Fm33m2−433m+3,则 Km−33m+3,
∴FK=−33m+3−33m2−433m+3=−33m2+
3m,则 PFPD=FK3=−13m2+m=−13m−322+34,
∵−13<0,0<32<3,
∴ 当 m=32时, PFPD有最大值，最大值是 34.
2. 解:(1)将点A(4,0)代入直线1: y=12x+m中，得m=-2,∴直线l的解析式为 y=12x−2;
令x=0,得y=-2,∴B(0,-2),
∴抛物线的解析式为 y=ax²+bx−2,
∵抛物线经过点 A(4，0)，与 x 轴交于另一点C(-1,0),
∴将A，C的坐标分别代入抛物线的解析式，
得 16a+4b−2=0a−b−2=0, 解得 a=12b=−32
∴ 抛物线的解析式为 y=12x2−32x−2;
(2)【思路点拨】由PM∥x轴,PN∥y轴,易得△MPN∽△AOB,可求出 PM 与 PN的关系,再由二次函数的性质求解即可.
设点 Pn12n2−32n−2(0∵ PM∥x轴,PN∥y轴,∴△MPN∽△AOB,
∴PMOA=PNOB,即 PM4=PN2,
∴PM=2PN,
则 PM+PN=3PN=−32n2+6n=−32n−22+6, ∵−32<0,0<2<4,
∴当n=2时,PM+PN取得最大值,最大值为6;
(3)【思路点拨】点E与直线l的距离最大，可解读为过点E且与直线l平行的直线与抛物线只有一个交点，联立此直线与抛物线的解析式求解即可.
由(1)得，直线l的解析式为 y=12x−2,
∵要使点 E 到直线l的距离最大，
∴如解图，向下平移直线l
得直线l'，直至直线 l'与抛
物线只有一个交点，该点即
为所求点 E，设此时直线l'
的解析式为 y=12x+d,
令 12x+d=12x2−32x−2,
即 12x2−2x−2−d=0,
∴b2−4ac=4−4×12×−2−d=8+2d=0,
解得d=-4,
∴直线l'的解析式为 y=12x−4.
将d=-4代入 12x2−2x−2−d=0中,得x=2,
当x=2时, y=12x−4=−3,
∴当点 E 到直线l的距离最大时，点 E 的坐标为(2,-3).